Mapa simple

Un mapa simplicial (también llamado mapeo simplicial ) es una función entre dos complejos simpliciales , con la propiedad de que las imágenes de los vértices de un símplice siempre abarcan un símplice. ^[1] Los mapas simpliciales se pueden utilizar para aproximar funciones continuas entre espacios topológicos que se pueden triangular ; esto se formaliza mediante el teorema de aproximación simplicial .

Un isomorfismo simplicial es un mapa simplicial biyectivo tal que tanto él como su inverso son simpliciales.

Definiciones

Un mapa simple se define de formas ligeramente diferentes en diferentes contextos.

Complejos simpliciales abstractos

Sean K y L dos complejos simpliciales abstractos (CSA). Una función simplicial de K en L es una función de los vértices de K a los vértices de L, , que asigna cada símplex en K a un símplex en L. Es decir, para cualquier , . ^{[2] : 14, Def.1.5.2} Como ejemplo, sea K el CSA que contiene los conjuntos {1,2},{2,3},{3,1} y sus subconjuntos, y sea L el CSA que contiene el conjunto {4,5,6} y sus subconjuntos. Definamos una función f por: f (1)= f (2)=4, f (3)=5. Entonces f es una función simplicial, ya que f ({1,2})={4} que es un símplex en L, f ({2,3})=f({3,1})={4,5} que también es un símplex en L, etc. ${\displaystyle f:V(K)\to V(L)}$ ${\displaystyle \sigma \in K}$ ${\displaystyle f(\sigma )\in L}$

Si no es biyectiva, puede mapear símplices k -dimensionales en K a símplices l -dimensionales en L, para cualquier l ≤ k . En el ejemplo anterior, f mapea el símplice unidimensional {1,2} al símplice cero-dimensional {4}. ${\displaystyle f}$

Si es biyectiva, y su inversa es una función simplicial de L en K, entonces se llama isomorfismo simplicial . Los complejos simpliciales isomorfos son esencialmente "lo mismo", salvo un cambio de nombre de los vértices. La existencia de un isomorfismo entre L y K se denota habitualmente por . ^{[2] : 14} La función f definida anteriormente no es un isomorfismo ya que no es biyectiva. Si modificamos la definición a f (1)=4, f (2)=5, f (3)=6, entonces f es biyectiva pero sigue sin ser un isomorfismo, ya que no es simplicial: , que no es un símplex en K. Si modificamos L eliminando {4,5,6}, es decir, L es el ASC que contiene solo los conjuntos {4,5},{5,6},{6,4} y sus subconjuntos, entonces f es un isomorfismo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K\cong L}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,5,6\})=\{1,2,3\}}$

Complejos simpliciales geométricos

Sean K y L dos complejos simpliciales geométricos (GSC). Una función simplicial de K en L es una función tal que las imágenes de los vértices de un símplex en K generan un símplex en L. Es decir, para cualquier símplex , . Nótese que esto implica que los vértices de K se mapean a los vértices de L. ^[1] ${\displaystyle f:K\to L}$ ${\displaystyle \sigma \in K}$ ${\displaystyle \operatorname {conv} (f(V(\sigma )))\in L}$

De manera equivalente, se puede definir una función simplicial como una función del espacio subyacente de K (la unión de los símplices en K) al espacio subyacente de L, , que asigna cada símplice en K linealmente a un símplice en L. Es decir, para cualquier símplice , , y además, (la restricción de a ) es una función lineal . ^{[3] : 16  [4] : 3} Toda función simplicial es continua. ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle \sigma \in K}$ ${\displaystyle f(\sigma )\in L}$ ${\displaystyle f\vert _{\sigma }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma }$

Las aplicaciones simpliciales se determinan por sus efectos sobre los vértices. En particular, existe un número finito de aplicaciones simpliciales entre dos complejos simpliciales finitos dados.

Una función simplicial entre dos ASCs induce una función simplicial entre sus realizaciones geométricas (sus poliedros subyacentes) usando coordenadas baricéntricas . Esto se puede definir con precisión. ^{[2] : 15, Def.1.5.3} Sean K, L dos ASCs, y sea una función simplicial. La extensión afín de es una función definida de la siguiente manera. Para cualquier punto , sea su soporte (el único símplex que contiene x en su interior), y denotemos los vértices de por . El punto tiene una representación única como una combinación convexa de los vértices, con y ( son las coordenadas baricéntricas de ). Definimos . Esta | f | es una función simplicial de |K| en |L|; es una función continua . Si f es inyectiva , entonces | f | es inyectiva; si f es un isomorfismo entre K y L , entonces | f | es un homeomorfismo entre | K | y | L |. ^{[2] : 15, Proposición 1.5.4} ${\displaystyle f:V(K)\to V(L)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle x\in |K|}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{k}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{k}a_{i}v_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}=1}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |f|(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}f(v_{i})}$

Aproximación simple

Sea una función continua entre los poliedros subyacentes de complejos simpliciales y escribamos para la estrella de un vértice. Una función simplicial tal que , se denomina aproximación simplicial a . ${\displaystyle f\colon |K|\to |L|}$ ${\displaystyle {\text{st}}(v)}$ ${\displaystyle f_{\triangle }\colon K\to L}$ ${\displaystyle f({\text{st}}(v))\subseteq {\text{st}}(f_{\triangle }(v))}$ ${\displaystyle f}$

Una aproximación simplicial es homotópica con respecto a la función a la que se aproxima. Consulte el teorema de aproximación simplicial para obtener más detalles.

Mapas lineales por partes

Sean K y L dos GSC. Una función se llama lineal por partes (PL) si existe una subdivisión K ' de K y una subdivisión L ' de L , tal que es una función simplicial de K' en L'. Toda función simplicial es PL, pero lo opuesto no es cierto. Por ejemplo, supongamos que |K| y |L| son dos triángulos, y sea una función no lineal que mapea la mitad más a la izquierda de | K | linealmente en la mitad más a la izquierda de | L |, y mapea la mitad más a la derecha de | K | linealmente en la mitad más a la derecha de | L |. Entonces f es PL, ya que es una función simplicial entre una subdivisión de |K| en dos triángulos y una subdivisión de |L| en dos triángulos. Esta noción es una adaptación de la noción general de una función lineal por partes a complejos simpliciales. ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle f:|K'|\to |L'|}$ ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$

Un homeomorfismo PL entre dos poliedros | K | y | L | es una aplicación PL tal que la aplicación simplicial entre las subdivisiones, , es un homeomorfismo. ${\displaystyle f:|K'|\to |L'|}$

Referencias

1. Munkres, James R. (1995). Elementos de topología algebraica . Westview Press. ISBN 978-0-201-62728-2.
2. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
3. Colin P. Rourke y Brian J. Sanderson (1982). Introducción a la topología lineal por partes. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3.
4. Bryant, John L. (1 de enero de 2001), Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes", Handbook of Geometric Topology , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 219-259, ISBN 978-0-444-82432-5, consultado el 15 de noviembre de 2022