Cálculo discreto

Versión discreta (es decir, incremental) del cálculo infinitesimal

El cálculo discreto o cálculo de funciones discretas es el estudio matemático del cambio incremental , de la misma manera que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de las operaciones aritméticas . La palabra cálculo es una palabra latina , que originalmente significaba "pequeño guijarro"; como tales guijarros se usaban para el cálculo, el significado de la palabra ha evolucionado y hoy en día suele significar un método de cálculo. Mientras tanto, el cálculo , originalmente llamado cálculo infinitesimal o "el cálculo de infinitesimales ", es el estudio del cambio continuo .

El cálculo discreto tiene dos puntos de entrada: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El cálculo diferencial se ocupa de las tasas de cambio incrementales y de las pendientes de curvas lineales por partes. El cálculo integral se ocupa de la acumulación de cantidades y de las áreas bajo curvas constantes por partes. Estos dos puntos de vista están relacionados entre sí por el teorema fundamental del cálculo discreto.

El estudio de los conceptos de cambio comienza con su forma discreta. El desarrollo depende de un parámetro, el incremento de la variable independiente. Si así lo elegimos, podemos hacer que el incremento sea cada vez más pequeño y encontrar las contrapartes continuas de estos conceptos como límites . De manera informal, el límite del cálculo discreto es el cálculo infinitesimal. Aunque sirve como base discreta del cálculo, el valor principal del cálculo discreto está en las aplicaciones. ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x\to 0}$

Dos construcciones iniciales

El cálculo diferencial discreto es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones del cociente de diferencias de una función. El proceso de encontrar el cociente de diferencias se llama diferenciación . Dada una función definida en varios puntos de la línea real, el cociente de diferencias en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña escala (es decir, del punto al siguiente) de la función. Al encontrar el cociente de diferencias de una función en cada par de puntos consecutivos en su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función cociente de diferencias o simplemente cociente de diferencias de la función original. En términos formales, el cociente de diferencias es un operador lineal que toma una función como entrada y produce una segunda función como salida. Esto es más abstracto que muchos de los procesos estudiados en álgebra elemental, donde las funciones generalmente ingresan un número y generan otro número. Por ejemplo, si a la función de duplicación se le da la entrada tres, entonces genera seis, y si a la función de cuadratura se le da la entrada tres, entonces genera nueve. Sin embargo, la derivada puede tomar la función de elevación al cuadrado como entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información de la función de elevación al cuadrado (por ejemplo, que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, etc.) y utiliza esta información para producir otra función. La función producida al derivar la función de elevación al cuadrado resulta ser algo parecido a la función de duplicación.

Supongamos que las funciones están definidas en puntos separados por un incremento : ${\displaystyle \Delta x=h>0}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

La "función de duplicación" se puede denotar con y la "función de elevación al cuadrado" con . El "cociente de diferencias" es la tasa de cambio de la función en uno de los intervalos definidos por la fórmula: ${\displaystyle g(x)=2x}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle [x,x+h]}$

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Toma la función como entrada, es decir, toda la información (por ejemplo, que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, etc.) y utiliza esta información para generar otra función, la función , como se verá a continuación. Por conveniencia, la nueva función puede definirse en los puntos medios de los intervalos anteriores: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(x)=2x+h}$

${\displaystyle a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,...,a+nh+h/2,...}$

Como la tasa de cambio es la de todo el intervalo , cualquier punto dentro de él puede usarse como referencia o, mejor aún, todo el intervalo que constituye el cociente de diferencia a - cocadena . ${\displaystyle [x,x+h]}$ ${\displaystyle 1}$

La notación más común para el cociente de diferencias es:

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x+h/2)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces el cociente de diferencia representa el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si es una función que toma un tiempo como entrada y da como salida la posición de una pelota en ese momento, entonces el cociente de diferencia de es cómo cambia la posición con respecto al tiempo, es decir, es la velocidad de la pelota. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Si una función es lineal (es decir, si los puntos de la gráfica de la función se encuentran en una línea recta), entonces la función se puede escribir como , donde es la variable independiente, es la variable dependiente, es la intersección con el eje y: ${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

Pendiente: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$

Esto proporciona un valor exacto para la pendiente de una línea recta.

Sin embargo, si la función no es lineal, entonces el cambio en dividido por el cambio en varía. El cociente de diferencias da un significado exacto a la noción de cambio en la salida con respecto al cambio en la entrada. Para ser más concretos, sea una función y fijemos un punto en el dominio de . es un punto en el gráfico de la función. Si es el incremento de , entonces es el siguiente valor de . Por lo tanto, es el incremento de . La pendiente de la línea entre estos dos puntos es ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+h}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$

${\displaystyle m={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Entonces, ¿ la pendiente de la línea entre y es ? ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$

He aquí un ejemplo particular: el cociente de diferencias de la función de elevación al cuadrado. Sea la función de elevación al cuadrado. Entonces: ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x)&={(x+h)^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={2hx+h^{2} \over {h}}\\&=2x+h.\end{aligned}}}$

El cociente de diferencia del cociente de diferencia se llama segundo cociente de diferencia y se define en

${\displaystyle a+h,a+2h,a+3h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

etcétera.

El cálculo integral discreto es el estudio de las definiciones, propiedades y aplicaciones de las sumas de Riemann . El proceso de hallar el valor de una suma se denomina integración . En lenguaje técnico, el cálculo integral estudia un determinado operador lineal .

La suma de Riemann ingresa una función y genera una función que da la suma algebraica de las áreas entre la parte del gráfico de la entrada y el eje x .

Un ejemplo motivador son las distancias recorridas en un tiempo determinado.

${\displaystyle {\text{distance}}={\text{speed}}\cdot {\text{time}}}$

Si la velocidad es constante, solo se necesita la multiplicación, pero si la velocidad cambia, evaluamos la distancia recorrida dividiendo el tiempo en muchos intervalos cortos de tiempo, luego multiplicando el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades en ese intervalo y luego tomando la suma (una suma de Riemann ) de la distancia recorrida en cada intervalo.

Velocidad constante

La suma de Riemann mide el área total de las barras, definida por , entre dos puntos (aquí y ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Cuando la velocidad es constante, la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo dado se puede calcular multiplicando la velocidad por el tiempo. Por ejemplo, viajar a una velocidad constante de 50 mph durante 3 horas da como resultado una distancia total de 150 millas. En el diagrama de la izquierda, cuando se grafican la velocidad y el tiempo constantes, estos dos valores forman un rectángulo con una altura igual a la velocidad y un ancho igual al tiempo transcurrido. Por lo tanto, el producto de la velocidad por el tiempo también calcula el área rectangular bajo la curva de velocidad (constante). Esta conexión entre el área bajo una curva y la distancia recorrida se puede extender a cualquier región de forma irregular que exhiba una velocidad que varía de manera incremental durante un período de tiempo determinado. Si las barras en el diagrama de la derecha representan la velocidad a medida que varía de un intervalo al siguiente, la distancia recorrida (entre los tiempos representados por y ) es el área de la región sombreada . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle s}$

Por lo tanto, el intervalo entre y se divide en una cantidad de segmentos iguales, la longitud de cada segmento representada por el símbolo . Para cada segmento pequeño, tenemos un valor de la función . Llamemos a ese valor . Entonces, el área del rectángulo con base y altura da la distancia (tiempo multiplicado por velocidad ) recorrida en ese segmento. Asociado a cada segmento está el valor de la función que está por encima de él, . La suma de todos esos rectángulos da el área entre el eje y la curva constante por partes, que es la distancia total recorrida. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f(x)=v}$

Supongamos que una función está definida en los puntos medios de los intervalos de igual longitud : ${\displaystyle \Delta x=h>0}$

${\displaystyle a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,\ldots ,a+nh-h/2,\ldots }$

Entonces la suma de Riemann de a en notación sigma es: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=a+nh}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(a+ih)\,\Delta x.}$

Como este cálculo se realiza para cada , la nueva función se define en los puntos: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, relaciona los cocientes de diferencias con las sumas de Riemann. También puede interpretarse como una afirmación precisa de que la diferenciación es la inversa de la integración.

El teorema fundamental del cálculo: Si una función está definida en una partición del intervalo , , y si es una función cuyo cociente de diferencias es , entonces tenemos: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle b=a+nh}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

Además, para cada , tenemos: ${\textstyle m=0,1,2,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle {\frac {\Delta }{\Delta x}}\sum _{i=0}^{m}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=f(a+mh+h/2).}$

Esta es también una solución prototipo de una ecuación diferencial . Las ecuaciones diferenciales relacionan una función desconocida con su diferencia o cociente diferencial y son omnipresentes en las ciencias.

Historia

La historia temprana del cálculo discreto es la historia del cálculo . Ideas básicas como los cocientes de diferencias y las sumas de Riemann aparecen implícita o explícitamente en definiciones y demostraciones. Sin embargo, después de que se toma el límite, nunca más se las vuelve a ver. Sin embargo, la ley de voltaje de Kirchhoff (1847) puede expresarse en términos de la derivada exterior discreta unidimensional.

Durante el siglo XX, el cálculo discreto sigue estando interrelacionado con el cálculo infinitesimal, especialmente las formas diferenciales, pero también comienza a tomar elementos de la topología algebraica a medida que ambas se desarrollan. Las principales contribuciones provienen de las siguientes personas: ^[1]

• Henri Poincaré : triangulaciones ( subdivisión baricéntrica , triangulación dual ), lema de Poincaré , la primera demostración del teorema general de Stokes y mucho más
• LEJ Brouwer : teorema de aproximación simple
• Élie Cartan , Georges de Rham : la noción de forma diferencial, la derivada exterior como operador lineal independiente de coordenadas , exactitud/cerramiento de las formas
• Emmy Noether , Heinz Hopf , Leopold Vietoris , Walther Mayer : módulos de cadenas , el operador de frontera , complejos de cadenas
• J. W. Alexander , Solomon Lefschetz , Lev Pontryagin , Andrey Kolmogorov , Norman Steenrod , Eduard Čech : las primeras nociones de cocadena
• Hermann Weyl : las leyes de Kirchhoff enunciadas en términos de los operadores de frontera y cofrontera
• WVD Hodge : el operador de estrella de Hodge , la descomposición de Hodge
• Samuel Eilenberg , Saunders Mac Lane , Norman Steenrod , JHC Whitehead : el desarrollo riguroso de la teoría de homología y cohomología , incluidos los complejos de cadena y cocadena, el producto de copa
• Hassler Whitney : cocadenas como integrandos

El desarrollo reciente del cálculo discreto, comenzando con Whitney, ha sido impulsado por las necesidades de modelado aplicado . ^{[2] [3] [4]}

Aplicaciones

El cálculo discreto se utiliza para modelar, ya sea directa o indirectamente, como discretización del cálculo infinitesimal en todas las ramas de las ciencias físicas, la ciencia actuarial , la informática , la estadística , la ingeniería, la economía, los negocios, la medicina, la demografía y en otros campos donde un problema pueda ser modelado matemáticamente . Permite pasar de tasas de cambio (no constantes) al cambio total o viceversa, y muchas veces al estudiar un problema conocemos una y tratamos de encontrar la otra.

La física hace un uso particular del cálculo; todos los conceptos discretos en la mecánica clásica y el electromagnetismo están relacionados a través del cálculo discreto. La masa de un objeto de densidad conocida que varía incrementalmente, el momento de inercia de dichos objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un campo conservativo discreto se pueden encontrar mediante el uso del cálculo discreto. Un ejemplo del uso del cálculo discreto en mecánica es la segunda ley del movimiento de Newton : históricamente enunciada, utiliza expresamente el término "cambio de movimiento" que implica el cociente de diferencias diciendo que el cambio de momento de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y está en la misma dirección. Expresado comúnmente hoy como Fuerza = Masa × Aceleración, invoca el cálculo discreto cuando el cambio es incremental porque la aceleración es el cociente de diferencias de la velocidad con respecto al tiempo o el cociente de diferencias de segundos de la posición espacial. Partiendo de saber cómo se acelera un objeto, utilizamos las sumas de Riemann para derivar su trayectoria.

La teoría del electromagnetismo de Maxwell y la teoría de la relatividad general de Einstein se han expresado en el lenguaje del cálculo discreto.

La química utiliza el cálculo para determinar las velocidades de reacción y la desintegración radiactiva ( decaimiento exponencial ).

En biología, la dinámica de poblaciones comienza con las tasas de reproducción y mortalidad para modelar los cambios poblacionales ( modelado de poblaciones ).

En ingeniería, las ecuaciones diferenciales se utilizan para trazar el curso de una nave espacial en entornos de gravedad cero, para modelar la transferencia de calor , la difusión y la propagación de ondas .

El análogo discreto del teorema de Green se aplica en un instrumento conocido como planímetro , que se utiliza para calcular el área de una superficie plana en un dibujo. Por ejemplo, se puede utilizar para calcular la cantidad de área que ocupa un macizo de flores o una piscina de forma irregular al diseñar el diseño de una propiedad. Se puede utilizar para calcular de manera eficiente sumas de dominios rectangulares en imágenes, para extraer rápidamente características y detectar objetos; otro algoritmo que podría utilizarse es la tabla de áreas sumadas .

En el campo de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de un vaso sanguíneo con el fin de maximizar el flujo. A partir de las leyes de desintegración para la eliminación de un fármaco en particular del cuerpo, se utiliza para derivar leyes de dosificación. En medicina nuclear, se utiliza para construir modelos de transporte de radiación en terapias dirigidas contra tumores.

En economía, el cálculo permite determinar el beneficio máximo calculando tanto el coste marginal como el ingreso marginal , así como modelando los mercados. ^[5]

En el procesamiento de señales y el aprendizaje automático, el cálculo discreto permite definiciones apropiadas de operadores (por ejemplo, convolución), optimización de conjuntos de niveles y otras funciones clave para el análisis de redes neuronales en estructuras gráficas. ^[3]

El cálculo discreto se puede utilizar junto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, se puede utilizar en la teoría de la probabilidad para determinar la probabilidad de una variable aleatoria discreta a partir de una función de densidad supuesta.

Cálculo de diferencias y sumas

Supongamos que una función (una -cocadena) se define en puntos separados por un incremento : ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta x=h>0}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

La diferencia (o derivada exterior u operador co-límite) de la función viene dada por:

${\displaystyle {\big (}\Delta f{\big )}{\big (}[x,x+h]{\big )}=f(x+h)-f(x).}$

Se define en cada uno de los intervalos anteriores; es una -cocadena. ${\displaystyle 1}$

Supongamos que se define una cocadena en cada uno de los intervalos anteriores. Entonces, su suma es una función (una cocadena) definida en cada uno de los puntos por: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left(\sum g\right)\!(a+nh)=\sum _{i=1}^{n}g{\big (}[a+(i-1)h,a+ih]{\big )}.}$

Estas son sus propiedades:

• Regla constante : Si es una constante , entonces ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \Delta c=0}$

• Linealidad : si y son constantes , ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g,\quad \sum (af+bg)=a\,\sum f+b\,\sum g}$

• Regla del producto :

${\displaystyle \Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g}$

• Teorema fundamental del cálculo I :

${\displaystyle \left(\sum \Delta f\right)\!(a+nh)=f(a+nh)-f(a)}$

• Teorema fundamental del cálculo II :

${\displaystyle \Delta \!\left(\sum g\right)=g}$

Las definiciones se aplican a los gráficos de la siguiente manera. Si se define una función (una -cocadena) en los nodos de un gráfico: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle a,b,c,\ldots }$

entonces su derivada exterior (o diferencial) es la diferencia, es decir, la siguiente función definida en los bordes del gráfico ( -cocadena): ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \left(df\right)\!{\big (}[a,b]{\big )}=f(b)-f(a).}$

Si es una -cocadena, entonces su integral sobre una secuencia de aristas del gráfico es la suma de sus valores sobre todas las aristas de ("integral de ruta"): ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \int _{\sigma }g=\sum _{\sigma }g{\big (}[a,b]{\big )}.}$

Estas son las propiedades:

• Regla constante : Si es una constante , entonces ${\displaystyle c}$

${\displaystyle dc=0}$

• Linealidad : si y son constantes , ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg,\quad \int _{\sigma }(af+bg)=a\,\int _{\sigma }f+b\,\int _{\sigma }g}$

• Regla del producto :

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df+df\,dg}$

• Teorema fundamental del cálculo I : si una -cadena consta de los bordes , entonces para cualquier -cocadena ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},a_{n}]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{\sigma }df=f(a_{n})-f(a_{0})}$

• Teorema fundamental del cálculo II : si el gráfico es un árbol , es una -cocadena y una función ( -cocadena) está definida en los nodos del gráfico por ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\sigma }g}$

donde una -cadena consta de para algún fijo , entonces ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},x]}$ ${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle df=g}$

Ver referencias. ^{[6] [7] [8] [9] [3] [10]}

Cadenas de simples y cubos

Un complejo simplicial.

Un complejo simplicial es un conjunto de símplices que satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle S}$

1. Cada cara de un símplex de también está en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

2. La intersección no vacía de dos símplices cualesquiera es una cara de ambos y . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in S}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$

Se toman el límite de un límite de un 2-símplex (izquierda) y el límite de una 1-cadena (derecha). Ambos son 0, siendo sumas en las que tanto el positivo como el negativo de un 0-símplex ocurren una vez. El límite de un límite siempre es 0. Un ciclo no trivial es algo que se cierra como el límite de un símplex, en el sentido de que su límite suma 0, pero que en realidad no es el límite de un símplex o una cadena.

Por definición, la orientación de un k -símplex se da mediante un ordenamiento de los vértices, escrito como , con la regla de que dos ordenamientos definen la misma orientación si y solo si difieren en una permutación par . Por lo tanto, cada símplex tiene exactamente dos orientaciones, y cambiar el orden de dos vértices cambia una orientación a la orientación opuesta. Por ejemplo, elegir una orientación de un 1-símplex equivale a elegir una de las dos direcciones posibles, y elegir una orientación de un 2-símplex equivale a elegir lo que debería significar "en sentido antihorario". ${\displaystyle (v_{0},...,v_{k})}$

Sea un complejo simplicial. Una k -cadena simplicial es una suma formal finita ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,}$

donde cada c _i es un entero y σ _i es un k -símplex orientado. En esta definición, declaramos que cada símplex orientado es igual al negativo del símplex con la orientación opuesta. Por ejemplo,

${\displaystyle (v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).}$

El espacio vectorial de k -cadenas en se escribe . Tiene una base en correspondencia biunívoca con el conjunto de k -símplices en . Para definir una base explícitamente, hay que elegir una orientación de cada símplex. Una forma estándar de hacerlo es elegir un ordenamiento de todos los vértices y dar a cada símplex la orientación correspondiente al ordenamiento inducido de sus vértices. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle S}$

Sea un k -símplex orientado, visto como un elemento base de . El operador de frontera ${\displaystyle \sigma =(v_{0},...,v_{k})}$ ${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}$

es el operador lineal definido por:

${\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),}$

donde el simplex orientado

${\displaystyle (v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})}$

es la cara n-ésima de , obtenida al eliminar su vértice n-ésimo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle i}$

En , elementos del subgrupo ${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}=\ker \partial _{k}}$

se denominan ciclos y el subgrupo

${\displaystyle B_{k}=\operatorname {im} \partial _{k+1}}$

Se dice que consta de límites .

Un cálculo directo muestra que . En términos geométricos, esto dice que el límite de cualquier cosa no tiene límite. De manera equivalente, los espacios vectoriales forman un complejo de cadena . Otra afirmación equivalente es que está contenido en . ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$ ${\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle Z_{k}}$

Un complejo cúbico es un conjunto compuesto de puntos , segmentos de línea , cuadrados , cubos y sus contrapartes n -dimensionales . Se utilizan de manera análoga a los símplices para formar complejos. Un intervalo elemental es un subconjunto de la forma ${\displaystyle I\subset \mathbf {R} }$

${\displaystyle I=[\ell ,\ell +1]\quad {\text{or}}\quad I=[\ell ,\ell ]}$

para algunos . Un cubo elemental es el producto finito de intervalos elementales, es decir ${\displaystyle \ell \in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subset \mathbf {R} ^{d}}$

donde son intervalos elementales. De manera equivalente, un cubo elemental es cualquier traducción de un cubo unitario inserto en el espacio euclidiano (para algunos con ). Un conjunto es un complejo cúbico si se puede escribir como una unión de cubos elementales (o posiblemente, es homeomorfo a dicho conjunto) y contiene todas las caras de todos sus cubos. El operador de contorno y el complejo de cadena se definen de manera similar a los de los complejos simpliciales. ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}}$ ${\displaystyle n\leq d}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbf {R} ^{d}}$

Más generales son los complejos celulares .

Un complejo de cadena es una secuencia de espacios vectoriales conectados por operadores lineales (llamados operadores de contorno ) , de modo que la composición de dos funciones consecutivas cualesquiera es la función cero. Explícitamente, los operadores de contorno satisfacen , o con índices suprimidos, . El complejo puede escribirse de la siguiente manera. ${\displaystyle (C_{*},\partial _{*})}$ ${\displaystyle \ldots ,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},\ldots }$ ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ ${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {\partial _{0}}}C_{0}{\xleftarrow {\partial _{1}}}C_{1}{\xleftarrow {\partial _{2}}}C_{2}{\xleftarrow {\partial _{3}}}C_{3}{\xleftarrow {\partial _{4}}}C_{4}{\xleftarrow {\partial _{5}}}\cdots }$

Una función simplicial es una función entre complejos simpliciales con la propiedad de que las imágenes de los vértices de un símplex siempre abarcan un símplex (por lo tanto, los vértices tienen vértices para imágenes). Una función simplicial de un complejo simplicial a otro es una función del conjunto de vértices de al conjunto de vértices de tal que la imagen de cada símplex en (visto como un conjunto de vértices) es un símplex en . Genera una función lineal, llamada función en cadena , del complejo en cadena de al complejo en cadena de . Explícitamente, se da en cadenas - por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}$

si son todos distintos, y en caso contrario se establece igual a . ${\displaystyle f(v_{0}),...,f(v_{k})}$ ${\displaystyle 0}$

Una función de cadena entre dos complejos de cadena y es una secuencia de homomorfismos para cada uno que conmuta con los operadores de contorno en los dos complejos de cadena, por lo que . Esto se escribe en el siguiente diagrama conmutativo : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (A_{*},d_{A,*})}$ ${\displaystyle (B_{*},d_{B,*})}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

Un mapa de cadena envía ciclos a ciclos y límites a límites.

Ver referencias. ^{[11] [10] [12]}

Formas diferenciales discretas: cocadenas

Para cada espacio vectorial C _i en el complejo de cadena consideramos su espacio dual y es su operador lineal dual ${\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},{\bf {R}}),}$ ${\displaystyle d^{i}=\partial _{i}^{*}}$

${\displaystyle d^{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$

Esto tiene el efecto de "invertir todas las flechas" del complejo original, dejando un complejo de cocadena.

${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {\partial _{i}^{*}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {\partial _{i-1}^{*}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$

El complejo de cocadena es el concepto dual de complejo de cadena. Consiste en una secuencia de espacios vectoriales conectados por operadores lineales que satisfacen . El complejo de cocadena puede escribirse de manera similar al complejo de cadena. ${\displaystyle (C^{*},d^{*})}$ ${\displaystyle ...,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},...}$ ${\displaystyle d^{n}:C^{n}\to C^{n+1}}$ ${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}C^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}C^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}C^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}C^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}C^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

El índice en cualquiera de los dos se denomina grado (o dimensión ). La diferencia entre los complejos de cadena y de cocadena es que, en los complejos de cadena, los diferenciales disminuyen la dimensión, mientras que en los complejos de cocadena aumentan la dimensión. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$

Los elementos de los espacios vectoriales individuales de un complejo de (co)cadenas se denominan cocadenas . Los elementos en el núcleo de se denominan cociclos (o elementos cerrados ), y los elementos en la imagen de se denominan colímites (o elementos exactos ). Desde la definición de diferencial, todos los límites son ciclos. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

El lema de Poincaré establece que si es una bola abierta en , cualquier forma cerrada definida en es exacta, para cualquier entero con . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq n}$

Cuando nos referimos a las cocadenas como formas discretas (diferenciales) , nos referimos a la derivada exterior . También utilizamos la notación de cálculo para los valores de las formas: ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \omega (s)=\int _{s}\omega .}$

El teorema de Stokes es un enunciado sobre las formas diferenciales discretas en variedades , que generaliza el teorema fundamental del cálculo discreto para una partición de un intervalo:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\Delta F}{\Delta x}}(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

El teorema de Stokes dice que la suma de una forma sobre el límite de alguna variedad orientable es igual a la suma de su derivada exterior sobre todo , es decir, ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega \,.}$

Vale la pena examinar el principio subyacente considerando un ejemplo de dimensiones. La idea esencial se puede entender con el diagrama de la izquierda, que muestra que, en una teselación orientada de una variedad, los caminos interiores se recorren en direcciones opuestas; sus contribuciones a la integral de trayectorias se cancelan entre sí por pares. Como consecuencia, solo permanece la contribución del borde. ${\displaystyle d=2}$

Ver referencias. ^{[11] [10]}

El producto de cuña de formas

En cálculo discreto, se trata de una construcción que crea a partir de formas formas de orden superior: uniendo dos cocadenas de grado y para formar una cocadena compuesta de grado . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p+q}$

Para los complejos cúbicos , el producto cuña se define en cada cubo visto como un espacio vectorial de la misma dimensión.

Para complejos simples , el producto de cuña se implementa como el producto de copa : si es una -cocadena y es una -cocadena, entonces ${\displaystyle f^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g^{q}}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle (f^{p}\smile g^{q})(\sigma )=f^{p}(\sigma _{0,1,...,p})\cdot g^{q}(\sigma _{p,p+1,...,p+q})}$

donde es un -símplex y , es el símplex generado por en el -símplex cuyos vértices están indexados por . Por lo tanto, es la -ésima cara frontal y es la -ésima cara posterior de , respectivamente. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle \sigma _{S},\ S\subset \{0,1,...,p+q\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$ ${\displaystyle \sigma _{0,1,...,p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma _{p,p+1,...,p+q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \sigma }$

El colímite del producto de copa de las cocadenas y está dado por ${\displaystyle f^{p}}$ ${\displaystyle g^{q}}$

${\displaystyle d(f^{p}\smile g^{q})=d{f^{p}}\smile g^{q}+(-1)^{p}(f^{p}\smile d{g^{q}}).}$

El producto de taza de dos cociclos es nuevamente un cociclo, y el producto de un colímite con un cociclo (en cualquier orden) es un colímite.

La operación del producto taza satisface la identidad

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p}).}$

En otras palabras, la multiplicación correspondiente es conmutativa graduada .

Ver referencias. ^[11]

Operador de Laplace

El operador de Laplace de una función en un vértice , es (hasta un factor) la tasa a la que el valor promedio de sobre un entorno celular de se desvía de . El operador de Laplace representa la densidad de flujo del flujo de gradiente de una función. Por ejemplo, la tasa neta a la que una sustancia química disuelta en un fluido se acerca o se aleja de algún punto es proporcional al operador de Laplace de la concentración química en ese punto; expresada simbólicamente, la ecuación resultante es la ecuación de difusión . Por estas razones, se utiliza ampliamente en las ciencias para modelar varios fenómenos físicos. ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(p)}$

El codiferencial

${\displaystyle \delta :C^{k}\to C^{k-1}}$

es un operador definido en -forms por: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k-1)+1}{\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star },}$

donde es la derivada o diferencial exterior y es el operador de estrella de Hodge . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \star }$

La codiferencial es la adjunta de la derivada exterior según el teorema de Stokes:

${\displaystyle (\eta ,\delta \zeta )=(d\eta ,\zeta ).}$

Dado que el diferencial satisface , el codiferencial tiene la propiedad correspondiente ${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \delta ^{2}={\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(n-k)}{\star }d^{2}{\star }=0.}$

El operador de Laplace se define por:

${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta .}$

Ver referencias. ^[10]

Relacionado

• Método de elementos discretos
• Diferencias divididas
• Coeficiente de diferencia finita
• Método de diferencias finitas
• Método de elementos finitos
• Método de volumen finito
• Diferenciación numérica
• Integración numérica
• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Véase también

• Cálculo de diferencias finitas
• Cálculo sobre grafos finitos ponderados
• Autómata celular
• Geometría diferencial discreta
• Operador discreto de Laplace
• Cálculo de diferencias finitas, cálculo discreto o análisis discreto
• Teoría de Morse discreta

Referencias

1. Dieudonné, Jean (1988). Una historia de la topología algebraica y diferencial 1900-1960. Birkhäuser Boston. ISBN 9780817649074.
2. Auclair-Fortier, Marie-Flavie; Ziou, Djemel; Allili, Madjid (2004). "Enfoque de topología algebraica computacional global para difusión". En Bouman, Charles A; Miller, Eric L (eds.). Imágenes computacionales II . Vol. 5299. SPIE. pág. 357. doi :10.1117/12.525975. S2CID  2211593.
3. Grady, Leo; Polimeni, Jonathan (2011). Cálculo discreto: análisis aplicado a gráficos para la ciencia computacional (PDF) . Springer.
4. Desbrun, Mathieu; Kanso, Eva ; Tong, Yiying (2008). "Formas diferenciales discretas para modelado computacional". En Bobenko, AI; Sullivan, JM; Schröder, P.; Ziegler, GM (eds.). Geometría diferencial discreta . Seminarios de Oberwolfach. Vol. 38. Basilea: Birkhäuser.
5. Wilmott, Paul; Howison, Sam; Dewynne, Jeff (1995). Las matemáticas de los derivados financieros: una introducción para estudiantes . Cambridge University Press. pág. 137. ISBN 978-0-521-49789-3.
6. Chaudhry, M. Hanif (2007). Flujo en canal abierto . Springer. pág. 369. ISBN. 978-0-387-68648-6.
7. Levy, H.; Lessman, F. (1992). Ecuaciones en diferencias finitas . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-67260-3.
8. Ames, WF (1977). "Sección 1.6". Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales . Academic Press. ISBN 0-12-056760-1.
9. Hildebrand, FB (1968). "Sección 2.2". Ecuaciones y simulaciones de diferencias finitas. Prentice-Hall. OCLC  780785195.
10. Saveliev, Peter (2016). Topología ilustrada . Peter Saveliev. ISBN 978-1495188756.
11. Bredon, Glen E. (1997). Topología y geometría . Textos de posgrado en matemáticas. Springer. ISBN 0387979263.
12. Kaczynski, Tomasz; Mischaikow, Konstantin; Mrozek, Marian (2004). Topología Computacional . ISBN 0-387-40853-3.