Curva elíptica

En matemáticas , una curva elíptica es una curva algebraica proyectiva y suave de género uno , en la que hay un punto especificado $O.$ Una curva elíptica se define sobre un cuerpo $K$ y describe puntos en $K$ $2$ , el producto cartesiano de $K$ consigo mismo. Si la característica del cuerpo es diferente de 2 y 3, entonces la curva puede describirse como una curva algebraica plana que consta de soluciones $($ $x$ $,$ $y$ $)$ para:

y^{2}=x^{3}+ax+b

para algunos coeficientes $a$ y $b$ en $K$ . Se requiere que la curva sea no singular , lo que significa que la curva no tiene cúspides ni autointersecciones . (Esto es equivalente a la condición $4 a 3 + 27 b 2 \neq 0$ , es decir, que no tenga cuadrados en $x$ .) Siempre se entiende que la curva está realmente asentada en el plano proyectivo , siendo el punto $O$ el único punto en el infinito . Muchas fuentes definen una curva elíptica como simplemente una curva dada por una ecuación de esta forma. (Cuando el campo de coeficientes tiene característica 2 o 3, la ecuación anterior no es lo suficientemente general como para incluir todas las curvas cúbicas no singulares ; vea § Curvas elípticas sobre un campo general a continuación).

Una curva elíptica es una variedad abeliana , es decir, tiene una ley de grupo definida algebraicamente, con respecto a la cual es un grupo abeliano , y $O$ sirve como elemento identidad.

Si $y 2 = P (x)$ , donde $P$ es cualquier polinomio de grado tres en $x$ sin raíces repetidas, el conjunto solución es una curva plana no singular de género uno, una curva elíptica. Si $P$ tiene grado cuatro y no tiene cuadrados, esta ecuación describe nuevamente una curva plana de género uno; sin embargo, no tiene una elección natural de elemento identidad. De manera más general, cualquier curva algebraica de género uno, por ejemplo la intersección de dos superficies cuádricas incrustadas en un espacio proyectivo tridimensional, se denomina curva elíptica, siempre que esté equipada con un punto marcado que actúe como identidad.

Utilizando la teoría de funciones elípticas , se puede demostrar que las curvas elípticas definidas sobre los números complejos corresponden a incrustaciones del toro en el plano proyectivo complejo . El toro también es un grupo abeliano , y esta correspondencia es también un isomorfismo de grupo .

Las curvas elípticas son especialmente importantes en la teoría de números y constituyen un área importante de investigación actual; por ejemplo, se utilizaron en la prueba del último teorema de Fermat de Andrew Wiles . También encuentran aplicaciones en la criptografía de curvas elípticas (ECC) y la factorización de números enteros .

Una curva elíptica no es una elipse en el sentido de una cónica proyectiva, que tiene género cero: véase la integral elíptica para el origen del término. Sin embargo, existe una representación natural de curvas elípticas reales con invariante de forma $j \geq 1$ como elipses en el plano hiperbólico . Específicamente, las intersecciones del hiperboloide de Minkowski con superficies cuadráticas caracterizadas por una cierta propiedad de ángulo constante producen las elipses de Steiner en (generadas por colineaciones que preservan la orientación). Además, las trayectorias ortogonales de estas elipses comprenden las curvas elípticas con $j$ $\leq 1$ , y cualquier elipse en descrita como un lugar geométrico relativo a dos focos es únicamente la suma de la curva elíptica de dos elipses de Steiner, obtenida sumando los pares de intersecciones en cada trayectoria ortogonal. Aquí, el vértice del hiperboloide sirve como identidad en cada curva de trayectoria. ^[1] $\mathbb {H} ^{2}$ $\mathbb {H} ^{2}$ $\mathbb {H} ^{2}$

Topológicamente , una curva elíptica compleja es un toro , mientras que una elipse compleja es una esfera .

Curvas elípticas sobre los números reales

Gráficas de las curvas $y 2 = x 3 - x$ e $y 2 = x 3 - x + 1$

Aunque la definición formal de una curva elíptica requiere algunos conocimientos de geometría algebraica , es posible describir algunas características de las curvas elípticas sobre números reales utilizando únicamente conocimientos introductorios de álgebra y geometría .

En este contexto, una curva elíptica es una curva plana definida por una ecuación de la forma

y^{2}=x^{3}+ax+b

después de un cambio lineal de variables ( $a$ y $b$ son números reales). Este tipo de ecuación se denomina ecuación de Weierstrass y se dice que está en forma de Weierstrass o forma normal de Weierstrass.

La definición de curva elíptica también requiere que la curva no sea singular . Geométricamente, esto significa que el gráfico no tiene cúspides , autointersecciones ni puntos aislados . Algebraicamente, esto se cumple si y solo si el discriminante , , no es igual a cero. $\Delta$

\Delta =-16\left(4a^{3}+27b^{2}\right)\neq 0

El discriminante es cero cuando . $a=-3k^{2},b=2k^{3}$

(Aunque el factor −16 es irrelevante para determinar si la curva es o no singular, esta definición del discriminante es útil en un estudio más avanzado de las curvas elípticas). ^[2]

La gráfica real de una curva no singular tiene dos componentes si su discriminante es positivo y un componente si es negativo. Por ejemplo, en las gráficas que se muestran en la figura de la derecha, el discriminante en el primer caso es 64 y en el segundo caso es −368.

La ley de grupos

Al trabajar en el plano proyectivo , la ecuación en coordenadas homogéneas queda:

{\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}={\frac {X^{3}}{Z^{3}}}+a{\frac {X}{Z}}+b

Esta ecuación no está definida en la línea en el infinito , pero podemos multiplicarla por para obtener una que sea: $Z^{3}$

ZY^{2}=X^{3}+aZ^{2}X+bZ^{3}

Esta ecuación resultante se define en todo el plano proyectivo, y la curva que define se proyecta sobre la curva elíptica de interés. Para encontrar su intersección con la línea en el infinito, podemos simplemente postular . Esto implica , que en un cuerpo significa . por otro lado puede tomar cualquier valor, por lo que todos los tripletes satisfacen la ecuación. En geometría proyectiva, este conjunto es simplemente el punto , que es, por lo tanto, la única intersección de la curva con la línea en el infinito. $Z=0$ $X^{3}=0$ $X=0$ $Y$ $(0,Y,0)$ $O=[0:1:0]$

Como la curva es suave, y por lo tanto continua , se puede demostrar que este punto en el infinito es el elemento identidad de una estructura de grupo cuyo funcionamiento se describe geométricamente de la siguiente manera:

Como la curva es simétrica respecto del eje $x$ , dado cualquier punto $P$ , podemos tomar $- P$ como el punto opuesto a ella. Entonces tenemos , ya que se encuentra en el plano $XZ$ , por lo que también es simétrica respecto del origen y, por lo tanto, representa el mismo punto proyectivo. $-O=O$ $O$ $-O$ $O$

Si $P$ y $Q$ son dos puntos de la curva, entonces podemos describir de forma única un tercer punto $P + Q$ de la siguiente manera. Primero, dibuja la línea que interseca $a P$ y $Q$ . Esta generalmente interseca la cúbica en un tercer punto, $R$ . Luego tomamos $P + Q$ como $- R$ , el punto opuesto $a R$ .

Esta definición de adición funciona excepto en unos pocos casos especiales relacionados con el punto en el infinito y la multiplicidad de intersección. El primero es cuando uno de los puntos es $O$ . Aquí, definimos $P + O = P = O + P$ , haciendo que $O$ sea la identidad del grupo. Si $P = Q$ solo tenemos un punto, por lo que no podemos definir la línea entre ellos. En este caso, usamos la línea tangente a la curva en este punto como nuestra línea. En la mayoría de los casos, la tangente intersectará un segundo punto $R$ y podemos tomar su opuesto. Si $P$ y $Q$ son opuestos entre sí, definimos $P + Q = O$ . Por último, si $P$ es un punto de inflexión (un punto donde cambia la concavidad de la curva), tomamos $R$ como $P$ mismo y $P + P$ es simplemente el punto opuesto a sí mismo, es decir, él mismo.

Sea $K$ un cuerpo sobre el cual se define la curva (es decir, los coeficientes de la ecuación o ecuaciones definitorias de la curva están en $K$ ) y denotemos la curva por $E$ . Entonces los puntos $K$ -racionales de $E$ son los puntos en $E$ cuyas coordenadas están todas en $K$ , incluyendo el punto en el infinito. El conjunto de puntos $K$ -racionales se denota por $E$ $($ $K$ $)$ . $E$ $($ $K$ $)$ es un grupo, porque las propiedades de las ecuaciones polinómicas muestran que si $P$ está en $E$ $($ $K$ $)$ , entonces $-$ $P$ también está en $E$ $($ $K$ $)$ , y si dos de $P$ , $Q$ , $R$ están en $E$ $($ $K$ $)$ , entonces también lo está el tercero. Además, si $K$ es un subcuerpo de $L$ , entonces $E$ $($ $K$ $)$ es un subgrupo de $E$ $($ $L$ $)$ .

Interpretación algebraica

Los grupos anteriores pueden describirse tanto algebraicamente como geométricamente. Dada la curva $y 2 = x 3 + bx + c$ sobre el cuerpo $K$ (cuya característica suponemos que no es ni 2 ni 3), y los puntos $P = (x P, y P)$ y $Q = (x Q, y Q)$ sobre la curva, supongamos primero que $x P \neq x Q$ (caso 1 ). Sea $y = sx + d$ la ecuación de la recta que interseca $a P$ y $Q$ , que tiene la siguiente pendiente:

s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}

La ecuación de la línea y la ecuación de la curva se intersecan en los puntos $x P$ , $x Q$ y $x R$ , por lo que las ecuaciones tienen valores $y$ idénticos en estos valores.

\left(sx+d\right)^{2}=x^{3}+bx+c

que es equivalente a

x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+bx+c-d^{2}=0

Dado que $x P$ , $x Q$ y $x R$ son soluciones, esta ecuación tiene sus raíces exactamente en los mismos valores $x que$

(x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})x^{2}+(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})x-x_{P}x_{Q}x_{R}

y como ambas ecuaciones son cúbicas deben ser el mismo polinomio hasta un escalar. Entonces, igualando los coeficientes de $x 2$ en ambas ecuaciones

-s^{2}=(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})

y resolviendo la incógnita $x R$ .

x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}

$y R$ se sigue de la ecuación de la línea

y_{R}=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})

y este es un elemento de $K$ , porque $s$ lo es.

Si $x P = x Q$ , entonces hay dos opciones: si $y P = - y Q$ (caso 3 ), incluido el caso donde $y P = y Q = 0$ (caso 4 ), entonces la suma se define como 0; por lo tanto, la inversa de cada punto de la curva se encuentra reflejándolo a través del eje $x$ .

Si $y P = y Q \neq 0$ , entonces $Q = P$ y $R = (x R, y R) = -(P + P) = -2 P = -2 Q$ (caso 2 usando $P$ como $R$ ). La pendiente está dada por la tangente a la curva en ( x _P , y _P ).

{\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+b}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})\end{aligned}}

Una expresión más general que funciona tanto en el caso 1 como en el caso 2 es $s$

s={\frac {{x_{P}}^{2}+x_{P}x_{Q}+{x_{Q}}^{2}+b}{y_{P}+y_{Q}}}

donde la igualdad a $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠yP − yQ/xP − xQ⁠$ depende de que $P$ y $Q$ obedezcan $y 2 = x 3 + bx + c$ .

Curvas que no son de Weierstrass

Para la curva $y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c$ (la forma general de una curva elíptica con característica 3), las fórmulas son similares, con $s = ⁠ x P 2 + x P x Q + x Q 2 + ax P + ax Q + b / yP + yQ ⁠$ y $x R = s 2 - a - x P - x Q$ .

Para una curva cúbica general que no esté en la forma normal de Weierstrass, podemos definir una estructura de grupo designando uno de sus nueve puntos de inflexión como la identidad $O.$ En el plano proyectivo, cada línea intersectará una cúbica en tres puntos cuando se tenga en cuenta la multiplicidad. Para un punto $P$ , $- P$ se define como el tercer punto único en la línea que pasa por $O$ y $P.$ Luego, para cualquier $P$ y $Q$ , $P + Q$ se define como $- R$ donde $R$ es el tercer punto único en la línea que contiene a $P$ y $Q.$

Para ver un ejemplo de la ley de grupo sobre una curva que no es de Weierstrass, consulte Curvas de Hesse .

Curvas elípticas sobre los números racionales

Una curva E definida sobre el cuerpo de los números racionales también está definida sobre el cuerpo de los números reales. Por lo tanto, la ley de la adición (de puntos con coordenadas reales) por el método de la tangente y la secante se puede aplicar a E . Las fórmulas explícitas muestran que la suma de dos puntos P y Q con coordenadas racionales tiene a su vez coordenadas racionales, ya que la recta que une P y Q tiene coeficientes racionales. De esta manera, se demuestra que el conjunto de puntos racionales de E forma un subgrupo del grupo de puntos reales de E .

Puntos integrales

Esta sección trata de los puntos P = ( x , y ) de E tales que x es un número entero.

Por ejemplo, la ecuación y ² = x ³ + 17 tiene ocho soluciones integrales con y > 0: ^[3]^[4]

( x , y ) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234 ,378 661 ).

Como otro ejemplo, la ecuación de Ljunggren , una curva cuya forma de Weierstrass es y ² = x ³ − 2 x , tiene solo cuatro soluciones con y ≥ 0 : ^[5]

( x , y ) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338,6214 ).

La estructura de los puntos racionales

Los puntos racionales se pueden construir mediante el método de tangentes y secantes detallado anteriormente, comenzando con un número finito de puntos racionales. Más precisamente ^[6] el teorema de Mordell-Weil establece que el grupo E ( Q ) es un grupo finitamente generado (abeliano). Por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados es, por tanto, una suma directa finita de copias de Z y grupos cíclicos finitos.

La demostración del teorema ^[7] consta de dos partes. La primera muestra que para cualquier entero m > 1, el grupo cociente E ( Q )/ mE ( Q ) es finito (este es el teorema débil de Mordell-Weil). En segundo lugar, se introduce una función de altura h en los puntos racionales E ( Q ) definidos por h ( P ₀ ) = 0 y $h (P) = log max(| p |, | q |)$ si P (desigual al punto en el infinito P ₀ ) tiene como abscisa el número racional x = p / q (con coprimos p y q ). Esta función de altura h tiene la propiedad de que h ( mP ) crece aproximadamente como el cuadrado de m . Además, solo existen en E un número finito de puntos racionales con una altura menor que cualquier constante .

La prueba del teorema es, por tanto, una variante del método de descenso infinito ^[8] y se basa en la aplicación repetida de divisiones euclidianas en E : sea P ∈ E ( Q ) un punto racional en la curva, escribiendo P como la suma 2 P ₁ + Q ₁ donde Q ₁ es un representante fijo de P en E ( Q )/2 E ( Q ), la altura de P ₁ es aproximadamente ⁠1/4⁠ del uno de P (de manera más general, reemplazando 2 por cualquier m > 1, y ⁠1/4⁠ por ⁠1/metros ^cuadrados⁠ ). Rehaciendo lo mismo con P ₁ , es decir P ₁ = 2 P ₂ + Q ₂ , entonces P ₂ = 2 P ₃ + Q ₃ , etc. finalmente expresa P como una combinación lineal integral de puntos Q _i y de puntos cuya altura está acotada por una constante fija elegida de antemano: por el teorema débil de Mordell-Weil y la segunda propiedad de la función altura, P se expresa así como una combinación lineal integral de un número finito de puntos fijos.

Sin embargo, el teorema no proporciona un método para determinar ningún representante de E ( Q )/ mE ( Q ).

El rango de E ( Q ), es decir, el número de copias de Z en E ( Q ) o, equivalentemente, el número de puntos independientes de orden infinito, se denomina rango de E . La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se ocupa de determinar el rango. Se conjetura que puede ser arbitrariamente grande, incluso si solo se conocen ejemplos con un rango relativamente pequeño. La curva elíptica con el rango exacto más grande conocido actualmente es

y2 + xy + y = x3 − ^x2 − 244 537 673 336 319 601⁴⁶³803 487 168 961 769 270 757 573 821 859⁸⁵³707 x + 961 710 182 053 183 034 546 222 979 258 806 817 743 270 682 028 964 434 238 957 830 989 898 438 151 121 499 931

Tiene rango 20, encontrado por Noam Elkies y Zev Klagsbrun en 2020. Se conocen curvas de rango superior a 20 desde 1994, con límites inferiores en sus rangos que van del 21 al 29, pero no se conocen sus rangos exactos y en particular no está probado cuál de ellos tiene mayor rango que los demás o cuál es el verdadero "campeón actual". ^[9]

En cuanto a los grupos que constituyen el subgrupo de torsión de E ( Q ), se sabe lo siguiente: ^[10] el subgrupo de torsión de E ( Q ) es uno de los 15 grupos siguientes ( un teorema debido a Barry Mazur ): Z / N Z para N = 1, 2, ..., 10, o 12, o Z /2 Z × Z /2 N Z con N = 1, 2, 3, 4. Se conocen ejemplos para cada caso. Además, las curvas elípticas cuyos grupos de Mordell-Weil sobre Q tienen los mismos grupos de torsión pertenecen a una familia parametrizada. ^[11]

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (BSD) es uno de los problemas del Milenio del Instituto de Matemáticas Clay . La conjetura se basa en objetos analíticos y aritméticos definidos por la curva elíptica en cuestión.

En el aspecto analítico, un ingrediente importante es una función de una variable compleja, L , la función zeta de Hasse–Weil de E sobre Q . Esta función es una variante de la función zeta de Riemann y de las funciones L de Dirichlet . Se define como un producto de Euler , con un factor para cada número primo p .

Para una curva E sobre Q dada por una ecuación mínima

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

con coeficientes integrales , la reducción de los coeficientes módulo p define una curva elíptica sobre el cuerpo finito F _p (excepto para un número finito de primos p , donde la curva reducida tiene una singularidad y por lo tanto no es elíptica, en cuyo caso se dice que E es de mala reducción en p ). $a_{i}$

La función zeta de una curva elíptica sobre un cuerpo finito F _p es, en cierto sentido, una función generadora que reúne la información del número de puntos de E con valores en las extensiones de cuerpo finito F _{p ⁿ} de F _p . Está dada por ^[12]

Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E({\mathbf {F} }_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)

La suma interior de la exponencial se asemeja al desarrollo del logaritmo y, de hecho, la función zeta así definida es una función racional en T :

Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)={\frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},

donde el término 'rastro de Frobenius' ^[13] se define como la diferencia entre el número 'esperado' y el número de puntos en la curva elíptica sobre , a saber: $a_{p}$ $p+1$ $E$ $\mathbb {F} _{p}$

a_{p}=p+1-\#E(\mathbb {F} _{p})

o equivalentemente,

\#E(\mathbb {F} _{p})=p+1-a_{p}

Podemos definir las mismas cantidades y funciones sobre un campo finito arbitrario de característica , con reemplazo en todas partes. $p$ $q=p^{n}$ $p$

La función L de E sobre Q se define entonces recopilando esta información, para todos los primos p . Se define por

L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}\right)^{-1}\cdot \prod _{p\mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}\right)^{-1}

donde N es el conductor de E , es decir, el producto de primos con mala reducción ), ^[14] en cuyo caso a _p se define de manera diferente al método anterior: véase Silverman (1986) a continuación. $(\Delta (E\mod p)=0$

Por ejemplo tiene mala reducción en 17 , porque tiene . $E:y^{2}=x^{3}+14x+19$ $E\mod 17:y^{2}=x^{3}-3x+2$ $\Delta =0$

Este producto converge solo para Re( s ) > 3/2. La conjetura de Hasse afirma que la función L admite una continuación analítica en todo el plano complejo y satisface una ecuación funcional que relaciona, para cualquier s , L ( E , s ) con L ( E , 2 − s ). En 1999 se demostró que esto era una consecuencia de la demostración de la conjetura de Shimura–Taniyama–Weil, que afirma que toda curva elíptica sobre Q es una curva modular , lo que implica que su función L es la función L de una forma modular cuya continuación analítica es conocida. Por lo tanto, se puede hablar de los valores de L ( E , s ) en cualquier número complejo s .

En s=1 (el producto conductor se puede descartar ya que es finito), la función L se convierte en

L(E(\mathbf {Q} ),1)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}\right)^{-1}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{p-a_{p}+1}}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{\#E(\mathbb {F} _{p})}}

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer relaciona la aritmética de la curva con el comportamiento de esta función L en s = 1. Afirma que el orden de desaparición de la función L en s = 1 es igual al rango de E y predice el término principal de la serie de Laurent de L ( E , s ) en ese punto en términos de varias cantidades asociadas a la curva elíptica.

Al igual que la hipótesis de Riemann , la verdad de la conjetura BSD tendría múltiples consecuencias, incluidas las dos siguientes:

Un número congruente se define como un entero n sin cuadrados impares que es el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. Se sabe que n es un número congruente si y solo si la curva elíptica tiene un punto racional de orden infinito; suponiendo BSD, esto es equivalente a que su función L tenga un cero en s = 1. Tunnell ha mostrado un resultado relacionado: suponiendo BSD, n es un número congruente si y solo si el número de tripletes de enteros ( x , y , z ) que satisfacen es el doble del número de tripletes que satisfacen . El interés de esta afirmación es que la condición es fácil de comprobar. ^[15] $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ $2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n$ $2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n$
En una dirección diferente, ciertos métodos analíticos permiten una estimación del orden de cero en el centro de la franja crítica para ciertas funciones L. Admitiendo BSD, estas estimaciones corresponden a información sobre el rango de familias de las curvas elípticas correspondientes. Por ejemplo: suponiendo la hipótesis generalizada de Riemann y BSD, el rango promedio de las curvas dado por es menor que 2. ^[16] $y^{2}=x^{3}+ax+b$

Curvas elípticas sobre campos finitos

Sea K = F _q el cuerpo finito con q elementos y E una curva elíptica definida sobre K. Si bien el número preciso de puntos racionales de una curva elíptica E sobre K es en general difícil de calcular, el teorema de Hasse sobre curvas elípticas da la siguiente desigualdad:

|\#E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}

En otras palabras, el número de puntos de la curva crece proporcionalmente al número de elementos del cuerpo. Este hecho se puede entender y demostrar con la ayuda de alguna teoría general; véase la función zeta local y la cohomología étale, por ejemplo.

El conjunto de puntos E ( F _q ) es un grupo abeliano finito. Siempre es cíclico o el producto de dos grupos cíclicos. Por ejemplo, ^[17] la curva definida por

y^{2}=x^{3}-x

sobre F ₇₁ tiene 72 puntos (71 puntos afines incluyendo (0,0) y un punto en el infinito ) sobre este campo, cuya estructura de grupo está dada por Z /2 Z × Z /36 Z . El número de puntos en una curva específica se puede calcular con el algoritmo de Schoof .

El estudio de la curva sobre las extensiones de campo de F _q se facilita mediante la introducción de la función zeta local de E sobre F _q , definida por una serie generadora (véase también más arriba)

Z(E(K),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E(K_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)

donde el campo K _n es la extensión (única hasta isomorfismo) de K = F _q de grado n (es decir, ). $K_{n}=F_{q^{n}}$

La función zeta es una función racional en T. Para ver esto, considere el entero tal que $a$

\#E(K)=1-a+q

Existe un número complejo tal que $\alpha$

1-a+q=(1-\alpha )(1-{\bar {\alpha }})

¿Dónde está el conjugado complejo , y entonces tenemos? ${\bar {\alpha }}$

\alpha +{\bar {\alpha }}=a

\alpha {\bar {\alpha }}=q

Elegimos de modo que su valor absoluto sea , es decir , y que . Nótese que . $\alpha$ ${\sqrt {q}}$ $\alpha =q^{\frac {1}{2}}e^{i\theta },{\bar {\alpha }}=q^{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }$ $\cos \theta ={\frac {a}{2{\sqrt {q}}}}$ $|a|\leq 2{\sqrt {q}}$

$\alpha$ puede entonces usarse en la función zeta local ya que sus valores cuando se elevan a las distintas potencias de $n$ se puede decir que se aproximan razonablemente al comportamiento de , en que $a_{n}$

\#E(K_{n})=1-a_{n}+q^{n}

Utilizando la serie de Taylor para el logaritmo natural ,

{\begin{alignedat}{2}Z(E(K),T)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}\right){T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}+\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(-\ln(1-T)+\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)-\ln(1-qT)\right)\\&=\exp \left(\ln {\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\\\end{alignedat}}

Entonces , finalmente $(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)=1-aT+qT^{2}$

Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}

Por ejemplo, ^[18] la función zeta de E : y ² + y = x ³ sobre el campo F ₂ está dada por

{\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}

Lo cual se desprende de:

\left|E(\mathbf {F} _{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ odd}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ even}}\end{cases}}

como , entonces , así . $q=2$ $|E|=2^{1}+1=3=1-a+2$ $a=0$

La ecuación funcional es

Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)={\frac {1-a{\frac {1}{qT}}+q\left({\frac {1}{qT}}\right)^{2}}{(1-q{\frac {1}{qT}})(1-{\frac {1}{qT}})}}={\frac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}}=Z(E(K),T)

Como sólo nos interesa el comportamiento de , podemos utilizar una función zeta reducida $a_{n}$

Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-a_{n}{T^{n} \over n}\right)

Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}\right)

y entonces

Z(a,T)=\exp \left(\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)\right)

lo que conduce directamente a las funciones L locales

L(E(K),T)=1-aT+qT^{2}

La conjetura de Sato-Tate es una afirmación sobre cómo varía el término de error en el teorema de Hasse con los diferentes primos q , si una curva elíptica E sobre Q se reduce módulo q. Se demostró (para casi todas esas curvas) en 2006 debido a los resultados de Taylor, Harris y Shepherd-Barron, ^[19] y dice que los términos de error están equidistribuidos. $2{\sqrt {q}}$

Las curvas elípticas sobre cuerpos finitos se aplican notablemente en criptografía y para la factorización de números enteros grandes. Estos algoritmos a menudo hacen uso de la estructura de grupo en los puntos de E . Los algoritmos que son aplicables a grupos generales, por ejemplo el grupo de elementos invertibles en cuerpos finitos, F * _q , pueden aplicarse al grupo de puntos en una curva elíptica. Por ejemplo, el logaritmo discreto es un algoritmo de este tipo. El interés en esto es que la elección de una curva elíptica permite más flexibilidad que la elección de q (y por lo tanto el grupo de unidades en F _q ). Además, la estructura de grupo de las curvas elípticas es generalmente más complicada.

Curvas elípticas sobre un campo general

Las curvas elípticas se pueden definir sobre cualquier cuerpo K ; la definición formal de una curva elíptica es una curva algebraica proyectiva no singular sobre K con género 1 y dotada de un punto distinguido definido sobre K.

Si la característica de K no es ni 2 ni 3, entonces toda curva elíptica sobre K se puede escribir en la forma

y^{2}=x^{3}-px-q

después de un cambio lineal de variables. Aquí p y q son elementos de K tales que el polinomio del lado derecho x ³ − px − q no tiene raíces dobles. Si la característica es 2 o 3, entonces se deben mantener más términos: en la característica 3, la ecuación más general tiene la forma

y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}

para constantes arbitrarias b ₂ , b ₄ , b ₆ tales que el polinomio del lado derecho tiene raíces distintas (la notación se elige por razones históricas). En la característica 2, ni siquiera esto es posible, y la ecuación más general es

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

siempre que la variedad que define no sea singular. Si la característica no fuera un obstáculo, cada ecuación se reduciría a las anteriores mediante un cambio lineal adecuado de variables.

Por lo general, se considera que la curva es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) que satisfacen la ecuación anterior y tales que tanto x como y son elementos del cierre algebraico de K. Los puntos de la curva cuyas coordenadas pertenecen ambas a K se denominan puntos K -racionales .

Muchos de los resultados anteriores siguen siendo válidos cuando el cuerpo de definición de E es un cuerpo de números K , es decir, una extensión finita del cuerpo de Q . En particular, el grupo E(K) de puntos K -racionales de una curva elíptica E definida sobre K es finitamente generado, lo que generaliza el teorema de Mordell-Weil anterior. Un teorema debido a Loïc Merel muestra que para un entero dado d , hay ( salvo isomorfismo) sólo un número finito de grupos que pueden ocurrir como los grupos de torsión de E ( K ) para una curva elíptica definida sobre un cuerpo de números K de grado d . Más precisamente, ^[20] hay un número B ( d ) tal que para cualquier curva elíptica E definida sobre un cuerpo de números K de grado d , cualquier punto de torsión de E ( K ) es de orden menor que B ( d ). El teorema es efectivo: para d > 1, si un punto de torsión es de orden p , con p primo, entonces

p<d^{3d^{2}}

En cuanto a los puntos integrales, el teorema de Siegel se generaliza de la siguiente manera: Sea E una curva elíptica definida sobre un cuerpo numérico K , siendo x e y las coordenadas de Weierstrass. Entonces, solo hay un número finito de puntos de E(K) cuya coordenada x está en el anillo de los números enteros O _K .

Las propiedades de la función zeta de Hasse-Weil y la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer también pueden extenderse a esta situación más general.

Curvas elípticas sobre los números complejos

La formulación de curvas elípticas como la incrustación de un toro en el plano proyectivo complejo se desprende naturalmente de una curiosa propiedad de las funciones elípticas de Weierstrass . Estas funciones y su primera derivada están relacionadas por la fórmula

\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}

Aquí, $g 2$ y $g 3$ son constantes; $℘(z)$ es la función elíptica de Weierstrass y $℘' (z)$ su derivada. Debe quedar claro que esta relación tiene la forma de una curva elíptica (sobre los números complejos ). Las funciones de Weierstrass son doblemente periódicas; es decir, son periódicas con respecto a una red $Λ$ ; en esencia, las funciones de Weierstrass se definen naturalmente en un toro $T = C /Λ$ . Este toro puede estar incrustado en el plano proyectivo complejo por medio de la función

z\mapsto \left[1:\wp (z):{\tfrac {1}{2}}\wp '(z)\right]

Esta función es un isomorfismo de grupo del toro (considerado con su estructura de grupo natural) con la ley de grupo de cuerdas y tangentes en la curva cúbica que es la imagen de esta función. También es un isomorfismo de superficies de Riemann desde el toro hasta la curva cúbica, por lo que topológicamente, una curva elíptica es un toro. Si la red $Λ$ está relacionada por multiplicación por un número complejo distinto de cero $c$ con una red $c Λ$ , entonces las curvas correspondientes son isomorfas. Las clases de isomorfismo de las curvas elípticas se especifican mediante el $j$ -invariante .

Las clases de isomorfismo también se pueden entender de una manera más sencilla. Las constantes $g 2$ y $g 3$ , llamadas invariantes modulares , están determinadas de forma única por la red, es decir, por la estructura del toro. Sin embargo, todos los polinomios reales se factorizan completamente en factores lineales sobre los números complejos, ya que el cuerpo de los números complejos es la clausura algebraica de los reales. Por lo tanto, la curva elíptica se puede escribir como

y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )

Se encuentra que

{\begin{aligned}g_{2}'&={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)\\[4pt]g_{3}'&={\frac {1}{27}}(\lambda +1)\left(2\lambda ^{2}-5\lambda +2\right)\end{aligned}}

j(\tau )=1728{\frac {{g_{2}'}^{3}}{{g_{2}'}^{3}-27{g_{3}'}^{2}}}=256{\frac {\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)^{3}}{\lambda ^{2}\left(\lambda -1\right)^{2}}}

Con $j$ -invariante $j (τ)$ y $λ (τ)$ a veces se denomina función lambda modular . Por ejemplo, sea $τ = 2 i$ , entonces $λ (2 i) = (-1 + \sqrt 2) 4$ lo que implica $g' 2$ , $g' 3$ y, por lo tanto, $g' 23 - 27 g' 32$ de la fórmula anterior son todos números algebraicos si $τ$ implica un cuerpo cuadrático imaginario . De hecho, produce el entero $j (2 i) = 66 3 = 287496$ .

Por el contrario, el discriminante modular

\Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )

es generalmente un número trascendental . En particular, el valor de la función eta de Dedekind $η (2 i)$ es

\eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}

Obsérvese que el teorema de uniformización implica que toda superficie compacta de Riemann de género uno puede representarse como un toro. Esto también permite una fácil comprensión de los puntos de torsión en una curva elíptica: si la red $Λ$ está abarcada por los periodos fundamentales $ω 1$ y $ω 2$ , entonces los $n$ puntos de torsión son los (clases de equivalencia de) puntos de la forma

{\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}

para números enteros $a$ y $b$ en el rango $0 \leq (a, b) < n$ .

E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})

es una curva elíptica sobre los números complejos y

a_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{3}}},\qquad b_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{2}}},\qquad c_{0}={\sqrt {e_{2}-e_{3}}},

Entonces se puede calcular un par de períodos fundamentales de $E muy rápidamente mediante$

\omega _{1}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (a_{0},b_{0})}},\qquad \omega _{2}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (c_{0},ib_{0})}}

$M(w, z)$ es la media aritmética-geométrica de $w$ y $z$ . En cada paso de la iteración de la media aritmética-geométrica, los signos de $z n$ que surgen de la ambigüedad de las iteraciones de la media geométrica se eligen de modo que $| w n - z n | \leq | w n + z n |$ donde $w n$ y $z n$ denotan las iteraciones de la media aritmética y la media geométrica individuales de $w$ y $z$ , respectivamente. Cuando $| w n - z n | = | w n + z n |$ , existe una condición adicional de que $Im (⁠ en / en ⁠) > 0$ .^[21]

En los números complejos, cada curva elíptica tiene nueve puntos de inflexión . Cada línea que pasa por dos de estos puntos pasa también por un tercer punto de inflexión; los nueve puntos y las doce líneas así formadas forman una realización de la configuración de Hesse .

La doble isogenia

Dada una isogenia

f:E\rightarrow E'

de curvas elípticas de grado , la isogenia dual es una isogenia $n$

{\hat {f}}:E'\rightarrow E

del mismo grado tal que

f\circ {\hat {f}}=[n].

Aquí se denota la multiplicación por isogenia que tiene grado $[n]$ $n$ $e\mapsto ne$ $n^{2}.$

Construcción de la isogenia dual

A menudo sólo se necesita la existencia de una isogenia dual, pero puede darse explícitamente como la composición

E'\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E')\to {\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,

donde es el grupo de divisores de grado 0. Para ello, necesitamos funciones dadas por donde es el punto neutro de y dado por ${\mathrm {Div} }^{0}$ $E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)$ $P\to P-O$ $O$ $E$ ${\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,$ $\sum n_{P}P\to \sum n_{P}P.$

Para ver esto , observe que la isogenia original se puede escribir como una ecuación compuesta. $f\circ {\hat {f}}=[n]$ $f$

E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)\to {\mbox{Div}}^{0}(E')\to E'\,

y que como es finito de grado , es multiplicación por en $f$ $n$ $f_{*}f^{*}$ $n$ ${\mbox{Div}}^{0}(E').$

Alternativamente, podemos utilizar el grupo de Picard más pequeño , un cociente de El mapa desciende a un isomorfismo , La isogenia dual es ${\mathrm {Pic} }^{0}$ ${\mbox{Div}}^{0}.$ $E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)$ $E\to {\mbox{Pic}}^{0}(E).$

E'\to {\mbox{Pic}}^{0}(E')\to {\mbox{Pic}}^{0}(E)\to E\,

Nótese que la relación también implica la relación conjugada . De hecho, sea Entonces Pero es sobreyectiva , por lo que debemos tener $f\circ {\hat {f}}=[n]$ ${\hat {f}}\circ f=[n].$ $\phi ={\hat {f}}\circ f.$ $\phi \circ {\hat {f}}={\hat {f}}\circ [n]=[n]\circ {\hat {f}}.$ ${\hat {f}}$ $\phi =[n].$

Algoritmos que utilizan curvas elípticas

Las curvas elípticas sobre campos finitos se utilizan en algunas aplicaciones criptográficas , así como para la factorización de números enteros . Normalmente, la idea general en estas aplicaciones es que un algoritmo conocido que hace uso de ciertos grupos finitos se reescribe para utilizar los grupos de puntos racionales de las curvas elípticas. Para obtener más información, consulte también:

Criptografía de curva elíptica
- Intercambio de claves Diffie-Hellman de curva elíptica (ECDH)
- Intercambio de claves de isogenia supersingular
- Algoritmo de firma digital de curva elíptica (ECDSA)
- Algoritmo de firma digital EdDSA
- Generador de números aleatorios EC DRBG dual
Factorización de curva elíptica de Lenstra
Demostración de primalidad de curva elíptica

Representaciones alternativas de curvas elípticas

Véase también

Notas

^ Sarli, J. (2012). "Cónicas en el plano hiperbólico intrínsecas al grupo de colineación". J. Geom . 103 : 131–148. doi :10.1007/s00022-012-0115-5. S2CID 119588289.
^ Silverman 1986, III.1 Ecuaciones de Weierstrass (p.45)
^ T. Nagell, L'analyse indéterminée de degré supérieur , Mémorial des sciences mathématiques 39, París, Gauthier-Villars, 1929, págs.
^ OEIS: https://oeis.org/A029728
^ Siksek, Samir (1995), Descensos en curvas del género 1 (tesis doctoral), Universidad de Exeter, págs. 16-17, hdl :10871/8323.
^ Silverman 1986, Teorema 4.1
^ Silverman 1986, págs. 199-205
^ Véase también JWS Cassels, Mordell 's Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3–41 y el comentario de A. Weil sobre la génesis de su obra: A. Weil, Collected Papers , vol. 1, 520–521.
^ Dujella, Andrej . "Historia de los registros de clasificación de curvas elípticas". Universidad de Zagreb.
^ Silverman 1986, Teorema 7.5
^ Silverman 1986, Observación 7.8 en el cap. VIII
^ La definición es formal, la exponencial de esta serie de potencias sin término constante denota el desarrollo habitual.
^ Véase, por ejemplo, Silverman, Joseph H. (2006). "Introducción a la teoría de curvas elípticas" (PDF) . Escuela de verano sobre teoría de números computacionales y aplicaciones a la criptografía . Universidad de Wyoming.
^ https://www.lmfdb.org/knowledge/show/ec.bad_reduction
^ Koblitz 1993
^ Heath-Brown, DR (2004). "El rango analítico promedio de las curvas elípticas". Duke Mathematical Journal . 122 (3): 591–623. arXiv : math/0305114 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12235-3. S2CID 15216987.
^ Véase Koblitz 1994, pág. 158
^ Koblitz 1994, pág. 160
^ Harris, M.; Shepherd-Barron, N.; Taylor, R. (2010). "Una familia de variedades de Calabi–Yau y automorfía potencial". Anales de Matemáticas . 171 (2): 779–813. doi : 10.4007/annals.2010.171.779 .
^ Merel, L. (1996). "Bornes para la torsión de las corrientes elípticas en los cuerpos de nombres". Inventiones Mathematicae (en francés). 124 (1–3): 437–449. Código Bib : 1996 InMat.124..437M. doi :10.1007/s002220050059. S2CID 3590991. Zbl 0936.11037.
^ Wing Tat Chow, Rudolf (2018). "La media aritmético-geométrica y los períodos de las curvas de los géneros 1 y 2" (PDF) . White Rose eTheses Online . pág. 12.

Referencias

Serge Lang , en la introducción del libro citado a continuación, afirmó que "es posible escribir infinitamente sobre curvas elípticas. (Esto no es una amenaza.)" La siguiente lista corta es, en el mejor de los casos, una guía de la vasta literatura expositiva disponible sobre los aspectos teóricos, algorítmicos y criptográficos de las curvas elípticas.

Ian Blake; Gadiel Seroussi; Nigel Smart (2000). Curvas elípticas en criptografía . Notas de clase de LMS. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65374-6.
Brown, Ezra (2000). "Tres caminos de Fermat hacia curvas elípticas". The College Mathematics Journal . 31 (3): 162–172. doi :10.1080/07468342.2000.11974137. S2CID 5591395., ganador del premio de escritura MAA, el premio George Pólya
Richard Crandall y Carl Pomerance (2001). "Capítulo 7: Aritmética de curvas elípticas". Números primos: una perspectiva computacional (1.ª ed.). Springer-Verlag. pp. 285–352. ISBN 0-387-94777-9.
Cremona, John (1997). Algoritmos para curvas elípticas modulares (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-59820-6.
Darrel Hankerson, Alfred Menezes y Scott Vanstone (2004). Guía de criptografía de curva elíptica. Springer . ISBN 0-387-95273-X.
Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Introducción a la teoría de números . Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6.ª ed.). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5.MR 2445243.Zbl 1159.11001 . Capítulo XXV
Hellegouarch, Yves (2001). Invitación aux mathématiques de Fermat-Wiles . París: Dunod. ISBN 978-2-10-005508-1.
Husemöller, Dale (2004). Curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 111 (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-95490-2.
Kenneth Ireland; Michael I. Rosen (1998). "Capítulos 18 y 19". Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 84 (2.ª edición revisada). Springer. ISBN 0-387-97329-X.
Knapp, Anthony W. (2018) [1992]. Curvas elípticas. Notas matemáticas. Vol. 40. Princeton University Press. ISBN 9780691186900.
Koblitz, Neal (1993). Introducción a las curvas elípticas y formas modulares . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 97 (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2.
Koblitz, Neal (1994). "Capítulo 6". Un curso de teoría de números y criptografía . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 114 (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94293-9.
Serge Lang (1978). Curvas elípticas: Análisis diofántico . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 231. Springer-Verlag. ISBN 3-540-08489-4.
Henry McKean y Victor Moll (1999). Curvas elípticas: teoría de funciones, geometría y aritmética . Cambridge University Press. ISBN 0-521-65817-9.
Ivan Niven ; Herbert S. Zuckerman; Hugh Montgomery (1991). "Sección 5.7" . Introducción a la teoría de números (5.ª ed.). John Wiley. ISBN 0-471-54600-3.
Silverman, Joseph H. (1986). La aritmética de curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 106. Springer-Verlag. ISBN. 0-387-96203-4.
Joseph H. Silverman (1994). Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5.
Joseph H. Silverman y John Tate (1992). Puntos racionales en curvas elípticas . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9.
John Tate (1974). "La aritmética de las curvas elípticas". Inventiones Mathematicae . 23 (3–4): 179–206. Bibcode :1974InMat..23..179T. doi :10.1007/BF01389745. S2CID 120008651.
Lawrence Washington (2003). Curvas elípticas: teoría de números y criptografía . Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-365-0.

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Curva elíptica.

Wikiquote tiene citas relacionadas con Curva elíptica .

LMFDB: Base de datos de curvas elípticas sobre Q
"Curva elíptica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Curvas elípticas". MathWorld .
La aritmética de curvas elípticas de PlanetMath
Curva elíptica interactiva sobre R y sobre Zp: aplicación web que requiere un navegador compatible con HTML5.

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