Integral de Henstock-Kurzweil

Generalización de la integral de Riemann

En matemáticas , la integral de Henstock-Kurzweil o integral de Riemann generalizada o integral de calibre , también conocida como integral (estrecha) de Denjoy (pronunciada [dɑ̃ˈʒwa] ), integral de Luzin o integral de Perron , pero no debe confundirse con la integral más amplia de Denjoy. – es una de varias definiciones no equivalentes de la integral de una función . Es una generalización de la integral de Riemann y en algunas situaciones es más general que la integral de Lebesgue . En particular, una función es integrable de Lebesgue si y sólo si la función y su valor absoluto son integrables de Henstock-Kurzweil.

Esta integral fue definida por primera vez por Arnaud Denjoy (1912). Denjoy estaba interesado en una definición que permitiera integrar funciones como

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right).}$$

Esta función tiene una singularidad en 0 y no es integrable de Lebesgue. Sin embargo, parece natural calcular su integral excepto en el intervalo [− ε , δ ] y luego sea ε , δ → 0 .

Al intentar crear una teoría general, Denjoy utilizó la inducción transfinita sobre los posibles tipos de singularidades, lo que complicó bastante la definición. Otras definiciones fueron dadas por Nikolai Luzin (utilizando variaciones de las nociones de continuidad absoluta ), y por Oskar Perron , que estaba interesado en las funciones mayores y menores continuas . Me tomó un tiempo comprender que las integrales de Perron y Denjoy son en realidad idénticas.

Posteriormente, en 1957, el matemático checo Jaroslav Kurzweil descubrió una nueva definición de esta integral elegantemente similar en naturaleza a la definición original de Riemann a la que denominó integral de calibre . Ralph Henstock introdujo de forma independiente una integral similar que amplió la teoría en 1961, citando sus investigaciones de las extensiones de Ward a la integral de Perron. ^[1] Debido a estas dos importantes contribuciones, ahora se la conoce comúnmente como integral de Henstock-Kurzweil . La simplicidad de la definición de Kurzweil hizo que algunos educadores abogaran por que esta integral debería reemplazar a la integral de Riemann en los cursos de introducción al cálculo . ^[2]

Definición

Siguiendo a Bartle (2001), dada una partición etiquetada P de [ a , b ] , es decir,

$${\displaystyle a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b}$$

$${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$$

${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta u_{i}.}$$

( )( ) ${\displaystyle \Delta u_{i}:=u_{i}-u_{i-1}.}$ ${\displaystyle \Delta u_{i}}$ ${\displaystyle f(t_{i})}$

Dada una función positiva

$${\displaystyle \delta \colon [a,b]\to (0,\infty ),}$$

indicadorP ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle (\forall i\in \{1,\dots ,n\})\ (\ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]).}$$

Ahora definimos un número I como la integral de Henstock-Kurzweil de f si para cada ε > 0 existe un calibre tal que siempre que P sea -fino, tenemos ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \left\vert I-\sum _{P}f\right\vert <\varepsilon .}$$

Si tal I existe, decimos que f es integrable de Henstock-Kurzweil en [ a , b ] .

El teorema de Cousin establece que para cada calibre , existe una partición P tan fina, por lo que esta condición no puede satisfacerse de manera vacía . La integral de Riemann puede considerarse como el caso especial en el que sólo permitimos calibres constantes . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Propiedades

Sea f : [ a , b ] → R cualquier función.

Dado a < c < b , f es integrable de Henstock-Kurzweil en [ a , b ] si y solo si es integrable de Henstock-Kurzweil tanto en [ a , c ] como en [ c , b ] ; en cuyo caso (Bartle 2001, 3.7),

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$$

Las integrales de Henstock-Kurzweil son lineales : dadas funciones integrables f , g y números reales α , β , la expresión αf + βg es integrable (Bartle 2001, 3.1); Por ejemplo,

$${\displaystyle \int _{a}^{b}\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

Si f es integrable de Riemann o Lebesgue, entonces también es integrable de Henstock-Kurzweil, y calcular esa integral da el mismo resultado en las tres formulaciones. El importante teorema de Hake (Bartle 2001, 12.8) establece que

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$$

siempre que exista cualquier lado de la ecuación, y también simétricamente para el límite inferior de integración. Esto significa que si f es " impropiamente integrable por Henstock-Kurzweil", entonces es propiamente integrable por Henstock-Kurzweil; en particular, integrales impropias de Riemann o Lebesgue de tipos como

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\sin(1/x)}{x}}\,dx}$$

también son integrales propias de Henstock-Kurzweil. Estudiar una "integral inadecuada de Henstock-Kurzweil" con límites finitos no tendría sentido. Sin embargo, tiene sentido considerar integrales impropias de Henstock-Kurzweil con límites infinitos, como

$${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx:=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Para muchos tipos de funciones, la integral de Henstock-Kurzweil no es más general que la integral de Lebesgue. Por ejemplo, si f está acotada con soporte compacto , lo siguiente es equivalente:

• f es integrable de Henstock-Kurzweil,
• f es integrable de Lebesgue,
• f es Lebesgue medible .

En general, toda función integrable de Henstock-Kurzweil es medible, y f es integrable de Lebesgue si y sólo si f y | f | son integrables Henstock-Kurzweil. Esto significa que la integral de Henstock-Kurzweil puede considerarse como una " versión no absolutamente convergente de la integral de Lebesgue". También implica que la integral de Henstock-Kurzweil satisface las versiones apropiadas del teorema de convergencia monótona (sin requerir que las funciones sean no negativas) y del teorema de convergencia dominada (donde la condición de dominancia se afloja a g ( x ) ≤ f _n ( x ) ≤ h ( x ) para algunos integrables g , h ).

Si F es diferenciable en todas partes (o con muchas excepciones), la derivada F ′ es integrable de Henstock-Kurzweil, y su integral indefinida de Henstock-Kurzweil es F. (Tenga en cuenta que F ′ no necesita ser integrable de Lebesgue.) En otras palabras, obtenemos una versión más simple y satisfactoria del segundo teorema fundamental del cálculo : cada función diferenciable es, hasta una constante, la integral de su derivada:

$${\displaystyle F(x)-F(a)=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt.}$$

Por el contrario , el teorema de diferenciación de Lebesgue sigue siendo válido para la integral de Henstock-Kurzweil: si f es integrable de Henstock-Kurzweil en [ a , b ] , y

$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt,}$$

entonces F ′( x ) = f ( x ) casi en todas partes en [ a , b ] (en particular, F es diferenciable en casi todas partes).

El espacio de todas las funciones integrables de Henstock-Kurzweil a menudo está dotado de la norma Alexiewicz , con respecto a la cual es limitado pero incompleto .

Utilidad

La integral de calibre tiene una mayor utilidad en comparación con la integral de Riemann en el sentido de que se puede calcular la integral de calibre de cualquier función f : [ a , b ] → R que tenga un valor constante c excepto posiblemente en un número contable de puntos . Considere, por ejemplo, la función por partes ${\displaystyle C=\{c_{i}:i\in \mathbb {N} \}}$

$${\displaystyle f(t)={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and rational,}}\\1,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and irrational}}\end{cases}}}$$

función de Dirichlet

Esta función es imposible de integrar usando una integral de Riemann porque es imposible hacer intervalos lo suficientemente pequeños como para encapsular los valores cambiantes de f ( x ) con la naturaleza de mapeo de particiones etiquetadas finas. ${\displaystyle [u_{i-1},u_{i}]}$ ${\displaystyle \delta }$

El valor del tipo de integral descrito anteriormente es igual a , donde c es el valor constante de la función y a, b son los puntos finales de la función. Para demostrar esto, sea dada y sea una partición etiquetada finamente con etiquetas e intervalos , y sea la función por partes descrita anteriormente. Considere eso ${\displaystyle c(b-a)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle D=\{(z_{j},J_{j}):1\leq j\leq n\}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle J_{j}}$ ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle \left|\sum f(z_{j})l(J_{j})-1(1-0)\right|=\left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|}$$

suma de las diferencias consecutivas ${\displaystyle l(J_{j})}$ ${\displaystyle J_{j}}$ ${\displaystyle J_{j}}$ ${\displaystyle (1-0)}$

Mediante la definición de integral de calibre, queremos mostrar que la ecuación anterior es menor que cualquier valor dado . Esto produce dos casos: ${\displaystyle \varepsilon }$

Caso 1: ${\displaystyle z_{j}\notin C}$ (Todas las etiquetas de son irracionales ): ${\displaystyle D}$

Si ninguna de las etiquetas de la partición etiquetada es racional , entonces siempre será 1 según la definición de , es decir . Si este término es cero, entonces, para cualquier longitud de intervalo, se cumplirá la siguiente desigualdad: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(z_{j})}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(z_{j})-1=0}$

$${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \varepsilon ,}$$

Entonces, para este caso, 1 es la integral de . ${\displaystyle f(t)}$

Caso 2: ${\displaystyle z_{k}=c_{k}}$ (Alguna etiqueta de es racional): ${\displaystyle D}$

Si una etiqueta de es racional, entonces la función evaluada en ese punto será 0, lo cual es un problema. Como sabemos que está bien, la desigualdad ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \left|\sum [f(z_{j})-1]l(\delta (c_{k}))\right|}$$

${\displaystyle J_{j}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Para ello, dejamos y ajustamos nuestras galgas de cobertura , lo que hace ${\displaystyle \gamma _{k}=\varepsilon /[f(c_{k})-c]2^{k+2}}$ ${\displaystyle \delta (c_{k})=(c_{k}-\gamma _{k},c_{k}+\gamma _{k})}$

$${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-c]l(J_{j})\right|<\varepsilon /2^{k+1}.}$$

De esto tenemos que

$${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq 2\sum \varepsilon /2^{k+1}=\varepsilon }$$

Porque

$${\displaystyle 2\sum 1/2^{k+1}=1}$$

serie geométrica ${\displaystyle f(t)}$

Dado que los casos 1 y 2 son exhaustivos, esto muestra que la integral de es 1 y todas las propiedades de la sección anterior se cumplen. ${\displaystyle f(t)}$

Integral de McShane

La integral de Lebesgue sobre una recta también se puede presentar de manera similar.

Si tomamos la definición de la integral de Henstock-Kurzweil desde arriba y eliminamos la condición

$${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$$

luego obtenemos una definición de la integral de McShane , que es equivalente a la integral de Lebesgue. Tenga en cuenta que la condición

$${\displaystyle \forall i\ \ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]}$$

todavía se aplica, y técnicamente también requerimos que se defina. ${\textstyle t_{i}\in [a,b]}$ ${\textstyle f(t_{i})}$

Ver también

• integral de pfeffer
• Valor principal de Cauchy
• Integral de parte finita de Hadamard

Referencias

Notas a pie de página

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias generalizadas en espacios abstractos y aplicaciones. Everaldo M. Bonotto, Marcia Federson, Jacqueline G. Mesquita. Hoboken, Nueva Jersey. 2021. págs. 1–3. ISBN 978-1-119-65502-2. OCLC  1269499134.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: others (link)
2. "Una carta abierta a los autores de libros de cálculo" . Consultado el 27 de febrero de 2014 .

General

• Bartle, Robert G. (2001). Una teoría moderna de la integración . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 32. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-0845-0.
• Una teoría moderna de la integración en el siglo XXI
• Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (1999). Introducción al análisis real (3ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4.
• Čelidze, VG; Džvaršeǐšvili, AG (1989). La Teoría de la Integral Denjoy y Algunas Aplicaciones . Serie en Análisis Real. vol. 3. Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 978-981-02-0021-3.
• Das, AG (2008). Las integrales de Riemann, Lebesgue y Riemann generalizada . Editores Narosa. ISBN 978-81-7319-933-2.
• Gordon, Russell A. (1994). Las integrales de Lebesgue, Denjoy, Perron y Henstock . Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 4. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3805-1.
• Henstock, Ralph (1988). Conferencias sobre Teoría de la Integración . Serie en Análisis Real. vol. 1. Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 978-9971-5-0450-2.
• Kurzweil, Jaroslav (2000). Integración de Henstock-Kurzweil: su relación con los espacios vectoriales topológicos . Serie en Análisis Real. vol. 7. Compañía editorial científica mundial. ISBN 978-981-02-4207-7.
• Kurzweil, Jaroslav (2002). Integración entre la integral de Lebesgue y la integral de Henstock-Kurzweil: su relación con los espacios vectoriales localmente convexos . Serie en Análisis Real. vol. 8. Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 978-981-238-046-3.
• Líder, Salomón (2001). La integral de Kurzweil-Henstock y sus diferenciales . Serie Matemática Pura y Aplicada. CDN. ISBN 978-0-8247-0535-0.
• Lee, Peng-Yee (1989). Conferencias de Lanzhou sobre la integración de Henstock . Serie en Análisis Real. vol. 2. Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 978-9971-5-0891-3.
• Lee, Peng-Yee; Výborný, Rudolf (2000). Integral: un enfoque sencillo después de Kurzweil y Henstock . Serie de conferencias de la Sociedad Australiana de Matemáticas. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-77968-5.
• McLeod, Robert M. (1980). La integral de Riemann generalizada . Monografías matemáticas de Carus. vol. 20. Washington, DC: Asociación Matemática de América. ISBN 978-0-88385-021-3.
• Swartz, Charles W. (2001). Introducción a las integrales de calibre . Compañía editorial científica mundial. ISBN 978-981-02-4239-8.
• Swartz, Charles W.; Kurtz, Douglas S. (2004). Teorías de la integración: las integrales de Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil y McShane . Serie en Análisis Real. vol. 9. Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 978-981-256-611-9.

enlaces externos

Los siguientes son recursos adicionales en la web para obtener más información:

• "Integral de Kurzweil-Henstock", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Introducción a la integral de calibre
• Una sugerencia abierta: reemplazar la integral de Riemann por la integral de calibre en los libros de texto de cálculo firmados por Bartle, Henstock, Kurzweil, Schechter, Schwabik y Výborný