Integral de McShane

Integral en la teoría de la integración.

En la rama de las matemáticas conocida como teoría de la integración , la integral de McShane , creada por Edward J. McShane , ^[1] es una modificación de la integral de Henstock-Kurzweil . ^[2] La integral de McShane es equivalente a la integral de Lebesgue . ^[3]

Definición

partición etiquetada gratis

Dado un intervalo cerrado [ a , b ] de la línea real, una partición etiquetada libre es un conjunto ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \{(t_{i},[a_{i-1},a_{i}]):1\leq i\leq n\}}$

dónde

${\displaystyle a=a_{0}<a_{1}<\dots <a_{n}=b}$

y cada etiqueta . ${\displaystyle t_{i}\in [a,b]}$

El hecho de que las etiquetas puedan estar fuera de los subintervalos es la razón por la que la partición se llama libre . También es la única diferencia entre las definiciones de la integral de Henstock-Kurzweil y la integral de McShane.

Para una función y una partición etiquetada libre , defina ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S(f,P)=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(a_{i}-a_{i-1}).}$

Indicador

Una función positiva se llama calibre en este contexto. ${\displaystyle \delta :[a,b]\to (0,+\infty )}$

Decimos que una partición etiquetada libre está bien si es para todos. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n,}$

${\displaystyle [a_{i-1},a_{i}]\subseteq [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})].}$

De forma intuitiva, el medidor controla los anchos de los subintervalos. Al igual que con la integral de Henstock-Kurzweil , esto proporciona flexibilidad (especialmente cerca de puntos problemáticos) que no ofrece la integral de Riemann .

Integral de McShane

El valor es la integral de McShane de si para cada podemos encontrar un indicador tal que para todas las particiones etiquetadas libres y finas de , ${\displaystyle \int _{a}^{b}f}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f-S(f,P)\right|<\varepsilon .}$

Ejemplos

Está claro que si una función es integrable según la definición de McShane, entonces también lo es de Henstock-Kurzweil. Ambas integrales coinciden en cuanto a su unicidad. ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

Para ilustrar la definición anterior analizamos la integrabilidad McShane de las funciones descritas en los siguientes ejemplos, que ya se conocen como integrables de Henstock-Kurzweil (ver el párrafo 3 del sitio de esta Wikipedia " Integral de Henstock-Kurzweil ").

Ejemplo 1

Sea tal que y si ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$ ${\textstyle f(x)=1}$ ${\textstyle x\in ]a,b[.}$

Como es bien sabido, esta función es integrable de Riemann y la integral correspondiente es igual a. Demostraremos que esta también es integrable de McShane y que su integral asume el mismo valor. ${\displaystyle b-a.}$ ${\displaystyle f}$

Para ello, para un dado , elijamos el calibre tal que y si ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta (t)}$ ${\displaystyle \delta (a)=\delta (b)=\varepsilon /4}$ ${\displaystyle \delta (t)=b-a}$ ${\textstyle t\in ]a,b[.}$

Cualquier partición etiquetada libre se puede descomponer en secuencias como ${\displaystyle P=\{(t_{i},[a_{i-1},a_{i}]):i=1,...,n\}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle (a,[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}])}$, para , ${\displaystyle j=1,...,\lambda }$

${\displaystyle (b,[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])}$, Para y ${\displaystyle k=1,...,\mu }$

${\displaystyle (t_{i_{r}},[x_{i_{r}-1},x_{i_{r}}])}$, donde , tal que ${\displaystyle r=1,...,\nu }$ ${\displaystyle t_{i_{r}}\in ]a,b[}$ ${\displaystyle (\lambda +\mu +\nu =n).}$

De esta manera tenemos la suma de Riemann.

${\displaystyle S(f,P)=\sum _{r=1}^{\nu }\displaystyle (x_{i_{r}}-x_{i_{r}-1})}$

y por consecuencia

${\displaystyle |S(P,f)-(b-a)|=\textstyle \sum _{j=1}^{\lambda }\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})+\textstyle \sum _{k=1}^{\mu }\displaystyle (x_{i_{k}}-x_{i_{k}-1}).}$

Por lo tanto, si es una partición fina etiquetada libre, tenemos ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle [x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [a-\delta (a),a+\delta (a)]}$, para cada , y ${\displaystyle j=1,...,\lambda }$

${\displaystyle [x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}]\subset [b-\delta (b),b+\delta (b)]}$, para cada . ${\displaystyle k=1,...,\mu }$

Como cada uno de esos intervalos no se superpone al interior de todos los restantes, obtenemos

${\displaystyle |S(P,f)-(b-a)|<2\delta (a)+2\delta (b)={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}$

Por tanto, McShane es integrable y ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f=b-a.}$

El siguiente ejemplo demuestra la existencia de una distinción entre las integrales de Riemann y McShane.

Ejemplo 2

Sea la conocida función de Dirichlet dada por ${\displaystyle d:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle d(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x{\text{ is rational,}}\\0,&{\text{if }}x{\text{ is irrational,}}\end{cases}}}$

que se sabe que no es integrable de Riemann. Demostraremos que es integrable en el sentido de MacShane y que su integral es cero. ${\displaystyle d}$

Denotando por el conjunto de todos los números racionales del intervalo , para cualquiera formulemos el siguiente calibre ${\displaystyle \{r_{1},r_{2},...,r_{n},...\}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\varepsilon 2^{-n-1},&{\text{if }}x=r_{n}{\text{ and }}n=1,2,...,\\1,&{\text{if }}x{\text{ is irrational.}}\end{cases}}}$

Para cualquier partición etiquetada libre y fina, considere su suma de Riemann ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle P=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}}$

${\displaystyle S(P,f)=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$.

Teniendo en cuenta que siempre es irracional, podemos excluir en la secuencia de pares ordenados que constituyen , los pares donde sea irracional. El resto son subsucesiones del tipo tal que , dado que cada uno de esos intervalos no se superpone al interior del restante, cada una de estas sucesiones da lugar en la suma de Riemann a subsumas del tipo ${\displaystyle f(t_{i})=0}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (t_{i},[x_{i-1},x_{i}])}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle (r_{k},[x_{i_{1}-1},x_{i_{1}}]),...,(r_{k},[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])}$ ${\displaystyle [x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [r_{k}-\delta (r_{k}),r_{k}+\delta (r_{k})]}$ ${\displaystyle j=1,...,k.}$

${\textstyle \textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle f(r_{k})(x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})\leq 2\delta (r_{k})={\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}$.

Así , lo que prueba que la función de Dirichlet es integrable en McShane y que ${\textstyle 0\leq S(P,f)<\textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varepsilon /2^{n}=\varepsilon }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}d=0.}$

Relación con Derivados

Para funciones reales definidas en un intervalo , tanto la integral de Henstock-Kurzweil como la de McShane satisfacen las propiedades elementales enumeradas a continuación, donde denotamos indistintamente el valor de cualquiera de esas integrales. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}f}$

1. Si es integrable en entonces es integrable en cada subintervalo de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$
2. Si es integrable en y entonces es integrable en y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,c]}$ ${\displaystyle [c,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{c}f+\int _{c}^{b}f=\int _{a}^{b}f}$
3. Si es continuo entonces es integrable en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$
4. Si es monótono entonces es integrable en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$
5. Sea una función diferenciable y estrictamente monótona. Entonces es integrable en si y sólo si es integrable en . En tal caso . ${\displaystyle \phi :[a,b]\rightarrow [\alpha ,\beta ]}$ ${\displaystyle f:[\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ ${\textstyle (f\circ \phi )|\phi '|}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}(f\circ \phi )|\phi '|=\int _{\alpha }^{\beta }f}$
6. Si es integrable en entonces es integrable en y , para cada . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle kf}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}kf=k\int _{a}^{b}f}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$
7. Dejar y ser integrable en . Entonces: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$
   • ${\displaystyle f+g}$es integrable en y . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}(f+g)=\int _{a}^{b}f+\int _{a}^{b}g}$
   • ${\displaystyle f\leq g}$ellos . ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ ${\textstyle \Rightarrow \int _{a}^{b}f\leq \int _{a}^{b}g}$

Con respecto a las integrales mencionadas anteriormente, las demostraciones de estas propiedades son idénticas salvo ligeras variaciones inherentes a las diferencias de las definiciones correspondientes (ver Washek Pfeffer ^[4] [Sec. 6.1]).

De esta forma se observa un cierto paralelismo entre las dos integrales. Sin embargo, se produce una ruptura imperceptible cuando se analizan otras propiedades, como la integrabilidad absoluta y la integrabilidad de las derivadas de funciones integrables diferenciables.

A este respecto se cumplen los siguientes teoremas (ver ^[4] [Prop.2.2.3 y Th. 6.1.2]).

Teorema 1 (sobre la integrabilidad absoluta de la integral de McShane)

Si McShane es integrable en entonces McShane también lo es en y . ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle |\int _{a}^{b}f|\leq \int _{a}^{b}|f|}$

Teorema 2 (teorema fundamental de la integral de Henstock-Kurzweil)

Si es diferenciable en , entonces Henstock-Kurzweil es integrable en y . ${\textstyle F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle F'}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}F'=F(b)-F(a)}$

Para ilustrar estos teoremas analizamos el siguiente ejemplo basado en el Ejemplo 2.4.12. ^[4]

Ejemplo 3

Consideremos la función:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}x^{2}\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

${\displaystyle F}$es obviamente diferenciable en cualquiera y también diferenciable en , desde . ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\textstyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {F(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to 0}\left(x\cos {\frac {\pi }{x^{2}}}\right)=0}$

Además

${\textstyle F'(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2})+{\frac {2\pi }{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

como la función

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}$

es continua y, según el teorema 2, la función es integrable de Henstock-Kurzweil y luego por las propiedades 6 y 7, lo mismo ocurre con la función ${\displaystyle F'(x)}$ ${\displaystyle [0,1],}$

${\textstyle g_{0}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

Pero la función

${\textstyle g(x)=|g_{0}(x)|={\begin{cases}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|,&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}$

no es integrable para ninguna de las integrales mencionadas. ${\displaystyle [0,1]}$

De hecho, de lo contrario, al designar cualquiera de tales integrales, deberíamos tener necesariamente cualquier número entero positivo . Luego mediante el cambio de variable , deberíamos obtener teniendo en cuenta la propiedad 5: ${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx\geq \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx,}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle x=1/{\sqrt {t}}}$

${\displaystyle \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx={\frac {1}{2}}\int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}\int _{k-1}^{k}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt\geq }$

${\displaystyle \geq {\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}\int _{k-1}^{k}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}}$.

As es un número entero positivo arbitrario y obtenemos una contradicción. ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=2}^{N}{\frac {1}{k}}=+\infty }$

De este ejemplo podemos concluir las siguientes consecuencias relevantes:

• I) El teorema 1 ya no es válido para la integral de Henstock-Kurzweil ya que Henstock-Kurzweil es integrable y no lo es. ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle g}$

• II) El teorema 2 no se cumple para la integral de McShane. De lo contrario, McShane debería ser integrable así como y por el Teorema 1, como , lo cual es absurdo. ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle g}$

• III) es, así, un ejemplo de función integrable de Henstock-Kurzweil que no es integrable de McShane. Es decir, la clase de funciones integrables de McShane es una subclase estricta de las funciones integrables de Henstock-Kurzweil. ${\displaystyle F'}$

Relación con Lebesgue Integral

El resultado más sorprendente de la integral de McShane se establece en el siguiente teorema, ya anunciado en la introducción.

Teorema 3

Dejar . Entonces ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f}$¿Es integrable McShane ? ¿Es integrable Lebesgue? ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle f}$

Las integrales correspondientes coinciden.

Este hecho permite concluir que con la integral de McShane se formula una especie de unificación de la teoría de la integración en torno a las sumas de Riemann, que, al fin y al cabo, constituyen el origen de esa teoría.

Hasta el momento no se conoce una demostración inmediata de tal teorema.

En Washek Pfeffer ^[4] [Cap. 4] se afirma a través del desarrollo de la teoría de la integral de McShane, incluida la teoría de la medida, en relación con las propiedades ya conocidas de la integral de Lebesgue. En Charles Swartz ^[5] esa misma equivalencia se demuestra en el Apéndice 4.

Además del libro de Russel Gordon ^[3] [Cap. 10], sobre este tema llamamos también la atención del lector sobre las obras de Robert McLeod ^[6] [Cap. 8] y Douglas Kurtz junto con Charles W. Swartz. ^[2]

Otra perspectiva de la integral de McShane es que puede verse como una nueva formulación de la integral de Lebesgue sin utilizar la Teoría de la Medida, como alternativa a los cursos de Frigyes Riesz y Bela Sz. Nagy ^[7] [Cap.II] o Serge Lang ^[8] [Cap.X, §4 Apéndice] (ver también ^[9] ).

Ver también

• Integral de Henstock-Kurzweil

Referencias

1. McShane, EJ (1973). "Una teoría unificada de la integración". El Mensual Matemático Estadounidense . 80 (4): 349–359. doi :10.2307/2319078. ISSN  0002-9890.
2. Kurtz, Douglas S. y Swartz, Charles W. (2012). Teorías de la integración: las integrales de Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil y McShane (2ª ed.). Singapur: World Scientific. pag. 247.ISBN​ 978-981-4368-99-5. OCLC  769192118.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Gordon, Russell A. (1994). Las integrales de Lebesgue, Denjoy, Perron y Henstock. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. págs. 157-163. ISBN 0-8218-3805-9. OCLC  30474120.
4. Pfeffer, Washek F. (1993). El enfoque de Riemann hacia la integración . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-44035-1.
5. Swartz, Charles (2001). Introducción a las integrales de calibre . Científico mundial. ISBN 9810242395.
6. McLeod, Robert M. (1980). La Integral de Riemann Generalizada . Estados Unidos: Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-000-1.
7. Riesz, Frigys y Sz.-Nagy, Béla (1990). Análisis funcional . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-66289-6.
8. Lang, Serge (1983). Análisis de Pregrado . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4419-2853-5.
9. Lang, Serge (2012). Análisis Real y Funcional (3ª. Edición) . Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6938-0.