Convergencia absoluta

Modo de convergencia de una serie infinita.

En matemáticas , se dice que una serie infinita de números converge absolutamente (o es absolutamente convergente ) si la suma de los valores absolutos de los sumandos es finita. Más precisamente, se dice que una serie real o compleja converge absolutamente si para algún número real. De manera similar , se dice que una integral impropia de una función converge absolutamente si la integral del valor absoluto del integrando es finita, es decir, si ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$ ${\displaystyle \textstyle L.}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.}$

La convergencia absoluta es importante para el estudio de series infinitas porque su definición es lo suficientemente fuerte como para tener propiedades de sumas finitas que no todas las series convergentes poseen: una serie convergente que no es absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente , mientras que las series absolutamente convergentes se comportan "bien". . Por ejemplo, los reordenamientos no cambian el valor de la suma. Esto no es cierto para las series condicionalmente convergentes: la serie armónica alterna converge a mientras que su reordenamiento (en el que el patrón repetido de signos es dos términos positivos seguidos de un término negativo) converge a ${\textstyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$ ${\displaystyle \ln 2,}$ ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$ ${\textstyle {\frac {3}{2}}\ln 2.}$

Fondo

En sumas finitas, el orden en el que se suman los términos es tanto asociativo como conmutativo , lo que significa que la agrupación y la reordenación no importan. (1 + 2) + 3 es lo mismo que 1 + (2 + 3), y ambos son lo mismo que (3 + 2) + 1. Sin embargo, esto no es cierto cuando se suman infinitos números y se supone erróneamente que Esto es cierto puede conducir a aparentes paradojas. Un ejemplo clásico es la suma alterna

${\displaystyle S=1-1+1-1+1-1...}$

cuyos términos alternan entre +1 y −1. ¿Cuál es el valor de S? Una forma de evaluar S es agrupar el primer y segundo término, el tercero y el cuarto, y así sucesivamente:

${\displaystyle S_{1}=(1-1)+(1-1)+(1-1)....=0+0+0...=0}$

Pero otra forma de evaluar S es dejar el primer término solo y agrupar el segundo y tercer término, luego el cuarto y quinto término, y así sucesivamente:

${\displaystyle S_{2}=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)....=1+0+0+0...=1}$

Esto lleva a una aparente paradoja: ¿ o ? ${\displaystyle S=0}$ ${\displaystyle S=1}$

La respuesta es que, como S no es absolutamente convergente, agrupar o reordenar sus términos cambia el valor de la suma. Esto significa y no son iguales. De hecho, la serie no converge , por lo que S no tiene un valor que encontrar en primer lugar. Una serie que es absolutamente convergente no tiene este problema: agrupar o reordenar sus términos no cambia el valor de la suma. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle 1-1+1-1+...}$

Definición de números reales y complejos

Una suma de números reales o números complejos es absolutamente convergente si la suma de los valores absolutos de los términos converge . ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$

Sumas de elementos más generales

La misma definición se puede utilizar para series cuyos términos no son números sino elementos de un grupo topológico abeliano arbitrario . En ese caso, en lugar de usar el valor absoluto , la definición requiere que el grupo tenga una norma , que es una función positiva de valor real en un grupo abeliano (escrita de forma aditiva , con elemento de identidad 0) tal que: ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle G}$

1. La norma del elemento identidad de es cero: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \|0\|=0.}$
2. Por cada implica ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle \|x\|=0}$ ${\displaystyle x=0.}$
3. Para cada ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle \|-x\|=\|x\|.}$
4. Para cada ${\displaystyle x,y\in G,}$ ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

En este caso, la función induce la estructura de un espacio métrico (un tipo de topología ) en ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ ${\displaystyle G.}$

Entonces, una serie con valores es absolutamente convergente si ${\displaystyle G}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

En particular, estas afirmaciones se aplican utilizando la norma ( valor absoluto ) en el espacio de números reales o números complejos. ${\displaystyle |x|}$

En espacios vectoriales topológicos

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y es una familia (posiblemente incontable ), entonces esta familia es absolutamente sumable si ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$es sumable en (es decir, si el límite de la red converge en donde está el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de dirigidos por inclusión y ), y ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$
2. porque cada seminorma continua de la familia es sumable en ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

If es un espacio normal y if es una familia absolutamente sumable, entonces necesariamente todos menos una colección contable de son 0. ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\alpha }}$

Las familias absolutamente sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares .

Relación con la convergencia

Si es completa con respecto a la métrica, entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. La prueba es la misma que para las series de valores complejos: utilice la completitud para derivar el criterio de Cauchy para la convergencia (una serie es convergente si y sólo si sus colas pueden hacerse arbitrariamente pequeñas en norma) y aplique la desigualdad del triángulo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d,}$

En particular, para series con valores en cualquier espacio de Banach , la convergencia absoluta implica convergencia. Lo contrario también es cierto: si la convergencia absoluta implica convergencia en un espacio normado, entonces el espacio es un espacio de Banach.

Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, se llama condicionalmente convergente . Un ejemplo de serie condicionalmente convergente es la serie armónica alterna . Muchas pruebas estándar de divergencia y convergencia, entre las que destacan la prueba de razón y la prueba de raíz , demuestran convergencia absoluta. Esto se debe a que una serie de potencias es absolutamente convergente en el interior de su disco de convergencia. ^[a]

Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente de números complejos es convergente

Supongamos que eso es convergente. Entonces, de manera equivalente, es convergente, lo que implica que y convergen mediante comparación término a término de términos no negativos. Basta mostrar que la convergencia de estas series implica la convergencia de y , por tanto, la convergencia de seguiría, según la definición de convergencia de series de valores complejos. ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$ ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$ ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$ ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$ ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$ ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$

La discusión anterior muestra que sólo necesitamos probar que la convergencia de implica la convergencia de ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle \sum a_{k}.}$

Seamos convergentes. Desde que tenemos ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,}$

$${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.}$$

secuencia monótona acotada ${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$ ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$

Prueba alternativa utilizando el criterio de Cauchy y la desigualdad triangular

Aplicando el criterio de Cauchy para la convergencia de una serie compleja, también podemos probar este hecho como una simple implicación de la desigualdad del triángulo . ^[2] Por el criterio de Cauchy , converge si y sólo si para cualquiera existe tal que para cualquiera Pero la desigualdad del triángulo implica que para cualquiera que es exactamente el criterio de Cauchy para ${\textstyle \sum |a_{i}|}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle n>m\geq N.}$ ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle n>m\geq N,}$ ${\textstyle \sum a_{i}.}$

Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente en un espacio de Banach es convergente

El resultado anterior se puede generalizar fácilmente a cada espacio de Banach. Sea una serie absolutamente convergente en As es una secuencia de Cauchy de números reales, para cualquier número natural suficientemente grande que se cumpla: ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|).}$ ${\textstyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m>n}$

$${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}$$

Por la desigualdad del triángulo para la norma ǁ⋅ǁ , se obtiene inmediatamente:

$${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}$$

^[3] ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Reordenamientos y convergencia incondicional

Números reales y complejos

Cuando una serie de números reales o complejos es absolutamente convergente, cualquier reordenamiento o reordenamiento de los términos de esa serie seguirá convergendo al mismo valor. Este hecho es una de las razones por las que las series absolutamente convergentes son útiles: mostrar que una serie es absolutamente convergente permite emparejar o reorganizar los términos de maneras convenientes sin cambiar el valor de la suma.

El teorema de reordenamiento de Riemann muestra que lo contrario también es cierto: toda serie real o de valores complejos cuyos términos no pueden reordenarse para dar un valor diferente es absolutamente convergente.

Series con coeficientes en un espacio más general.

El término convergencia incondicional se utiliza para referirse a una serie en la que cualquier reordenamiento de sus términos aún converge al mismo valor. Para cualquier serie con valores en un grupo abeliano normado , siempre que sea completa, toda serie que converge absolutamente también converge incondicionalmente. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Dicho más formalmente:

Teorema  :  Sea un grupo abeliano normado. Suponer ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty .}$$

Si hay alguna permutación, entonces ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

Para series con coeficientes más generales, lo contrario es más complicado. Como se indicó en la sección anterior, para series de valores reales y de valores complejos, la convergencia incondicional siempre implica convergencia absoluta. Sin embargo, en el caso más general de una serie con valores en cualquier grupo abeliano normado , no siempre se cumple lo contrario: pueden existir series que no son absolutamente convergentes, pero sí incondicionalmente convergentes. ${\displaystyle G}$

Por ejemplo, en el espacio de Banach ℓ ^∞ , una serie que es incondicionalmente convergente pero no absolutamente convergente es:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},}$$

donde es una base ortonormal. Un teorema de A. Dvoretzky y C. A. Rogers afirma que todo espacio de Banach de dimensión infinita tiene una serie incondicionalmente convergente que no es absolutamente convergente. ^[4] ${\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Prueba del teorema

Para cualquiera podemos elegir algunos tales que: ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$

Dejar

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}}$ ${\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }}$ ${\displaystyle a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}}$

Finalmente para cualquier número entero vamos ${\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}I_{\sigma ,\varepsilon }\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}$$

Esto muestra que

$${\displaystyle {\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

QED

Productos de serie

El producto de Cauchy de dos series converge al producto de las sumas si al menos una de las series converge absolutamente. Es decir, supongamos que

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}$$

El producto de Cauchy se define como la suma de términos donde: ${\displaystyle c_{n}}$

$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$$

Si la suma o converge absolutamente, entonces ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}$$

Convergencia absoluta sobre conjuntos

Una generalización de la convergencia absoluta de una serie es la convergencia absoluta de una suma de una función sobre un conjunto. Primero podemos considerar un conjunto contable y una función. A continuación daremos una definición de la suma de sobreescrita como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}$

En primer lugar, tenga en cuenta que debido a que aún no se ha especificado ninguna enumeración (o "indexación") particular , la serie no puede entenderse mediante la definición más básica de serie. De hecho, para ciertos ejemplos de y la suma de over puede no estar definida en absoluto, ya que alguna indexación puede producir una serie condicionalmente convergente. ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Por lo tanto, definimos sólo en el caso en que exista alguna biyección que sea absolutamente convergente. Tenga en cuenta que aquí, "absolutamente convergente" utiliza la definición más básica, aplicada a una serie indexada. En este caso, el valor de la suma de más de ^[5] se define por ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ ${\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$$

Tenga en cuenta que debido a que la serie es absolutamente convergente, cada reordenamiento es idéntico a una elección diferente de biyección. Dado que todas estas sumas tienen el mismo valor, entonces la suma de over está bien definida. ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

De manera aún más general, podemos definir la suma de over cuando es incontable. Pero primero definimos qué significa que la suma sea convergente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Sea cualquier conjunto, contable o incontable, y una función. Decimos que la suma de over converge absolutamente si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}$$

Hay un teorema que establece que, si la suma de over es absolutamente convergente, entonces toma valores distintos de cero en un conjunto que es, como máximo, contable. Por lo tanto, la siguiente es una definición consistente de la suma de over cuando la suma es absolutamente convergente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}$$

Tenga en cuenta que la serie final utiliza la definición de serie sobre un conjunto contable.

Algunos autores definen una suma iterada como absolutamente convergente si la serie iterada ^[6] Esto es de hecho equivalente a la convergencia absoluta de Es decir, si la suma de sobre converge absolutamente, como se definió anteriormente, entonces la suma iterada converge absolutamente , y viceversa. ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$

Convergencia absoluta de integrales

Se dice que la integral de una función real o de valores complejos converge absolutamente si también se dice que es absolutamente integrable . La cuestión de la integrabilidad absoluta es compleja y depende de si se considera la integral de Riemann , Lebesgue o Kurzweil-Henstock (calibre); para la integral de Riemann, también depende de si solo consideramos la integrabilidad en su sentido propio ( y ambas acotadas ), o permitimos el caso más general de integrales impropias. ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$ ${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

Como propiedad estándar de la integral de Riemann, cuando es un intervalo acotado , toda función continua es acotada y (Riemann) integrable, y dado que continuo implica continuo, toda función continua es absolutamente integrable. De hecho, dado que Riemann es integrable si es (adecuadamente) integrable y es continuo, se deduce que es propiamente integrable de Riemann si es. Sin embargo, esta implicación no se cumple en el caso de integrales impropias. Por ejemplo, la función es impropiamente integrable de Riemann en su dominio ilimitado, pero no es absolutamente integrable: ${\displaystyle A=[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}$$

función escalón ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

La situación es diferente para la integral de Lebesgue, que no maneja dominios de integración acotados e ilimitados por separado ( ver más abajo ). El hecho de que la integral de sea ilimitada en los ejemplos anteriores implica que tampoco es integrable en el sentido de Lebesgue. De hecho, en la teoría de la integración de Lebesgue, dado que es medible , es (Lebesgue) integrable si y sólo si es (Lebesgue) integrable. Sin embargo, la hipótesis que sea mensurable es crucial; En general, no es cierto que las funciones absolutamente integrables sean integrables (simplemente porque pueden no ser medibles): sea un subconjunto no medible y considere dónde está la función característica de Entonces , Lebesgue no es medible y, por lo tanto, no integrable, sino que es una constante. funcional y claramente integrable. ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle S\subset [a,b]}$ ${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$ ${\displaystyle \chi _{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|\equiv 1/2}$

Por otro lado, una función puede ser integrable de Kurzweil-Henstock (integrable de calibre) mientras no lo sea. Esto incluye el caso de funciones integrables incorrectamente de Riemann. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$

En sentido general, en cualquier medida espacial , la integral de Lebesgue de una función de valor real se define en términos de sus partes positiva y negativa, por lo que los hechos: ${\displaystyle A,}$

1. ${\displaystyle f}$integrable implica integrable ${\displaystyle |f|}$
2. ${\displaystyle f}$mensurable, integrable implica integrable ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$

están esencialmente integrados en la definición de la integral de Lebesgue. En particular, al aplicar la teoría a la medida de conteo en un conjunto se recupera la noción de suma desordenada de series desarrollada por Moore-Smith utilizando (lo que ahora se llaman) redes. Cuando es el conjunto de los números naturales, coinciden la integrabilidad de Lebesgue, la sumabilidad desordenada y la convergencia absoluta. ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

Finalmente, todo lo anterior es válido para integrales con valores en un espacio de Banach. La definición de integral de Riemann valorada en Banach es una modificación evidente de la habitual. Para la integral de Lebesgue es necesario evitar la descomposición en partes positivas y negativas con el enfoque analítico más funcional de Daniell , obteniendo la integral de Bochner .

Ver también

• Valor principal de Cauchy  : método para asignar valores a ciertas integrales impropias que de otro modo no estarían definidas
• Convergencia condicional  : una propiedad de las series infinitasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Convergencia de series de Fourier  – Problema matemático en análisis armónico clásico
• Teorema de Fubini  : condiciones para cambiar el orden de integración en cálculo
• Modos de convergencia (índice anotado)  : índice anotado de varios modos de convergencia
• Radio de convergencia  - Dominio de convergencia de series de potencias
• Teorema de la serie de Riemann  : las series incondicionales convergen absolutamente
• Convergencia incondicional  : convergencia de una secuencia independiente del orden
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·  – serie matemática infinitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·  – Serie infinita matemáticaPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Aquí, el disco de convergencia se utiliza para referirse a todos los puntos cuya distancia al centro de la serie es menor que el radio de convergencia. Es decir, el disco de convergencia está formado por todos los puntos en los que converge la serie de potencias.

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 179-180.
2. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático. Nueva York: McGraw-Hill. págs. 71–72. ISBN 0-07-054235-X.
3. Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría del espacio de Banach , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 183, Nueva York: Springer-Verlag, pág. 20, ISBN 0-387-98431-3(Teorema 1.3.9)
4. Dvoretzky, A.; Rogers, CA (1950), "Convergencia absoluta e incondicional en espacios lineales normados", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. Estados Unidos 36 : 192–197.
5. Tao, Terrance (2016). Análisis I. Nueva Delhi: Agencia de libros Hindustan. págs. 188-191. ISBN 978-9380250649.
6. Strichartz, Robert (2000). El Camino del Análisis . Aprendizaje de Jones y Bartlett. págs.259, 260. ISBN 978-0763714970.

Trabajos citados

• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.

Referencias generales

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Walter Rudin, Principios del análisis matemático (McGraw-Hill: Nueva York, 1964).
• Pietsch, Albrecht (1979). Espacios nucleares localmente convexos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 66 (Segunda ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
• Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Ryan, Raymond A. (2002). Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach . Monografías de Springer en Matemáticas. Londres Nueva York: Springer . ISBN 978-1-85233-437-6. OCLC  48092184.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 726. Berlín Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.