Regularización de Hadamard

En matemáticas, la regularización de Hadamard (también llamada parte finita de Hadamard o parte finita de Hadamard ) es un método de regularización de integrales divergentes mediante la eliminación de algunos términos divergentes y la conservación de la parte finita, introducido por Hadamard  (1923, libro III, capítulo I, 1932). Riesz  (1938, 1949) demostró que esto puede interpretarse como la continuación meromórfica de una integral convergente.

Si existe la integral de valor principal de Cauchy , entonces se puede diferenciar con respecto a x para obtener la integral de parte finita de Hadamard de la siguiente manera: $${\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\quad ({\text{for }}a<x<b)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\right)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt\quad ({\text{for }}a<x<b).}$$

Tenga en cuenta que los símbolos y se utilizan aquí para denotar el valor principal de Cauchy y las integrales de partes finitas de Hadamard respectivamente. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

La integral de partes finitas de Hadamard anterior (para a < x < b ) también puede darse mediante las siguientes definiciones equivalentes: $${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt-{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{\varepsilon }}\right\},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(t-x)^{2}f(t)}{((t-x)^{2}+\varepsilon ^{2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}\left({\frac {1}{b-x}}-{\frac {1}{a-x}}\right)\right\}.}$$

Las definiciones anteriores se pueden derivar suponiendo que la función f  ( t ) es diferenciable infinitas veces en t = x para a < x < b , es decir, suponiendo que f  ( t ) se puede representar por su serie de Taylor alrededor de t = x . Para más detalles, véase Ang (2013). (Tenga en cuenta que el término − ⁠f  ( x )/2⁠ ( ⁠1/b - x⁠ − ⁠1/a - x) en la segunda definición equivalente anterior falta en Ang (2013) , pero esto está corregido en la hoja de erratas del libro).

Las ecuaciones integrales que contienen integrales de partes finitas de Hadamard (con f  ( t ) desconocida) se denominan ecuaciones integrales hipersingulares. Las ecuaciones integrales hipersingulares surgen en la formulación de muchos problemas en mecánica, como en el análisis de fracturas.

Ejemplo

Consideremos la integral divergente Su valor principal de Cauchy también diverge ya que Para asignar un valor finito a esta integral divergente, podemos considerar El valor principal de Cauchy interno está dado por Por lo tanto, Nótese que este valor no representa el área bajo la curva y ( t ) = 1/ t ² , que claramente siempre es positiva. $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\left(\lim _{a\to 0^{-}}\int _{-1}^{a}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)+\left(\lim _{b\to 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{a\to 0^{-}}\left(-{\frac {1}{a}}-1\right)+\lim _{b\to 0^{+}}\left(-1+{\frac {1}{b}}\right)=+\infty }$$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t^{2}}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}-1-1+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)=+\infty }$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{(t-x)^{2}}}\,dt{\Bigg |}_{x=0}={\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right){\Bigg |}_{x=0}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t-x}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\ln \left|{\frac {\varepsilon +x}{1+x}}\right|+\ln \left|{\frac {1-x}{\varepsilon -x}}\right|\right)=\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\frac {d}{dx}}\left(\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|\right){\Bigg |}_{x=0}={\frac {2}{x^{2}-1}}{\Bigg |}_{x=0}=-2}$$

Referencias

• Ang, Whye-Teong (2013), Ecuaciones integrales hipersingulares en el análisis de fracturas, Oxford: Woodhead Publishing , págs. 19-24, ISBN 978-0-85709-479-7.
• Ang, Whye-Teong, Hoja de erratas para ecuaciones integrales hipersingulares en análisis de fracturas (PDF).
• Blanchet, Luc; Faye, Guillaume (2000), "Regularización de Hadamard", Journal of Mathematical Physics , 41 (11): 7675–7714, arXiv : gr-qc/0004008 , Bibcode :2000JMP....41.7675B, doi :10.1063/1.1308506, ISSN  0022-2488, MR  1788597, Zbl  0986.46024.
• Hadamard, Jacques (1923), Lecciones sobre el problema de Cauchy en ecuaciones diferenciales parciales lineales, Dover Phoenix editions, Dover Publications, Nueva York, pág. 316, ISBN 978-0-486-49549-1, JFM  49.0725.04, MR  0051411, Zbl  0049.34805.
• Hadamard, J. (1932), Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques (en francés), París: Hermann & Cie., p. 542, Zbl  0006.20501.
• Riesz, Marcel (1938), "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels.", Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. ( Szeged ) (en francés), 9 (1–1): 1–42, JFM  64.0476.03, Zbl  0018.40704, archivado desde el original el 2016-03-05 , consultado el 2012-06-22.
• Riesz, Marcel (1938), "Rectification au travail "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels"", Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. ( Szeged ) (en francés), 9 (2–2): 116–118, JFM  65.1272.03, Zbl  0020.36402, archivado desde el original el 2016-03-04 , consultado el 2012-06-22.
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica , 81 : 1–223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN  0001-5962, MR  0030102, Zbl  0033.27601