Serie (matemáticas)

Suma infinita

En matemáticas , una serie es, en términos generales, una suma de infinitos términos , uno después del otro. [ ^1] El estudio de las series es una parte importante del cálculo y su generalización, el análisis matemático . Las series se utilizan en la mayoría de las áreas de las matemáticas, incluso para estudiar estructuras finitas en combinatoria a través de funciones generadoras . Las propiedades matemáticas de las series infinitas las hacen ampliamente aplicables en otras disciplinas cuantitativas como la física , la informática , la estadística y las finanzas .

Entre los antiguos griegos , la idea de que una suma potencialmente infinita pudiera producir un resultado finito se consideraba paradójica , más famosamente en las paradojas de Zenón . ^{[2] [3]} No obstante, las series infinitas fueron aplicadas prácticamente por los matemáticos griegos antiguos, incluido Arquímedes , por ejemplo en la cuadratura de la parábola . ^{[4] [5]} El lado matemático de las paradojas de Zenón se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XVII, especialmente a través del cálculo temprano de Isaac Newton . ^[6] La resolución se hizo más rigurosa y mejoró aún más en el siglo XIX a través del trabajo de Carl Friedrich Gauss y Augustin-Louis Cauchy , ^[7] entre otros, respondiendo preguntas sobre cuáles de estas sumas existen a través de la completitud de los números reales y si los términos de la serie se pueden reorganizar o no sin cambiar sus sumas utilizando la convergencia absoluta y la convergencia condicional de series.

En la terminología moderna, cualquier secuencia infinita ordenada de términos, ya sean números, funciones , matrices o cualquier otra cosa que se pueda sumar, define una serie, que es la suma de los a _i uno tras otro. Para enfatizar que hay un número infinito de términos, las series a menudo también se denominan series infinitas . Las series se representan mediante una expresión como o, utilizando la notación de suma con sigma mayúscula , ^[8] ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ $${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}$$

La secuencia infinita de adiciones expresada por una serie no puede ser realizada explícitamente en secuencia en una cantidad finita de tiempo. Sin embargo, si los términos y sus sumas finitas pertenecen a un conjunto que tiene límites , puede ser posible asignar un valor a una serie, llamado suma de la serie . Este valor es el límite cuando n tiende a infinito de las sumas finitas de los n primeros términos de la serie si el límite existe. ^{[9] [10] [11]} Estas sumas finitas se denominan sumas parciales de la serie. Usando la notación de suma, si existe. ^{[9] [10] [11]} Cuando el límite existe, la serie es convergente o sumable y también la secuencia es sumable , y en caso contrario, cuando el límite no existe, la serie es divergente . ^{[9] [10] [11] [12]} $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i},}$$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

La expresión denota tanto la serie (el proceso implícito de sumar los términos uno tras otro indefinidamente) como, si la serie es convergente, la suma de la serie (el límite explícito del proceso). Se trata de una generalización de la convención similar de denotar mediante la adición (el proceso de sumar) y su resultado (la suma de a y b) . ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle a+b}$

Comúnmente, los términos de una serie provienen de un anillo , a menudo el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos . Si es así, el conjunto de todas las series también es en sí mismo un anillo, uno en el que la adición consiste en sumar los términos de la serie término por término y la multiplicación es el producto de Cauchy . ^{[13] [14] [15]} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Definición

Serie

Una serie o, redundantemente, una serie infinita , es una suma infinita. A menudo se representa como ^{[8] [16]} donde los términos son los miembros de una secuencia de números , funciones o cualquier otra cosa que se pueda sumar . Una serie también se puede representar con notación sigma mayúscula : ^[8] $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad {\text{or}}\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle a_{k}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\qquad {\text{or}}\qquad \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$$

También es común expresar series utilizando unos primeros términos, una elipsis, un término general y luego una elipsis final, siendo el término general una expresión del término n en función de n : Por ejemplo, el número de Euler se puede definir con la serie donde denota el producto de los primeros números enteros positivos , y es convencionalmente igual a ^{[17] [18]} $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad {\text{ or }}\quad f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(n)+\cdots .}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0!}$ ${\displaystyle 1.}$

Suma parcial de una serie

Dada una serie , su n- ésima suma parcial es ^{[9] [10] [11] [12]} Algunos autores identifican directamente una serie con su secuencia de sumas parciales tan fundamentalmente como con la adición de la secuencia de sus términos individuales. ^{[9] [11]} La secuencia de sumas parciales y la secuencia de términos son especificaciones mutuamente redundantes de una serie, ya que la secuencia de términos se puede recuperar a partir de la secuencia de sumas parciales utilizando ${\textstyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}.}$$ $${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$$

La suma parcial de una secuencia es un ejemplo de transformación de secuencia lineal y también se la conoce como suma de prefijos en informática . La transformación inversa para recuperar una secuencia a partir de sus sumas parciales es la diferencia finita , otra transformación de secuencia lineal.

Las sumas parciales de series a menudo tienen expresiones de forma cerrada más simples, por ejemplo, una serie aritmética tiene y una serie geométrica ^{[19] [20]} tiene $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(a+kd)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +a+nd=an+dn(n+1)/2}$$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}=a(r^{n+1}-1)/(r-1).}$$

Suma de una serie

Ilustración de 3 series geométricas con sumas parciales de 1 a 6 términos. La línea discontinua representa el límite.

Estrictamente hablando, se dice que una serie converge , es convergente o es sumable cuando la secuencia de sus sumas parciales tiene un límite . Cuando el límite de la secuencia de sumas parciales no existe, la serie diverge o es divergente . ^{[21] [12]} Cuando existe el límite de las sumas parciales, se denomina suma de la serie o valor de la serie : ^{[9] [10] [11] [12]} Una serie con solo un número finito de términos distintos de cero siempre es convergente. Tales series son útiles para considerar sumas finitas sin tener en cuenta el número de términos. ^[22] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$

Un ejemplo de serie convergente es la serie geométrica. $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{k}}}+\cdots .}$$

Se puede demostrar mediante cálculo algebraico que cada suma parcial es Como se tiene, la serie es convergente y converge a 2. ^{[19] [20} ] ${\displaystyle s_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}=2-{\frac {1}{2^{n}}}.}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(2-{\frac {1}{2^{n}}}\right)=2,}$$

Por el contrario, la serie geométrica es divergente en los números reales . ^{[19] [20]} Sin embargo, es convergente en la línea de números reales extendida , con como su límite. ^[23] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{k}}$$ ${\displaystyle +\infty }$

Operaciones

Suma

La adición de dos series y se da por la suma término por término ^{[14] [24] [25]} , o, en notación de suma, ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ ${\textstyle (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots }$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+b_{k}.}$$

Usando los símbolos y para las sumas parciales de las series agregadas y para las sumas parciales de las series resultantes, esta definición implica que las sumas parciales de las series resultantes siguen Entonces la suma de las series resultantes, es decir, el límite de la secuencia de sumas parciales de las series resultantes, satisface cuando existen los límites. Por lo tanto, uno, la serie resultante de la adición es sumable si las series agregadas fueran sumables, y, dos, la suma de las series resultantes es la adición de las sumas de las series agregadas. La adición de dos series divergentes puede producir una serie convergente: por ejemplo, la adición de una serie divergente con una serie de sus términos multiplicados por producirá una serie de todos ceros que converge a cero. Sin embargo, para dos series cualesquiera donde una converge y la otra diverge, el resultado de su adición diverge. ^[24] ${\displaystyle s_{a,n}}$ ${\displaystyle s_{b,n}}$ ${\displaystyle s_{a+b,n}}$ ${\displaystyle s_{a+b,n}=s_{a,n}+s_{b,n}.}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{a+b,n}=\lim _{n\rightarrow \infty }(s_{a,n}+s_{b,n})=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}+\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n},}$$ ${\displaystyle -1}$

Multiplicación

La multiplicación de dos series y la generación de una tercera serie , llamada producto de Cauchy, ^{[13] [14] [15] [25]} se puede escribir en notación de suma con cada Aquí, la convergencia de las sumas parciales de la serie no es tan sencilla de establecer como para la suma. Sin embargo, si ambas series y son series absolutamente convergentes , entonces la serie resultante de multiplicarlas también converge absolutamente con una suma igual al producto de las dos sumas de las series multiplicadas, ^{[14] [25]} ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ ${\textstyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j},}$$ ${\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}=a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}.}$ ${\textstyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$ ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{c,n}=\left(\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}\right)\cdot \left(\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n}\right).}$$

Ejemplos de series numéricas

• Una serie geométrica ^{[19] [20]} es aquella en la que cada término sucesivo se obtiene multiplicando el término anterior por un número constante (llamado razón común en este contexto). Por ejemplo: ^[12]

$${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.}$$En general, una serie geométrica con término inicial y razón común , converge si y sólo si , en cuyo caso converge a . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n},}$ ${\textstyle |r|<1}$ ${\textstyle {a \over 1-r}}$

• La serie armónica es la serie ^{[26] [27]}

$${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$$ La serie armónica es divergente .

• Una serie alternada es una serie donde los términos alternan signos. ^[28] Ejemplos:

$${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2),}$$ la serie armónica alternada y la fórmula de Leibniz para $${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}},}$$ ${\displaystyle \pi .}$

• Una serie telescópica ^[29]

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$$converge si la sucesión b _n converge a un límite L —cuando n tiende a infinito. El valor de la serie es entonces b ₁ − L .

• Una serie aritmético-geométrica es una generalización de la serie geométrica, que tiene coeficientes de razón común iguales a los términos de una sucesión aritmética . Ejemplo:

$${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$$

• La serie Dirichlet

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$$ converge para p > 1 y diverge para p ≤ 1, lo que se puede demostrar con el criterio integral descrito a continuación en las pruebas de convergencia. Como función de p , la suma de esta serie es la función zeta de Riemann . ^[30]

• Serie hipergeométrica :

$${\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}$$ y sus generalizaciones (como las series hipergeométricas básicas y las series hipergeométricas elípticas ) aparecen con frecuencia en sistemas integrables y en física matemática . ^[31]

• Existen algunas series elementales cuya convergencia aún no se conoce/demuestra. Por ejemplo, se desconoce si la serie de Flint Hills

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}}$$ converge o no. La convergencia depende de lo bien que se pueda aproximar con números racionales (lo cual se desconoce hasta el momento). Más específicamente, los valores de n con grandes contribuciones numéricas a la suma son los numeradores de las fracciones continuas convergentes de , una secuencia que comienza con 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... (secuencia A046947 en la OEIS ). Estos son números enteros n que están cerca de para algún número entero m , por lo que es cercano a y su recíproco es grande. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m\pi }$ ${\displaystyle \sin n}$ ${\displaystyle \sin m\pi =0}$

Pi

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

Logaritmo natural de 2

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$$^[12]

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln(2)-1}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\left(4n^{2}-1\right)}}=2\ln(2)-1}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n(2n-1)}}=\ln 2}$$

Base del logaritmo naturalmi

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

Propiedades de las series

Las series se clasifican no sólo por si convergen o divergen, sino también por las propiedades de los términos a _n (convergencia absoluta o condicional); tipo de convergencia de la serie (puntual, uniforme); la clase del término a _n (si es un número real, una progresión aritmética, una función trigonométrica); etc.

Términos no negativos

Cuando a _n es un número real no negativo para cada n , la sucesión S _N de sumas parciales es no decreciente. De ello se deduce que una serie Σ a _n con términos no negativos converge si y solo si la sucesión S _N de sumas parciales está acotada.

Por ejemplo, la serie

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$$

es convergente, porque la desigualdad

$${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2,}$$

y un argumento de suma telescópica implica que las sumas parciales están limitadas por 2.

El valor exacto de la serie original es (ver problema de Basilea ). ${\displaystyle \pi ^{2}/6}$

Agrupamiento

Agrupar los términos de una serie crea una nueva serie con una secuencia de sumas parciales que son una subsucesión de las sumas parciales de la serie original. Esto significa que si la serie original converge, también lo hace la nueva serie, ya que todas las subsucesiones infinitas de una secuencia convergente también convergen al mismo límite. Sin embargo, si la original diverge, entonces las series agrupadas no necesariamente divergen. Por ejemplo, agrupar cada dos elementos de 1-1+1-1+... crea la serie 0+0+0+..., que es convergente a cero. En la dirección opuesta, la divergencia de la nueva serie implica que la serie original debe ser divergente, ya que prueba que hay una subsucesión de las sumas parciales de la serie original que no es convergente, lo cual es imposible si es convergente. Este razonamiento se aplicó en la prueba de Oresme de la divergencia de la serie armónica , y es la base para la prueba general de condensación de Cauchy .

Convergencia absoluta

Una serie

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$$

converge absolutamente si la serie de valores absolutos

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$$

converge. Esto es suficiente para garantizar no sólo que la serie original converge a un límite, sino también que cualquier reordenación de la misma converge al mismo límite.

Convergencia condicional

Se dice que una serie de números reales o complejos es condicionalmente convergente (o semiconvergente ) si es convergente pero no absolutamente convergente. Un ejemplo famoso es la serie alternada

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$

que es convergente (y su suma es igual a  ), pero la serie formada al tomar el valor absoluto de cada término es la serie armónica divergente . El teorema de la serie de Riemann dice que cualquier serie condicionalmente convergente se puede reordenar para formar una serie divergente y, además, si son reales y es cualquier número real, se puede encontrar una reordenación de modo que la serie reordenada converja con suma igual a  .. ^{[32] [33]} ${\displaystyle \ln 2}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

La prueba de Abel es una herramienta importante para manejar series semiconvergentes. Si una serie tiene la forma

$${\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$$

donde las sumas parciales están acotadas, tienen variación acotada y existe: ${\displaystyle B_{n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$

$${\displaystyle \sup _{N}\left|\sum _{n=0}^{N}b_{n}\right|<\infty ,\ \ \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges,}}}$$

Entonces la serie es convergente. Esto se aplica a la convergencia puntual de muchas series trigonométricas, como en ${\textstyle \sum a_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}$$

con . El método de Abel consiste en escribir , y en realizar una transformación similar a la integración por partes (llamada suma por partes ), que relaciona la serie dada con la serie absolutamente convergente ${\displaystyle 0<x<2\pi }$ ${\displaystyle b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$

$${\displaystyle \sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}.}$$

Evaluación de errores de truncamiento

La evaluación de errores de truncamiento es un procedimiento importante en el análisis numérico (especialmente en el análisis numérico validado y en las pruebas asistidas por computadora ).

Serie alternada

Cuando se cumplen las condiciones de la prueba de series alternadas por , hay una evaluación de error exacta. ^[34] Establezca que sea la suma parcial de la serie alternada dada . Entonces se cumple la siguiente desigualdad: ${\textstyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\textstyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle |S-s_{n}|\leq u_{n+1}.}$$

Serie de Taylor

El teorema de Taylor es un enunciado que incluye la evaluación del término de error cuando se trunca la serie de Taylor .

Serie hipergeométrica

Utilizando la relación , podemos obtener la evaluación del término de error cuando se trunca la serie hipergeométrica . ^[35]

Matriz exponencial

Para la matriz exponencial :

$${\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},}$$

Se cumple la siguiente evaluación de error (método de escala y cuadrado): ^{[36] [37] [38]}

$${\displaystyle T_{r,s}(X):=\left[\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}\right]^{s},\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).}$$

Pruebas de convergencia

Existen muchas pruebas que pueden utilizarse para determinar si determinadas series convergen o divergen.

• Prueba del término n-ésimo : si, entonces la serie diverge; si, entonces la prueba no es concluyente. ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$
• Prueba de comparación 1 (ver Prueba de comparación directa ): Si es una serie absolutamente convergente tal que para algún número y para suficientemente grande , entonces converge absolutamente también. Si diverge, y para todos suficientemente grandes , entonces tampoco converge absolutamente (aunque todavía podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el signo es alternativo). ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$
• Prueba de comparación 2 (ver Prueba de comparación límite ): Si es una serie absolutamente convergente tal que para suficientemente grande , entonces converge absolutamente también. Si diverge, y para todos suficientemente grandes , entonces tampoco converge absolutamente (aunque todavía podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el signo es alternativo). ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$ ${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$
• Prueba de razón : si existe una constante tal que para todos los suficientemente grandes  , entonces converge absolutamente. Cuando la razón es menor que , pero no menor que una constante menor que , la convergencia es posible pero esta prueba no la establece. ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
• Prueba de raíz : si existe una constante tal que para todos los suficientemente grandes  , entonces converge absolutamente. ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac {1}{n}}\leq C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$
• Prueba integral : si es una función decreciente monótona positiva definida en el intervalo con para todo  , entonces converge si y sólo si la integral es finita. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$
• Prueba de condensación de Cauchy : Si es no negativo ni creciente, entonces las dos series y son de la misma naturaleza: ambas convergentes o ambas divergentes. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$
• Prueba de series alternadas : una serie de la forma (con ) se llama alternada . Una serie de este tipo converge si la secuencia es monótona decreciente y converge a  . La inversa en general no es cierta. ${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle 0}$
• Para algunos tipos específicos de series existen pruebas de convergencia más especializadas, por ejemplo, para las series de Fourier existe la prueba de Dini .

Serie de funciones

Una serie de funciones de valores reales o complejos

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$$

converge puntualmente en un conjunto E , si la serie converge para cada x en E como una serie ordinaria de números reales o complejos. De manera equivalente, las sumas parciales

$${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}$$

convergen a ƒ ( x ) cuando N  → ∞ para cada x  ∈  E .

Una noción más fuerte de convergencia de una serie de funciones es la convergencia uniforme . Una serie converge uniformemente si converge puntualmente a la función ƒ ( x ), y el error al aproximar el límite por la suma parcial N ,

$${\displaystyle |s_{N}(x)-f(x)|}$$

puede hacerse mínimo independientemente de x eligiendo un N suficientemente grande .

La convergencia uniforme es deseable para una serie porque muchas propiedades de los términos de la serie se conservan entonces por el límite. Por ejemplo, si una serie de funciones continuas converge uniformemente, entonces la función límite también es continua. De manera similar, si los ƒ _n son integrables en un intervalo cerrado y acotado I y convergen uniformemente, entonces la serie también es integrable en I y puede integrarse término por término. Las pruebas para la convergencia uniforme incluyen la prueba M de Weierstrass , la prueba de convergencia uniforme de Abel , la prueba de Dini y el criterio de Cauchy .

También se pueden definir tipos más sofisticados de convergencia de una serie de funciones. En la teoría de la medida , por ejemplo, una serie de funciones converge casi en todas partes si converge puntualmente excepto en un cierto conjunto de medida cero . Otros modos de convergencia dependen de una estructura espacial métrica diferente en el espacio de funciones en consideración. Por ejemplo, una serie de funciones converge en media en un conjunto E a una función límite ƒ siempre que

$${\displaystyle \int _{E}\left|s_{N}(x)-f(x)\right|^{2}\,dx\to 0}$$

como N  → ∞.

Serie de potencias

Una serie de potencias es una serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

La serie de Taylor en un punto c de una función es una serie de potencias que, en muchos casos, converge a la función en un entorno de c . Por ejemplo, la serie

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

es la serie de Taylor en el origen y converge a ella para cada x . ${\displaystyle e^{x}}$

A menos que converja sólo en x = c , dicha serie converge en un cierto disco abierto de convergencia centrado en el punto c en el plano complejo, y también puede converger en algunos de los puntos del límite del disco. El radio de este disco se conoce como radio de convergencia , y en principio se puede determinar a partir de la asintótica de los coeficientes a _n . La convergencia es uniforme en subconjuntos cerrados y acotados (es decir, compactos ) del interior del disco de convergencia: es decir, es uniformemente convergente en conjuntos compactos .

Históricamente, matemáticos como Leonhard Euler trabajaron con liberalidad con series infinitas, incluso si no eran convergentes. Cuando el cálculo se estableció sobre una base sólida y correcta en el siglo XIX, siempre se requirieron pruebas rigurosas de la convergencia de las series.

Serie de potencias formales

Aunque muchos usos de las series de potencias se refieren a sus sumas, también es posible tratar las series de potencias como sumas formales , lo que significa que en realidad no se realizan operaciones de suma y el símbolo "+" es un símbolo abstracto de conjunción que no se interpreta necesariamente como correspondiente a la suma. En este contexto, la secuencia de coeficientes en sí es de interés, en lugar de la convergencia de la serie. Las series de potencias formales se utilizan en combinatoria para describir y estudiar secuencias que de otro modo serían difíciles de manejar, por ejemplo, utilizando el método de funciones generadoras . La serie de Hilbert-Poincaré es una serie de potencias formales que se utiliza para estudiar álgebras graduadas .

Incluso si no se considera el límite de la serie de potencias, si los términos admiten una estructura apropiada, entonces es posible definir operaciones como adición , multiplicación , derivada y antiderivada para series de potencias "formalmente", tratando el símbolo "+" como si correspondiera a la adición. En el contexto más común, los términos provienen de un anillo conmutativo , de modo que la serie de potencias formal se puede sumar término por término y multiplicar mediante el producto de Cauchy . En este caso, el álgebra de series de potencias formales es el álgebra total del monoide de números naturales sobre el anillo de términos subyacente. ^[39] Si el anillo de términos subyacente es un álgebra diferencial , entonces el álgebra de series de potencias formales también es un álgebra diferencial, con diferenciación realizada término por término.

Serie Laurent

Las series de Laurent generalizan las series de potencias admitiendo términos en la serie con exponentes negativos y positivos. Por lo tanto, una serie de Laurent es cualquier serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

Si una serie de este tipo converge, en general lo hace en un anillo en lugar de en un disco, y posiblemente en algunos puntos límite. La serie converge de manera uniforme en subconjuntos compactos del interior del anillo de convergencia.

Serie de Dirichlet

Una serie de Dirichlet es una de las formas

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

donde s es un número complejo . Por ejemplo, si todos los a _n son iguales a 1, entonces la serie de Dirichlet es la función zeta de Riemann.

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Al igual que la función zeta, las series de Dirichlet en general desempeñan un papel importante en la teoría analítica de números . Generalmente, una serie de Dirichlet converge si la parte real de s es mayor que un número llamado abscisa de convergencia. En muchos casos, una serie de Dirichlet se puede extender a una función analítica fuera del dominio de convergencia mediante continuación analítica . Por ejemplo, la serie de Dirichlet para la función zeta converge absolutamente cuando Re( s ) > 1, pero la función zeta se puede extender a una función holomorfa definida en con un polo simple en 1. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$

Esta serie se puede generalizar directamente a la serie general de Dirichlet .

Serie trigonométrica

Una serie de funciones en las que los términos son funciones trigonométricas se denomina serie trigonométrica :

$${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

El ejemplo más importante de una serie trigonométrica es la serie de Fourier de una función.

Historia de la teoría de series infinitas

Desarrollo de series infinitas

Las series infinitas desempeñan un papel importante en el análisis moderno de la filosofía griega antigua del movimiento , particularmente en las paradojas de Zenón . ^[40] La paradoja de Aquiles y la tortuga demuestra que el movimiento continuo requeriría una infinidad real de instantes temporales, lo que podría decirse que era un absurdo : Aquiles corre tras una tortuga, pero cuando alcanza la posición de la tortuga al comienzo de la carrera, la tortuga ha alcanzado una segunda posición; cuando alcanza esta segunda posición, la tortuga está en una tercera posición, y así sucesivamente. Se dice que Zenón argumentó que, por lo tanto, Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga y, por lo tanto, que el movimiento continuo debe ser una ilusión. Zenón dividió la carrera en infinitas subrazas, cada una de las cuales requiere una cantidad finita de tiempo, de modo que el tiempo total para que Aquiles atrape a la tortuga está dado por una serie. La solución del lado puramente matemático e imaginativo de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, tiene una suma finita, que da el tiempo necesario para que Aquiles alcance a la tortuga. Sin embargo, en la filosofía moderna del movimiento el lado físico del problema permanece abierto, con filósofos y físicos dudando, como Zenón, de que los movimientos espaciales sean infinitamente divisibles: las conciliaciones hipotéticas de la mecánica cuántica y la relatividad general en las teorías de la gravedad cuántica a menudo introducen cuantizaciones del espacio-tiempo a escala de Planck . ^{[41] [42]}

El matemático griego Arquímedes produjo la primera suma conocida de una serie infinita con un método que todavía se utiliza en el área del cálculo actual. Utilizó el método de exhaución para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita, ^[5] y dio una aproximación notablemente precisa de π . ^{[43] [44]}

Los matemáticos de la escuela de Kerala estudiaban series infinitas alrededor del año  1350 d . C. ^[45]

En el siglo XVII, James Gregory trabajó en el nuevo sistema decimal sobre series infinitas y publicó varias series de Maclaurin . En 1715, Brook Taylor proporcionó un método general para construir la serie de Taylor para todas las funciones para las que existen . Leonhard Euler , en el siglo XVIII, desarrolló la teoría de las series hipergeométricas y las series q .

Criterios de convergencia

Se considera que la investigación de la validez de las series infinitas comenzó con Gauss en el siglo XIX. Euler ya había considerado la serie hipergeométrica

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

sobre el cual Gauss publicó una memoria en 1812. Estableció criterios más simples de convergencia y las cuestiones de los residuos y el rango de convergencia.

Cauchy (1821) insistió en pruebas estrictas de convergencia; demostró que si dos series son convergentes su producto no lo es necesariamente, y con él comienza el descubrimiento de criterios efectivos. Los términos convergencia y divergencia habían sido introducidos mucho antes por Gregory (1668). Leonhard Euler y Gauss habían dado varios criterios, y Colin Maclaurin había anticipado algunos de los descubrimientos de Cauchy. Cauchy avanzó la teoría de las series de potencias mediante su desarrollo de una función compleja en esa forma.

Abel (1826) en sus memorias sobre la serie binomial

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

Corrigió algunas de las conclusiones de Cauchy y dio una suma completamente científica de la serie para valores complejos de y . Demostró la necesidad de considerar el tema de la continuidad en cuestiones de convergencia. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$

Los métodos de Cauchy condujeron a criterios especiales en lugar de generales, y lo mismo puede decirse de Raabe (1832), quien realizó la primera investigación elaborada sobre el tema, de De Morgan (desde 1842), cuya prueba logarítmica, según demostraron DuBois-Reymond (1873) y Pringsheim (1889), falla dentro de una cierta región; de Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847, este último sin integración); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852) y Arndt (1853).

Los criterios generales se iniciaron con Kummer (1835) y han sido estudiados por Eisenstein (1847), Weierstrass en sus diversas contribuciones a la teoría de funciones, Dini (1867), DuBois-Reymond (1873) y muchos otros. Las memorias de Pringsheim (1889) presentan la teoría general más completa.

Convergencia uniforme

La teoría de la convergencia uniforme fue tratada por Cauchy (1821), y Abel señaló sus limitaciones, pero los primeros en atacarla con éxito fueron Seidel y Stokes (1847-1848). Cauchy retomó el problema (1853), reconociendo las críticas de Abel y llegando a las mismas conclusiones que Stokes. Thomae utilizó la doctrina (1866), pero hubo un gran retraso en reconocer la importancia de distinguir entre convergencia uniforme y no uniforme, a pesar de las exigencias de la teoría de funciones.

Semiconvergencia

Se dice que una serie es semiconvergente (o condicionalmente convergente) si es convergente pero no absolutamente convergente .

Las series semiconvergentes fueron estudiadas por Poisson (1823), quien también dio una forma general para el resto de la fórmula de Maclaurin. Sin embargo, la solución más importante del problema se debe a Jacobi (1834), quien abordó la cuestión del resto desde un punto de vista diferente y llegó a una fórmula diferente. Esta expresión también fue elaborada, y otra dada, por Malmsten (1847). Schlömilch ( Zeitschrift , vol. I, p. 192, 1856) también mejoró el resto de Jacobi y mostró la relación entre el resto y la función de Bernoulli.

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

Genocchi (1852) contribuyó aún más a la teoría.

Entre los primeros escritores estuvo Wronski , cuya "loi suprême" (1815) apenas fue reconocida hasta que Cayley (1873) la puso en relieve.

Serie de Fourier

Las series de Fourier se estaban investigando como resultado de consideraciones físicas al mismo tiempo que Gauss, Abel y Cauchy estaban desarrollando la teoría de las series infinitas. Las series para el desarrollo de senos y cosenos, de arcos múltiples en potencias del seno y el coseno del arco habían sido tratadas por Jacob Bernoulli (1702) y su hermano Johann Bernoulli (1701) y aún antes por Vieta . Euler y Lagrange simplificaron el tema, al igual que Poinsot , Schröter , Glaisher y Kummer .

Fourier (1807) se planteó un problema diferente: desarrollar una función dada de x en términos de los senos o cosenos de múltiplos de x , un problema que plasmó en su Théorie analytique de la chaleur (1822). Euler ya había dado las fórmulas para determinar los coeficientes de la serie; Fourier fue el primero en afirmar e intentar demostrar el teorema general. Poisson (1820-23) también abordó el problema desde un punto de vista diferente. Sin embargo, Fourier no resolvió la cuestión de la convergencia de su serie, un asunto que Cauchy (1826) intentó intentar y que Dirichlet (1829) manejó de una manera completamente científica (véase convergencia de las series de Fourier ). El tratamiento de las series trigonométricas por parte de Dirichlet ( Crelle , 1829) fue objeto de críticas y mejoras por parte de Riemann (1854), Heine, Lipschitz , Schläfli y du Bois-Reymond . Entre otros contribuyentes destacados a la teoría de las series trigonométricas y de Fourier se encuentran Dini , Hermite , Halphen , Krause, Byerly y Appell .

Generalizaciones

Serie asintótica

Las series asintóticas , también llamadas expansiones asintóticas , son series infinitas cuyas sumas parciales se convierten en buenas aproximaciones en el límite de algún punto del dominio. En general, no convergen, pero son útiles como secuencias de aproximaciones, cada una de las cuales proporciona un valor cercano a la respuesta deseada para un número finito de términos. La diferencia es que no se puede hacer que una serie asintótica produzca una respuesta tan exacta como se desea, como sí puede suceder con las series convergentes. De hecho, después de un cierto número de términos, una serie asintótica típica alcanza su mejor aproximación; si se incluyen más términos, la mayoría de estas series producirán peores respuestas.

Serie divergente

En muchas circunstancias, es deseable asignar un límite a una serie que no converge en el sentido habitual. Un método de sumabilidad es una asignación de un límite a un subconjunto del conjunto de series divergentes que extiende adecuadamente la noción clásica de convergencia. Los métodos de sumabilidad incluyen la suma de Cesàro , la suma ( C , k ), la suma de Abel y la suma de Borel , en orden creciente de generalidad (y, por lo tanto, aplicables a series cada vez más divergentes).

Se conocen diversos resultados generales sobre los posibles métodos de sumabilidad. El teorema de Silverman-Toeplitz caracteriza los métodos de sumabilidad de matrices , que son métodos para sumar una serie divergente aplicando una matriz infinita al vector de coeficientes. El método más general para sumar una serie divergente es no constructivo y se refiere a los límites de Banach .

Sumas sobre conjuntos de índices arbitrarios

Se pueden dar definiciones para sumas sobre un conjunto de índices arbitrario ^[46]. Existen dos diferencias principales con la noción usual de serie: primero, no hay un orden específico dado en el conjunto ; segundo, este conjunto puede ser incontable. La noción de convergencia necesita ser fortalecida, porque el concepto de convergencia condicional depende del ordenamiento del conjunto de índices. ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Si es una función de un conjunto índice a un conjunto entonces la "serie" asociada a es la suma formal de los elementos sobre los elementos índice denotados por el ${\displaystyle a:I\mapsto G}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a(x)\in G}$ ${\displaystyle x\in I}$

$${\displaystyle \sum _{x\in I}a(x).}$$

Cuando el conjunto índice son los números naturales la función es una sucesión denotada por Una serie indexada en los números naturales es una suma formal ordenada y por eso reescribimos como para enfatizar el orden inducido por los números naturales. De este modo, obtenemos la notación común para una serie indexada por los números naturales ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle a:\mathbb {N} \mapsto G}$ ${\displaystyle a(n)=a_{n}.}$ ${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .}$$

Familias de números no negativos

Al sumar una familia de números reales no negativos, defina ${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}\right\}\in [0,+\infty ].}$$

Cuando el supremo es finito entonces el conjunto de tales que es numerable. En efecto, para cada la cardinalidad del conjunto es finita porque ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \left|A_{n}\right|}$ ${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}$$

Si es infinito contable y enumerado como entonces la suma definida anteriormente satisface ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{i_{k}},}$$siempre que se permita el valor para la suma de la serie. ${\displaystyle \infty }$

Cualquier suma sobre números reales no negativos puede entenderse como la integral de una función no negativa con respecto a la medida de conteo , lo que explica las muchas similitudes entre las dos construcciones.

Grupos topológicos abelianos

Sea una función, también denotada por de algún conjunto no vacío en un grupo topológico abeliano de Hausdorff Sea la colección de todos los subconjuntos finitos de con visto como un conjunto dirigido , ordenado bajo inclusión con unión como unión . Se dice que la familia es incondicionalmente sumable si el siguiente límite , que se denota por y se llama suma de existe en ${\displaystyle a:I\to X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X:}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$$Decir que la suma es el límite de sumas parciales finitas significa que para cada entorno del origen en existe un subconjunto finito de tal que ${\displaystyle S:=\sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\qquad {\text{ for every finite superset}}\;A\supseteq A_{0}.}$$

Como no está totalmente ordenado , no se trata de un límite de una secuencia de sumas parciales, sino de una red . ^{[47] [48]} ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$

Para cada vecindad del origen en existe una vecindad más pequeña tal que Se sigue que las sumas parciales finitas de una familia incondicionalmente sumable forman una red de Cauchy , es decir, para cada vecindad del origen en existe un subconjunto finito de tal que ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V-V\subseteq W.}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W\qquad {\text{ for all finite supersets }}\;A_{1},A_{2}\supseteq A_{0},}$$lo que implica que para cada (tomando y ). ${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle A_{2}:=A_{0}}$

Cuando es completa , una familia es incondicionalmente sumable en si y solo si las sumas finitas satisfacen la última condición de red de Cauchy. Cuando es completa y es incondicionalmente sumable en entonces para cada subconjunto la subfamilia correspondiente también es incondicionalmente sumable en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle J\subseteq I,}$ ${\displaystyle \left(a_{j}\right)_{j\in J},}$ ${\displaystyle X.}$

Cuando la suma de una familia de números no negativos, en el sentido extendido definido anteriormente, es finita, entonces coincide con la suma en el grupo topológico ${\displaystyle X=\mathbb {R} .}$

Si una familia en es incondicionalmente sumable, entonces para cada entorno del origen en hay un subconjunto finito tal que para cada índice que no esté en Si es un espacio de primer numeración , entonces se deduce que el conjunto de tal que es numerable. Esto no tiene por qué ser cierto en un grupo topológico abeliano general (ver ejemplos a continuación). ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}\subseteq I}$ ${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{0}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

Serie incondicionalmente convergente

Supongamos que si una familia es incondicionalmente sumable en un grupo topológico abeliano de Hausdorff , entonces la serie en el sentido habitual converge y tiene la misma suma, ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}.}$$

Por naturaleza, la definición de sumabilidad incondicional es insensible al orden de la suma. Cuando es incondicionalmente sumable, entonces la serie sigue siendo convergente después de cualquier permutación del conjunto de índices, con la misma suma. ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

Por el contrario, si cada permutación de una serie converge, entonces la serie es incondicionalmente convergente. Cuando es completa entonces la convergencia incondicional también es equivalente al hecho de que todas las subseries son convergentes; si es un espacio de Banach , esto es equivalente a decir que para cada secuencia de signos , la serie ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}=\pm 1}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}}$$

converge en ${\displaystyle X.}$

Series en espacios vectoriales topológicos

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y es una familia (posiblemente incontable ) en entonces esta familia es sumable ^[49] si el límite de la red existe en donde es el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de dirigido por inclusión y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}x_{A}}$ ${\displaystyle \left(x_{A}\right)_{A\in \operatorname {Finite} (I)}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\textstyle x_{A}:=\sum _{i\in A}x_{i}.}$

Se dice que es absolutamente sumable si, además, para cada seminorma continua de la familia es sumable. Si es un espacio normable y si es una familia absolutamente sumable en entonces necesariamente todos los conjuntos de son cero, salvo uno numerable. Por lo tanto, en los espacios normados, normalmente solo es necesario considerar series con un número numerable de términos. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Las familias sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares .

Series en Banach y espacios semirregulados

La noción de serie se puede extender fácilmente al caso de un espacio seminormado . Si es una secuencia de elementos de un espacio normado y si entonces la serie converge a en si la secuencia de sumas parciales de la serie converge a en ; a saber, ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right)_{N=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \left\|x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right\|\to 0\quad {\text{ as }}N\to \infty .}$$

De manera más general, la convergencia de series se puede definir en cualquier grupo topológico abeliano de Hausdorff . Específicamente, en este caso, converge a si la secuencia de sumas parciales converge a ${\displaystyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Si es un espacio semirnormalizado , entonces la noción de convergencia absoluta se convierte en: Una serie de vectores en converge absolutamente si ${\displaystyle (X,|\cdot |)}$ ${\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|x_{i}\right|<+\infty }$$

En cuyo caso, todos los valores, excepto un número contable máximo, son necesariamente cero. ${\displaystyle \left|x_{i}\right|}$

Si una serie contable de vectores en un espacio de Banach converge absolutamente, entonces converge incondicionalmente, pero lo inverso sólo se cumple en espacios de Banach de dimensión finita (teorema de Dvoretzky y Rogers (1950)).

Sumas bien ordenadas

Se puede considerar una serie condicionalmente convergente si es un conjunto bien ordenado , por ejemplo, un número ordinal. En este caso, se define por recursión transfinita : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \alpha _{0}.}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}$$

y para un ordinal límite ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}$$

Si existe este límite, si existen todos los límites hasta entonces la serie converge. ${\displaystyle \alpha _{0},}$

Ejemplos

1. Dada una función en un grupo topológico abeliano, se define para cada ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle a\in X,}$ $${\displaystyle f_{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq a,\\f(a)&x=a,\\\end{cases}}}$$

una función cuyo soporte es un singleton Entonces ${\displaystyle \{a\}.}$

$${\displaystyle f=\sum _{a\in X}f_{a}}$$

en la topología de convergencia puntual (es decir, la suma se toma en el grupo de productos infinitos ). ${\displaystyle Y^{X}}$

1. En la definición de particiones de unidad , se construyen sumas de funciones sobre un conjunto de índices arbitrarios. ${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1.}$$

Si bien, formalmente, esto requiere una noción de sumas de series incontables, por construcción, para cada dado solo hay un número finito de términos distintos de cero en la suma, por lo que no surgen problemas relacionados con la convergencia de tales sumas. En realidad, generalmente se supone más: la familia de funciones es localmente finita , es decir, para cada hay un entorno de en el que se anulan todas las funciones excepto un número finito. Cualquier propiedad de regularidad de la, como la continuidad, la diferenciabilidad, que se conserva bajo sumas finitas se conservará para la suma de cualquier subcolección de esta familia de funciones. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi _{i},}$

1. En el primer ordinal incontable visto como un espacio topológico en la topología de orden , la función constante dada por satisface ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle f:\left[0,\omega _{1}\right)\to \left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle f(\alpha )=1}$ $${\displaystyle \sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}f(\alpha )=\omega _{1}}$$

(en otras palabras, las copias de 1 son ) solo si se toma un límite sobre todas las sumas parciales contables , en lugar de sumas parciales finitas. Este espacio no es separable. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Véase también

• Fracción continua
• Pruebas de convergencia
• Serie convergente
• Serie divergente
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Expresión infinita
• Producto infinito
• Operación binaria iterada
• Lista de series matemáticas
• Prefijo suma
• Transformación de secuencia
• Expansión de la serie

Referencias

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Sr. 0033975

Enlaces externos

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• "Colección de series Show-Me" (PDF) . Leslie Green.