Prueba de convergencia de Cauchy

Criterio para series infinitas

La prueba de convergencia de Cauchy es un método utilizado para probar la convergencia de series infinitas . Se basa en sumas acotadas de términos de la serie. Este criterio de convergencia lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy, quien lo publicó en su libro de texto Cours d'Analyse 1821. ^[1]

Declaración

Una serie es convergente si y sólo si para cada elemento existe un número natural tal que ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

vale para todos y todas . ^[2] ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Explicación

La prueba funciona porque el espacio de números reales y el espacio de números complejos (con la métrica dada por el valor absoluto ) están completos . Desde aquí, la serie es convergente si y sólo si las sumas parciales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$

son una secuencia de Cauchy .

La prueba de convergencia de Cauchy sólo se puede utilizar en espacios métricos completos (como y ), que son espacios donde convergen todas las secuencias de Cauchy. Esto se debe a que sólo necesitamos demostrar que sus elementos se acercan arbitrariamente entre sí después de una progresión finita en la secuencia para demostrar que la serie converge. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Prueba

Podemos usar los resultados sobre la convergencia de la secuencia de sumas parciales de la serie infinita y aplicarlos a la convergencia de la serie infinita misma. La prueba del criterio de Cauchy es una de esas aplicaciones. Para cualquier secuencia real , los resultados anteriores sobre la convergencia implican que la serie infinita ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

converge si y sólo si para cada existe un número N , tal que m ≥ n ≥ N implica ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}a_{k}\right|<\varepsilon .}$^{[3] : 188}

Probablemente la parte más interesante de este teorema es que la condición de Cauchy implica la existencia del límite: esto de hecho está relacionado con la completitud de la recta real. El criterio de Cauchy se puede generalizar a una variedad de situaciones, que se pueden resumir en términos generales como "una condición de oscilación que desaparece es equivalente a la convergencia". ^[4]

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Referencias

1. Allegranza, Mauro. "Respuesta a la prueba de convergencia del origen de Cauchy'". Historia de la Ciencia y las Matemáticas . Intercambio de pila . Consultado el 10 de septiembre de 2021 .
2. Abbott, Stephen (2001). Análisis de comprensión . Textos de Pregrado en Matemáticas. Nueva York, Nueva York: Springer Verlag . pag. 63.ISBN​ 978-0-387-21506-8.
3. Wade, William (2010). Una introducción al análisis . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 9780132296380.
4. Kudryavtsev, Lev D.; De Lellis, Camillo; Artemisfowl tercero (2013). "Criterios de Cauchy". En Rehmann, Ulf (ed.). Enciclopedia de Matemáticas . Springer, Sociedad Matemática Europea .{{cite encyclopedia}}: Mantenimiento CS1: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )