Una circunferencia excircunferencia o circunferencia escrita [2] del triángulo es una circunferencia situada fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de los otros dos . Cada triángulo tiene tres excírculos distintos, cada uno de ellos tangente a uno de los lados del triángulo. [3]
El centro de la circunferencia, llamado incentro , se puede encontrar como la intersección de las tres bisectrices de los ángulos internos . [3] [4] El centro de una excircunferencia es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice A , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este excírculo se llama excentro relativo al vértice A , o excentro de A. [3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro de la circunferencia junto con los tres centros de la circunferencia forman un sistema ortocéntrico . [5]
Incircunferencia e Incentro
Supongamos que tiene un círculo con radio y centro . Sea la longitud de , la longitud de y la longitud de . También sean , y los puntos de contacto donde el círculo toca a , y .
La distancia del vértice al incentro es: [ cita necesaria ]
Coordenadas trilineales
Las coordenadas trilineales de un punto del triángulo son la relación de todas las distancias a los lados del triángulo. Debido a que el incentro está a la misma distancia de todos los lados del triángulo, las coordenadas trilineales para el incentro son [6]
Coordenadas baricéntricas
Las coordenadas baricéntricas de un punto en un triángulo dan pesos tales que el punto es el promedio ponderado de las posiciones de los vértices del triángulo. Las coordenadas baricéntricas para el incentro están dadas por
donde , y son las longitudes de los lados del triángulo, o de manera equivalente (usando la ley de los senos ) por
donde , y son los ángulos en los tres vértices.
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas del incentro son un promedio ponderado de las coordenadas de los tres vértices usando las longitudes de los lados del triángulo con respecto al perímetro (es decir, usando las coordenadas baricéntricas dadas anteriormente, normalizadas para sumar la unidad) como pesos. Los pesos son positivos, por lo que el incentro se encuentra dentro del triángulo como se indicó anteriormente. Si los tres vértices están ubicados en , y , y los lados opuestos a estos vértices tienen longitudes correspondientes , y , entonces el incentro está en [ cita necesaria ]
Radio
El inradio de la circunferencia en un triángulo con lados de longitud , está dado por [7]
¿Dónde está el semiperímetro?
Los puntos de tangencia del círculo dividen los lados en segmentos de longitudes desde , desde y desde . [8]
Denotando el incentro de como , las distancias desde el incentro a los vértices combinadas con las longitudes de los lados del triángulo obedecen a la ecuación [9]
A la colección de centros de triángulos se le puede dar la estructura de un grupo mediante la multiplicación de coordenadas de coordenadas trilineales; en este grupo, el incentro forma el elemento de identidad . [6]
Circunferencia y sus propiedades de radio.
Distancias entre el vértice y los puntos de contacto más cercanos
Las distancias desde un vértice a los dos puntos de contacto más cercanos son iguales; por ejemplo: [11]
Otras propiedades
Si las altitudes de los lados de las longitudes , y son , y , entonces el inradio es un tercio de la media armónica de estas altitudes; es decir, [12]
El producto del radio circuncírculo y el radio circuncírculo de un triángulo con lados , y es [13]
Algunas relaciones entre los lados, el radio circuncírculo y el radio circuncírculo son: [14]
Cualquier línea que pase por un triángulo y que divida el área del triángulo y su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su circunferencia). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo determinado. [15]
Denotando el centro del círculo de as , tenemos [16]
y [17] : 121, #84
El radio del círculo no es mayor que un noveno de la suma de las altitudes. [18] : 289
La distancia al cuadrado del incentro al circuncentro viene dada por [19] : 232
El incentro se encuentra en el triángulo medial (cuyos vértices son los puntos medios de los lados). [19] : 233, Lema 1
Relación con el área del triángulo.
El radio de la circunferencia está relacionado con el área del triángulo. [20] La relación entre el área del círculo y el área del triángulo es menor o igual a , y la igualdad se cumple solo para triángulos equiláteros . [21]
Supongamos que
tiene un círculo con radio y centro . Sea la longitud de , la longitud de y la longitud de . Ahora, la circunferencia es tangente a en algún punto y también
lo es. Por tanto, el radio es una altitud de . Por lo tanto,
tiene longitud y altura de base , y también tiene área . De manera similar,
tiene área
y
tiene área . Como estos tres triángulos se descomponen , vemos que el área
es: y
Para una fórmula alternativa, considere . Este es un triángulo rectángulo con un lado igual a y el otro lado igual a . Lo mismo ocurre con . El triángulo grande se compone de seis de esos triángulos y el área total es: [ cita necesaria ]
Líneas entre vértices opuestos de △ ABC y △ T A T B T C (concurren en el punto Gergonne G e )
El triángulo de Gergonne (de ) está definido por los tres puntos de contacto del círculo en los tres lados. El punto de contacto opuesto se denota , etc.
Este triángulo de Gergonne, también se conoce como triángulo de contacto o triángulo de contacto de . Su área es
donde , y son el área, el radio del círculo interior y el semiperímetro del triángulo original, y , y son las longitudes de los lados del triángulo original. Esta es la misma área que la del triángulo extouch . [22]
Las tres rectas , y se cruzan en un único punto llamado punto de Gergonne , denotado como (o centro del triángulo X7 ). El punto de Gergonne se encuentra en el disco ortocentroide abierto perforado en su propio centro y puede ser cualquier punto del mismo. [23]
El punto de Gergonne de un triángulo tiene varias propiedades, incluida la de que es el punto simediano del triángulo de Gergonne. [24]
Bisectrices del ángulo externo (que forman el triángulo excentral)
Una circunferencia excircunferencia o circunferencia escrita [2] del triángulo es una circunferencia situada fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de los otros dos . Cada triángulo tiene tres excírculos distintos, cada uno de ellos tangente a uno de los lados del triángulo. [3]
El centro de una excircunferencia es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este excírculo se llama excentro relativo al vértice , o excentro de . [3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro de la circunferencia junto con los tres centros de la circunferencia forman un sistema ortocéntrico . [5]
Deje que el círculo exterior en el lado toque el lado extendido en , y sea el radio de este círculo exterior y su centro sea . Entonces es una altitud de , también lo es el área . Por un argumento similar, tiene área y tiene área . Por tanto, el área del triángulo es .
Entonces, por simetría, denotado como el radio del círculo, .
De las fórmulas anteriores se puede ver que los círculos excírculos son siempre más grandes que el círculo circunstante y que el círculo excírculo más grande es el tangente al lado más largo y el círculo excírculo más pequeño es tangente al lado más corto. Además, al combinar estas fórmulas se obtiene: [27]
Otras propiedades excirculares
El casco circular de los excírculos es internamente tangente a cada uno de los excírculos y, por tanto, es un círculo de Apolonio . [28] El radio de este círculo de Apolonio es donde está el radio del círculo y es el semiperímetro del triángulo. [29]
Las siguientes relaciones se mantienen entre los radios interior , circunradio , semiperímetro y excircular : [ 14 ]
El círculo que pasa por los centros de los tres excírculos tiene radio . [14]
Divisores : líneas que conectan vértices opuestos de △ ABC y △ T A T B T C (concurren en el punto N de Nagel )
El triángulo de Nagel o triángulo extouch de se denota por los vértices , y son los tres puntos donde los círculos extouch tocan la referencia y donde es opuesto a , etc. Esto también se conoce como triángulo extouch de . El círculo circunstante del extouch se llama círculo de Mandart . [ cita necesaria ]
Los tres segmentos de recta , y se llaman divisores del triángulo; cada uno de ellos divide en dos el perímetro del triángulo, [ cita necesaria ]
El círculo de nueve puntos es tangente al círculo interior y excírculo.
En geometría , el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado . Se llama así porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son: [30] [31]
El punto medio del segmento de línea desde cada vértice del triángulo hasta el ortocentro (donde se encuentran las tres altitudes; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas altitudes).
En 1822, Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es externamente tangente a los tres excírculos de ese triángulo e internamente tangente a su incírculo ; este resultado se conoce como teorema de Feuerbach . Demostró que: [32]
... el círculo que pasa por los pies de las alturas de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo ... (Feuerbach 1822)
Los puntos de intersección de las bisectrices interiores de con los segmentos , , y son los vértices del triángulo central . Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo central están dadas por [ cita necesaria ]
El triángulo excentral de un triángulo de referencia tiene vértices en los centros de los círculos excéntricos del triángulo de referencia. Sus lados están en las bisectrices del ángulo externo del triángulo de referencia (ver figura en la parte superior de la página). Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo excentral están dadas por [ cita necesaria ]
Ecuaciones para cuatro círculos.
Sea un punto variable en coordenadas trilineales y sea , , . Los cuatro círculos descritos anteriormente están dados de manera equivalente por cualquiera de las dos ecuaciones dadas: [33] : 210–215
donde y son el circunradio y el inradio respectivamente, y es la distancia entre el circuncentro y el incentro.
Para excírculos la ecuación es similar:
donde es el radio de uno de los círculos excírculos y es la distancia entre el circuncentro y el centro de ese círculo excírculo. [34] [35] [36]
Generalización a otros polígonos.
Algunos (pero no todos) cuadriláteros tienen un círculo. Estos se llaman cuadriláteros tangenciales . Entre sus muchas propiedades quizás la más importante sea que sus dos pares de lados opuestos tienen sumas iguales. Esto se llama teorema de Pitot . [37]
De manera más general, un polígono con cualquier número de lados que tiene un círculo inscrito (es decir, uno que es tangente a cada lado) se llama polígono tangencial . [ cita necesaria ]
Ver también
Circumgon – Figura geométrica que circunscribe un círculo.
Circuncírculo – Círculo que pasa por los vértices de un triángulo.
Cuadrilátero extangencial : polígono convexo de 4 lados cuyas líneas laterales son todas tangentes a un círculo exterior.
Teorema de Harcourt : área de un triángulo desde sus lados y distancias de los vértices a cualquier línea tangente a su circunferencia
Circuncónica e incónica : sección cónica que pasa por los vértices de un triángulo o es tangente a sus lados.
Esfera inscrita : esfera tangente a cada cara de un poliedro.
Teorema de Trillium : una afirmación sobre las propiedades de los círculos inscritos y circunscritos
Notas
^ Kay (1969, pág.140)
^ ab Altshiller-Court (1925, p.74)
^ abcde Altshiller-Court (1925, pág. 73)
^ Kay (1969, pág.117)
^ ab Johnson 1929, pág. 182.
^ ab Enciclopedia de centros triangulares Archivado el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine , consultado el 28 de octubre de 2014.
^ Kay (1969, pág.201)
^ Chu, Thomas, El Pentágono , primavera de 2005, pág. 45, problema 584.
^ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (marzo de 2012), "Demostración de una identidad de elipse del siglo XIX", Mathematical Gazette , 96 : 161–165, doi :10.1017/S0025557200004277, S2CID 124176398.
^ abcd Bell, Amy, "Teorema del triángulo rectángulo de Hansen, su inverso y una generalización", Forum Geometriorum 6, 2006, 335–342.
^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers", Mathematics Magazine 83, abril de 2010, págs.
^ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; y Yao, Haishen, "Demostración de una identidad de elipse del siglo XIX", Mathematical Gazette 96, marzo de 2012, 161-165.
^ Altshiller-Court, Nathan. Geometría universitaria , Publicaciones de Dover, 1980.
^ abc Franzsen, William N. (2011). "La distancia del incentro a la línea de Euler" (PDF) . Foro Geométricorum . 11 : 231–236. SEÑOR 2877263..
^ Coxeter, HSM "Introducción a la geometría 2ª ed. Wiley, 1961.
^ Minda, D. y Phelps, S., "Triángulos, elipses y polinomios cúbicos", American Mathematical Monthly 115, octubre de 2008, 679-689: Teorema 4.1.
^
Weisstein, Eric W. "Triángulo de contacto". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
^ Christopher J. Bradley y Geoff C. Smith, "La ubicación de los centros de los triángulos", Forum Geometriorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
^ Dekov, Deko (2009). "Matemáticas generadas por computadora: el punto Gergonne" (PDF) . Revista de geometría euclidiana generada por computadora . 1 : 1–14. Archivado desde el original (PDF) el 5 de noviembre de 2010.
^ ab Altshiller-Court (1925, p.79)
^ Kay (1969, pág.202)
^ Baker, Marcus, "Una colección de fórmulas para el área de un triángulo plano", Annals of Mathematics , parte 1 en vol. 1(6), enero de 1885, 134-138. (Véase también la parte 2 en el vol. 2(1), septiembre de 1885, 11-18.)
^ Grinberg, Darij y Yiu, Paul, "El círculo de Apolonio como círculo de Tucker", Forum Geométricorum 2, 2002: págs.
^ Stevanovi´c, Milorad R., "El círculo de Apolonio y los centros de los triángulos relacionados", Forum Geometriorum 3, 2003, 187-195.
^ Altshiller-Court (1925, págs. 103-110)
^ Kay (1969, págs.18, 245)
^ Feuerbach, Karl Wilhelm ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (edición monográfica), Núremberg: Wiessner.
^ Whitworth, William Allen. Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica moderna de dos dimensiones , Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
^ Nelson, Roger, "La desigualdad del triángulo de Euler mediante prueba sin palabras", Mathematics Magazine 81(1), febrero de 2008, 58-61.
^ Johnson 1929, pag. 187.
^ Emelyanov, Lev y Emelyanova, Tatiana. "La fórmula de Euler y el porismo de Poncelet", Forum Geométricorum 1, 2001: págs.
^ Josefsson (2011, véanse en particular las págs. 65-66).
Referencias
Altshiller-Court, Nathan (1925), Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN 52013504
Johnson, Roger A. (1929), "X. Círculos inscritos y escritos" , Geometría moderna , Houghton Mifflin, págs.
Josefsson, Martin (2011), "Más caracterizaciones de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geometriorum , 11 : 65–82, MR 2877281