Área

Tamaño de una superficie bidimensional.

El área es la medida del tamaño de una región en una superficie . El área de una región plana o área plana se refiere al área de una forma o lámina plana , mientras que el área de superficie se refiere al área de una superficie abierta o al límite de un objeto tridimensional . El área puede entenderse como la cantidad de material de un determinado espesor que sería necesaria para modelar la forma, o la cantidad de pintura necesaria para cubrir la superficie con una sola capa. ^[1] Es el análogo bidimensional de la longitud de una curva (un concepto unidimensional) o el volumen de un sólido (un concepto tridimensional). Dos regiones diferentes pueden tener la misma área (como en la cuadratura del círculo ); Por sinécdoque , "área" a veces se utiliza para referirse a la región, como en un " área poligonal ".

El área de una forma se puede medir comparándola con cuadrados de un tamaño fijo. ^[2] En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad estándar de área es el metro cuadrado (escrito como m ² ), que es el área de un cuadrado cuyos lados miden un metro de largo. ^[3] Una forma con un área de tres metros cuadrados tendría la misma área que tres de esos cuadrados. En matemáticas , se define que el cuadrado unitario tiene área uno, y el área de cualquier otra forma o superficie es un número real adimensional .

Existen varias fórmulas bien conocidas para las áreas de formas simples como triángulos , rectángulos y círculos . Usando estas fórmulas, el área de cualquier polígono se puede encontrar dividiendo el polígono en triángulos . ^[4] Para formas con límites curvos, generalmente se requiere cálculo para calcular el área. De hecho, el problema de determinar el área de figuras planas fue una motivación importante para el desarrollo histórico del cálculo . ^[5]

Para una forma sólida como una esfera , un cono o un cilindro, el área de su superficie límite se llama área de superficie . ^{[1] [6] [7] Los} antiguos griegos calcularon las fórmulas para las áreas de superficie de formas simples , pero calcular el área de superficie de una forma más complicada generalmente requiere cálculo multivariable .

El área juega un papel importante en las matemáticas modernas. Además de su obvia importancia en geometría y cálculo, el área está relacionada con la definición de determinantes en álgebra lineal , y es una propiedad básica de las superficies en geometría diferencial . ^[8] En el análisis , el área de un subconjunto del plano se define utilizando la medida de Lebesgue , ^[9] aunque no todos los subconjuntos son mensurables si se supone el axioma de elección. ^[10] En general, el área en matemáticas superiores se considera un caso especial de volumen para regiones bidimensionales. ^[1]

El área se puede definir mediante el uso de axiomas, definiéndola como función de un conjunto de determinadas figuras planas del conjunto de los números reales. Se puede demostrar que tal función existe.

Definicion formal

Una forma de definir lo que se entiende por "área" es a través de axiomas . "Área" se puede definir como una función de una colección M de tipos especiales de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de números reales, que satisface las siguientes propiedades: ^[11]

• Para todo S en M , a ( S ) ≥ 0 .
• Si S y T están en M entonces también lo están S ∪ T y S ∩ T , y también a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T ) .
• Si S y T están en M con S ⊆ T entonces T − S está en M y a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S ) .
• Si un conjunto S está en M y S es congruente con T entonces T también está en M y a ( S ) = a ( T ) .
• Todo rectángulo R está en M. Si el rectángulo tiene largo h y ancho k entonces a ( R ) = hk .
• Sea Q un conjunto encerrado entre dos regiones escalonadas S y T. Una región escalonada se forma a partir de una unión finita de rectángulos adyacentes que descansan sobre una base común, es decir , S ⊆ Q ⊆ T. Si hay un número único c tal que a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) para todas esas regiones escalonadas S y T , entonces a ( Q ) = c .

Se puede demostrar que dicha función de área existe realmente. ^[12]

Unidades

Un cuadrado de un metro cuadrado fabricado con tubo de PVC.

Cada unidad de longitud tiene una unidad de área correspondiente, es decir, el área de un cuadrado con la longitud de lado dada. Así, las áreas se pueden medir en metros cuadrados (m ² ), centímetros cuadrados (cm ² ), milímetros cuadrados (mm ² ), kilómetros cuadrados (km ² ), pies cuadrados (ft ² ), yardas cuadradas (yd ² ), millas cuadradas. (mi ² ), y así sucesivamente. ^[13] Algebraicamente, estas unidades pueden considerarse como los cuadrados de las unidades de longitud correspondientes.

La unidad SI de área es el metro cuadrado, que se considera una unidad derivada del SI . ^[3]

Conversiones

Aunque hay 10 mm en 1 cm, hay 100 mm ² en 1 cm ² .

El cálculo del área de un cuadrado cuyo largo y ancho son 1 metro sería:

1 metro × 1 metro = 1 m ²

y así, un rectángulo con lados diferentes (digamos de 3 metros de largo y 2 metros de ancho) tendría un área en unidades cuadradas que se puede calcular como:

3 metros × 2 metros = 6 m ² . Esto equivale a 6 millones de milímetros cuadrados. Otras conversiones útiles son:

• 1 kilómetro cuadrado = 1.000.000 metros cuadrados
• 1 metro cuadrado = 10.000 centímetros cuadrados = 1.000.000 milímetros cuadrados
• 1 centímetro cuadrado = 100 milímetros cuadrados.

Unidades no métricas

En unidades no métricas, la conversión entre dos unidades cuadradas es el cuadrado de la conversión entre las unidades de longitud correspondientes.

1 pie = 12 pulgadas ,

la relación entre pies cuadrados y pulgadas cuadradas es

1 pie cuadrado = 144 pulgadas cuadradas,

donde 144 = 12 ² = 12 × 12. De manera similar:

• 1 yarda cuadrada = 9 pies cuadrados
• 1 milla cuadrada = 3.097.600 yardas cuadradas = 27.878.400 pies cuadrados

Además, los factores de conversión incluyen:

• 1 pulgada cuadrada = 6,4516 centímetros cuadrados
• 1 pie cuadrado = 0,092 903 04 metros cuadrados
• 1 yarda cuadrada = 0,836 127 36 metros cuadrados
• 1 milla cuadrada = 2.589 988 110 336 kilómetros cuadrados

Otras unidades incluidas las históricas.

Hay varias otras unidades comunes por área. El área era la unidad de área original en el sistema métrico , con:

• 1 are = 100 metros cuadrados

Aunque el área ha dejado de usarse, la hectárea todavía se usa comúnmente para medir la tierra: ^[13]

• 1 hectárea = 100 áreas = 10.000 metros cuadrados = 0,01 kilómetros cuadrados

Otras unidades métricas de área poco comunes incluyen la tétrada , la hectárea y la miríada .

El acre también se usa comúnmente para medir áreas de tierra, donde

• 1 acre = 4840 yardas cuadradas = 43,560 pies cuadrados.

Un acre equivale aproximadamente al 40% de una hectárea.

En la escala atómica, el área se mide en unidades de graneros , de modo que: ^[13]

• 1 granero = 10 ⁻²⁸ metros cuadrados.

El granero se utiliza comúnmente para describir el área transversal de interacción en física nuclear . ^[13]

En el sur de Asia (principalmente indios), aunque los países usan unidades SI como oficiales, muchos surasiáticos todavía usan unidades tradicionales. Cada división administrativa tiene su propia unidad de área, algunas de ellas tienen el mismo nombre, pero con valores diferentes. No existe un consenso oficial sobre los valores de las unidades tradicionales. Así, las conversiones entre las unidades SI y las unidades tradicionales pueden tener resultados diferentes, dependiendo de la referencia que se haya utilizado. ^{[14] [15] [16] [17]}

Algunas unidades tradicionales del sur de Asia que tienen valor fijo:

• 1 Killa = 1 acre
• 1 Ghumaon = 1 acre
• 1 canal = 0,125 acre (1 acre = 8 canales)
• 1 decimal = 48,4 yardas cuadradas
• 1 chatak = 180 pies cuadrados

Historia

Área del círculo

En el siglo V a. C., Hipócrates de Quíos fue el primero en demostrar que el área de un disco (la región encerrada por un círculo) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la luna de Hipócrates , ^{[18 ]} pero no identificó la constante de proporcionalidad . Eudoxo de Cnido , también en el siglo V a. C., también descubrió que el área de un disco es proporcional a su radio al cuadrado. ^[19]

Posteriormente, el Libro I de los Elementos de Euclides trató de la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático Arquímedes utilizó las herramientas de la geometría euclidiana para demostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro Medición de un círculo . (La circunferencia es 2 π r , y el área de un triángulo es la mitad de la base multiplicada por la altura, lo que da el área π r ² para el disco). Arquímedes aproxima el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario ) con su método de duplicación , en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para obtener un hexágono regular , luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a ese del círculo (e hizo lo mismo con los polígonos circunscritos ).

Área del triángulo

Herón de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro Métrica , escrito alrededor del año 60 d.C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, ^[20] y dado que Metrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo. ^[21] En 300 a. C., el matemático griego Euclides demostró que el área de un triángulo es la mitad que la de un paralelogramo con la misma base y altura en su libro Elementos de geometría . ^[22]

En 499 , Aryabhata , un gran matemático y astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , expresó el área de un triángulo como la mitad de la base multiplicada por la altura en el Aryabhatiya (sección 2.6).

Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Heron, independientemente de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang (" Tratado matemático en nueve secciones "), escrito por Qin Jiushao .

Área cuadrilátera

En el siglo VII d.C., Brahmagupta desarrolló una fórmula, ahora conocida como fórmula de Brahmagupta , para el área de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero inscrito en un círculo) en términos de sus lados. En 1842, los matemáticos alemanes Carl Anton Bretschneider y Karl Georg Christian von Staudt encontraron de forma independiente una fórmula, conocida como fórmula de Bretschneider , para el área de cualquier cuadrilátero.

Área general del polígono

El desarrollo de las coordenadas cartesianas por René Descartes en el siglo XVII permitió a Gauss desarrollar la fórmula del topógrafo para el área de cualquier polígono con ubicaciones de vértices conocidas en el siglo XIX.

Áreas determinadas mediante cálculo.

El desarrollo del cálculo integral a finales del siglo XVII proporcionó herramientas que posteriormente podrían usarse para calcular áreas más complicadas, como el área de una elipse y las áreas de superficie de varios objetos tridimensionales curvos.

Fórmulas de área

Fórmulas de polígonos

Para un polígono que no se interseca ( simple ), cuyas coordenadas cartesianas ( i = 0, 1, ..., n -1) de cuyos n vértices se conocen, el área viene dada por la fórmula del topógrafo : ^[23] ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }}$

donde cuando i = n -1, entonces i +1 se expresa como módulo n y por tanto se refiere a 0.

Rectángulos

El área de este rectángulo es  lw .

La fórmula del área más básica es la fórmula para el área de un rectángulo . Dado un rectángulo con largo l y ancho w , la fórmula para el área es: ^[2]

A = lw  (rectángulo).

Es decir, el área del rectángulo es el largo multiplicado por el ancho. Como caso especial, como l = w en el caso de un cuadrado, el área de un cuadrado con longitud de lado s viene dada por la fórmula: ^{[1] [2]}

A = s ²  (cuadrado).

La fórmula para el área de un rectángulo se deriva directamente de las propiedades básicas del área y, a veces, se toma como una definición o axioma . En cambio, si se desarrolla la geometría antes que la aritmética , esta fórmula puede usarse para definir la multiplicación de números reales .

Disección, paralelogramos y triángulos.

Un paralelogramo se puede cortar y reorganizar para formar un rectángulo.

La mayoría de las otras fórmulas simples para el área se derivan del método de disección . Esto implica cortar una forma en pedazos, cuyas áreas deben sumar el área de la forma original. Por ejemplo, cualquier paralelogramo se puede subdividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo , como se muestra en la figura de la izquierda. Si el triángulo se mueve al otro lado del trapecio, entonces la figura resultante es un rectángulo. De ello se deduce que el área del paralelogramo es la misma que el área del rectángulo: ^[2]

A = bh  (paralelogramo).

Un paralelogramo dividido en dos triángulos iguales.

Sin embargo, el mismo paralelogramo también se puede cortar a lo largo de una diagonal en dos triángulos congruentes , como se muestra en la figura de la derecha. Se deduce que el área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo: ^[2]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$  (triángulo).

Se pueden utilizar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para el trapezoide ^[24] , así como para polígonos más complicados . ^[25]

Área de formas curvas

circulos

Un círculo se puede dividir en sectores que se reorganizan para formar un paralelogramo aproximado .

La fórmula para el área de un círculo (más propiamente llamada área encerrada por un círculo o área de un disco ) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio r , es posible dividir el círculo en sectores , como se muestra en la figura de la derecha. Cada sector tiene una forma aproximadamente triangular y los sectores se pueden reorganizar para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es r y el ancho es la mitad de la circunferencia del círculo, o π r . Por tanto, el área total del círculo es π r ² : ^[2]

A = π r ²  (círculo).

Aunque la disección utilizada en esta fórmula es sólo aproximada, el error se vuelve cada vez más pequeño a medida que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente π r ² , que es el área del círculo. ^[26]

Este argumento es en realidad una simple aplicación de las ideas del cálculo . En la antigüedad, el método de agotamiento se usaba de manera similar para encontrar el área del círculo, y este método ahora se reconoce como un precursor del cálculo integral . Usando métodos modernos, el área de un círculo se puede calcular usando una integral definida :

${\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}$

elipses

La fórmula del área encerrada por una elipse está relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse con ejes semimayor y semimenor x e y la fórmula es: ^[2]

${\displaystyle A=\pi xy.}$

Área de superficie no plana

Arquímedes demostró que el área de la superficie de una esfera es exactamente cuatro veces el área de un disco plano del mismo radio, y el volumen encerrado por la esfera es exactamente 2/3 del volumen de un cilindro de la misma altura y radio.

La mayoría de las fórmulas básicas para el área de superficie se pueden obtener cortando superficies y aplanándolas (ver: superficies desarrollables ). Por ejemplo, si la superficie lateral de un cilindro (o cualquier prisma ) se corta longitudinalmente, la superficie se puede aplanar formando un rectángulo. De manera similar, si se hace un corte a lo largo del lado de un cono , la superficie lateral se puede aplanar en un sector de un círculo y calcular el área resultante.

La fórmula para el área de superficie de una esfera es más difícil de derivar: debido a que una esfera tiene una curvatura gaussiana distinta de cero , no se puede aplanar. La fórmula para el área de la superficie de una esfera fue obtenida por primera vez por Arquímedes en su obra Sobre la esfera y el cilindro . La fórmula es: ^[6]

A = 4 πr ²  (esfera),

donde r es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula para el área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza inherentemente métodos similares al cálculo .

Fórmulas generales

Áreas de figuras bidimensionales.

Área del triángulo ${\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}}$

• Un triángulo : (donde B es cualquier lado y h es la distancia desde la línea en la que se encuentra B hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula se puede utilizar si se conoce la altura h . Si se conocen las longitudes de los tres lados, entonces se puede usar la fórmula de Herón : donde a , b , c son los lados del triángulo y es la mitad de su perímetro. ^[2] Si se dan un ángulo y sus dos lados incluidos, el área es donde C es el ángulo dado y a y b son sus lados incluidos. ^[2] Si el triángulo se grafica en un plano de coordenadas, se puede usar una matriz y se simplifica al valor absoluto de . Esta fórmula también se conoce como fórmula del cordón y es una manera fácil de resolver el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos (x ₁ , y ₁ ) , (x ₂ , y ₂ ) y (x ₃ , y ₃ ) . La fórmula del cordón de zapato también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es utilizar el cálculo para encontrar el área. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}$ ${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$
• Un polígono simple construido sobre una cuadrícula de puntos equidistantes (es decir, puntos con coordenadas enteras ) tal que todos los vértices del polígono son puntos de la cuadrícula: , donde i es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y b es el número de puntos límite . Este resultado se conoce como teorema de Pick . ^[27] ${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$

Área en cálculo

Se puede considerar la integración como medir el área bajo una curva, definida por f ( x ), entre dos puntos (aquí a y b ).

El área entre dos gráficas se puede evaluar calculando la diferencia entre las integrales de las dos funciones.

• El área entre una curva de valor positivo y el eje horizontal, medida entre dos valores a y b (b se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, está dada por la integral de a a b de la función que representa la curva: ^[1]

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

• El área entre las gráficas de dos funciones es igual a la integral de una función , f ( x ), menos la integral de la otra función, g ( x ):

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}$¿Dónde está la curva con el mayor valor de y? ${\displaystyle f(x)}$

• Un área acotada por una función expresada en coordenadas polares es: ^[1] ${\displaystyle r=r(\theta )}$

${\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}$

• El área encerrada por una curva paramétrica con puntos finales está dada por las integrales de línea : ${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$

${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$

o el componente z de

${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}$

(Para obtener más información, consulte el teorema de Green § Cálculo del área ). Este es el principio del dispositivo mecánico planímetro .

Área acotada entre dos funciones cuadráticas

Para encontrar el área acotada entre dos funciones cuadráticas , primero restamos una de la otra y escribimos la diferencia como

$${\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}$$

fxgxla fórmula de Vieta^{[28] [29]}

$${\displaystyle A={\frac {(b^{2}-4ac)^{3/2}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.}$$

Área de superficie de figuras tridimensionales.

• Cono : ^[30] , donde r es el radio de la base circular y h es la altura. Esto también se puede reescribir como ^[30] o donde r es el radio y l es la altura inclinada del cono. es el área de la base mientras que es el área de la superficie lateral del cono. ^[30] ${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$ ${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$ ${\displaystyle \pi rl}$
• Cubo : , donde s es la longitud de una arista. ^[6] ${\displaystyle 6s^{2}}$
• Cilindro : , donde r es el radio de una base y h es la altura. También se puede reescribir como , donde d es el diámetro. ${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$ ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle \pi d}$
• Prisma : , donde B es el área de una base, P es el perímetro de una base y h es la altura del prisma. ${\displaystyle 2B+Ph}$
• pirámide : donde B es el área de la base, P es el perímetro de la base y L es la longitud de la inclinación. ${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$
• Prisma rectangular : , donde es el largo, w es el ancho y h es la altura. ${\displaystyle 2(\ell w+\ell h+wh)}$ ${\displaystyle \ell }$

Fórmula general para el área de superficie.

La fórmula general para el área de superficie de la gráfica de una función continuamente diferenciable donde y es una región en el plano xy con el límite suave: ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle (x,y)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle A=\iint _{D}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy.}$

Una fórmula aún más general para el área de la gráfica de una superficie paramétrica en forma vectorial donde es una función vectorial continuamente diferenciable es: ^[8] ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}$

Lista de fórmulas

Los cálculos anteriores muestran cómo encontrar las áreas de muchas formas comunes .

Las áreas de polígonos irregulares (y por tanto arbitrarios) se pueden calcular utilizando la " fórmula del topógrafo " (fórmula del cordón de zapato). ^[26]

Relación del área al perímetro

La desigualdad isoperimétrica establece que, para una curva cerrada de longitud L (por lo que la región que encierra tiene perímetro L ) y para el área A de la región que encierra,

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

y la igualdad se cumple si y sólo si la curva es un círculo . Por tanto, un círculo tiene el área más grande de cualquier figura cerrada con un perímetro dado.

En el otro extremo, una figura con un perímetro L dado podría tener un área arbitrariamente pequeña, como lo ilustra un rombo que está "inclinado" arbitrariamente de modo que dos de sus ángulos están arbitrariamente cerca de 0° y los otros dos están arbitrariamente cerca a 180°.

Para un círculo, la relación entre el área y la circunferencia (el término para el perímetro de un círculo) es igual a la mitad del radio r . Esto se puede ver en la fórmula del área πr ² y la fórmula de la circunferencia 2 πr .

El área de un polígono regular es la mitad de su perímetro multiplicado por la apotema (donde la apotema es la distancia desde el centro hasta el punto más cercano en cualquier lado).

Fractales

Duplicar la longitud de los bordes de un polígono multiplica su área por cuatro, que es dos (la relación entre la longitud del lado nuevo y el antiguo) elevado a la potencia de dos (la dimensión del espacio en el que reside el polígono). Pero si las longitudes unidimensionales de un fractal dibujado en dos dimensiones se duplican, el contenido espacial del fractal aumenta en una potencia de dos que no es necesariamente un número entero. Este poder se llama dimensión fractal del fractal.^[31]

Bisectrices de área

Hay una infinidad de rectas que bisecan el área de un triángulo. Tres de ellas son las medianas del triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), y éstas son concurrentes en el centroide del triángulo ; de hecho, son las únicas bisectrices de área que pasan por el centroide. Cualquier línea que pasa por un triángulo y que divide el área del triángulo y su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su circunferencia ). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado.

Cualquier recta que pase por el punto medio de un paralelogramo biseca el área.

Todas las bisectrices de un círculo u otra elipse pasan por el centro, y cualquier cuerda que pase por el centro biseca el área. En el caso de un círculo son los diámetros del círculo.

Mejoramiento

Dado un contorno de alambre, la superficie de menor área que lo abarca ("relleno") es una superficie mínima . Ejemplos familiares incluyen las pompas de jabón .

La cuestión de la zona de llenado del círculo de Riemann sigue abierta. ^[32]

El círculo tiene el área más grande de cualquier objeto bidimensional que tenga el mismo perímetro.

Un polígono cíclico (uno inscrito en un círculo) tiene el área más grande de cualquier polígono con un número determinado de lados de la misma longitud.

Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos los que tienen un perímetro dado es equilátero . ^[33]

El triángulo de mayor área de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero; y el triángulo de menor área de todos los circunscritos a un círculo dado es equilátero. ^[34]

La relación entre el área del círculo y el área de un triángulo equilátero, es mayor que la de cualquier triángulo no equilátero. ^[35] ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

La relación entre el área y el cuadrado del perímetro de un triángulo equilátero es mayor que la de cualquier otro triángulo. ^[33] ${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

Ver también

• Cuadrilátero de Brahmagupta , un cuadrilátero cíclico con lados enteros, diagonales enteras y área entera.
• Mapa equiareal
• Triángulo heroniano , un triángulo con lados enteros y área entera.
• Lista de desigualdades triangulares
• Triángulo de un séptimo área , un triángulo interior con un séptimo del área del triángulo de referencia.

• Teorema de Routh , una generalización del triángulo de un séptimo área.

• Órdenes de magnitud : una lista de áreas por tamaño.
• Derivación de la fórmula de un pentágono.
• Planímetro , instrumento para medir áreas pequeñas, por ejemplo en mapas.
• Área de un cuadrilátero convexo
• Pentágono de Robbins , un pentágono cíclico cuyas longitudes de lados y área son todos números racionales.

Referencias

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