Polígono tangencial

En geometría euclidiana , un polígono tangencial , también conocido como polígono circunscrito , es un polígono convexo que contiene un círculo inscrito (también llamado incírculo ). Este es un círculo que es tangente a cada uno de los lados del polígono. El polígono dual de un polígono tangencial es un polígono cíclico , que tiene un círculo circunscrito que pasa por cada uno de sus vértices .

Todos los triángulos son tangenciales, al igual que todos los polígonos regulares con cualquier número de lados. Un grupo de polígonos tangenciales bien estudiado son los cuadriláteros tangenciales , que incluyen los rombos y las cometas .

Caracterizaciones

Un polígono convexo tiene un círculo si y sólo si todas sus bisectrices de ángulos internos son concurrentes . Este punto común es el incentro (el centro de la circunferencia). ^[1]

Existe un polígono tangencial de n lados secuenciales a ₁ , ..., a _n si y sólo si el sistema de ecuaciones

x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1 }=a_ {n}

tiene solución ( x ₁ , ..., x _n ) en reales positivos . ^[2] Si existe tal solución, entonces x ₁ , ..., x _n son las longitudes tangentes del polígono (las longitudes desde los vértices hasta los puntos donde la circunferencia es tangente a los lados).

Unicidad y no unicidad

Si el número de lados n es impar, entonces para cualquier conjunto dado de longitudes de lados que satisfagan el criterio de existencia anterior solo hay un polígono tangencial. Pero si n es par, hay una infinidad de ellos. ^[3]^{: pág. 389} Por ejemplo, en el caso del cuadrilátero donde todos los lados son iguales podemos tener un rombo con cualquier valor de los ángulos agudos, y todos los rombos son tangenciales a una circunferencia. ${\ Displaystyle a_ {1}, \ puntos, a_ {n}}$

radio

Si los n lados de un polígono tangencial son a ₁ , ..., an _, el inradius ( radio de la circunferencia) es ^[4]

r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}

donde K es el área del polígono y s es el semiperímetro . (Dado que todos los triángulos son tangenciales, esta fórmula se aplica a todos los triángulos).

Otras propiedades

Para un polígono tangencial con un número impar de lados, todos los lados son iguales si y sólo si todos los ángulos son iguales (por lo que el polígono es regular). Un polígono tangencial con un número par de lados tiene todos los lados iguales si y sólo si los ángulos alternos son iguales (es decir, los ángulos A , C , E ,... son iguales, y los ángulos B , D , F ,... son iguales). ^[5]
En un polígono tangencial con un número par de lados, la suma de las longitudes de los lados impares es igual a la suma de las longitudes de los lados pares. ^[2]
Un polígono tangencial tiene un área mayor que cualquier otro polígono con el mismo perímetro y los mismos ángulos interiores en la misma secuencia. ^[6]^{: pág. 862}^[7]
El centroide de cualquier polígono tangencial, el centroide de sus puntos límite y el centro del círculo inscrito son colineales , estando el centroide del polígono entre los demás y dos veces más lejos del incentro que del centroide del límite. ^[6]^{: págs. 858–9}

Triangulo tangencial

Si bien todos los triángulos son tangenciales a algún círculo, un triángulo se llama triángulo tangencial de un triángulo de referencia si las tangencias del triángulo tangencial con el círculo son también los vértices del triángulo de referencia.

Cuadrilátero tangencial

hexágono tangencial

En un hexágono tangencial ABCDEF , las diagonales principales AD , BE y CF son concurrentes según el teorema de Brianchon .

Ver también

Circungón

Referencias

^ Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer , Métodos de geometría euclidiana , Asociación Matemática de América, 2010, p. 77.
^ ab Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, Compendio de la OMI , Springer, 2006, p. 561.
^ Hess, Albrecht (2014), "En un círculo que contiene los incentros de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geometriorum , 14 : 389–396.
^ Alsina, Claudi y Nelsen, Roger, Iconos de las matemáticas. Una exploración de veinte imágenes clave , Asociación Matemática de América, 2011, p. 125.
^ De Villiers, Michael. "Polígonos circunscritos equiángulos cíclicos y equiláteros", Mathematical Gazette 95, marzo de 2011, 102-107.
^ ab Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian (diciembre de 2004). «Figuras que circunscriben círculos» (PDF) . Mensual Matemático Estadounidense . 111 (10): 853–863. doi :10.2307/4145094. JSTOR 4145094 . Consultado el 6 de abril de 2016 .
^ Apóstol, Tom (diciembre de 2005). "errata". Mensual Matemático Estadounidense . 112 (10): 946. doi : 10.1080/00029890.2005.11920274. S2CID 218547110.