En matemáticas , la función zeta de Hasse-Weil adjunta a una variedad algebraica V definida sobre un campo numérico algebraico K es una función meromórfica en el plano complejo definido en términos del número de puntos en la variedad después de reducir módulo cada número primo p . Es una función L global definida como un producto de Euler de funciones zeta locales .
Las funciones L de Hasse-Weil forman una de las dos clases principales de funciones L globales , junto con las funciones L asociadas a representaciones automórficas . Conjeturalmente, estos dos tipos de funciones L globales son en realidad dos descripciones del mismo tipo de función L global; esto sería una amplia generalización de la conjetura de Taniyama-Weil , en sí misma un resultado importante en la teoría de números .
Para una curva elíptica sobre un campo numérico K , la función zeta de Hasse-Weil está relacionada conjeturalmente con el grupo de puntos racionales de la curva elíptica sobre K mediante la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer .
La descripción de la función zeta de Hasse-Weil hasta un número finito de factores de su producto de Euler es relativamente simple. Esto sigue las sugerencias iniciales de Helmut Hasse y André Weil , motivadas por el caso en el que V es un solo punto, y resulta la función zeta de Riemann . [1]
Tomando el caso de K el cuerpo de números racionales Q , y V una variedad proyectiva no singular , podemos para casi todos los números primos p considerar la reducción de V módulo p , una variedad algebraica V p sobre el cuerpo finito F p con p elementos , simplemente reduciendo las ecuaciones para V . Teóricamente, esta reducción es solo el retroceso de V a lo largo del mapa canónico Spec F p → Spec Z. Nuevamente, para casi todos p será no singular. Definimos
ser la serie de Dirichlet de la variable compleja s , que es el producto infinito de las funciones zeta locales
Entonces , según nuestra definición, está bien definido sólo hasta la multiplicación por funciones racionales en un número finito de .
Dado que la indeterminación es relativamente inofensiva y tiene continuación meromórfica en todas partes, hay un sentido en el que las propiedades de Z(s) no dependen esencialmente de ella. En particular, si bien la forma exacta de la ecuación funcional para Z ( s ), reflejada en una línea vertical en el plano complejo, dependerá definitivamente de los factores "faltantes", la existencia de alguna ecuación funcional de este tipo no depende.
Una definición más refinada se hizo posible con el desarrollo de la cohomología étale ; esto explica claramente qué hacer con los factores faltantes y de "mala reducción". Según los principios generales visibles en la teoría de la ramificación , los primos "malos" contienen buena información (teoría del conductor ). Esto se manifiesta en la teoría étale en el criterio de Ogg-Néron-Shafarevich para una buena reducción ; es decir, que hay una buena reducción, en un sentido definido, en todos los primos p para los cuales la representación de Galois ρ en los grupos de cohomología étale de V no está ramificada . Para aquellos, la definición de función zeta local se puede recuperar en términos del polinomio característico de
Frob( p ) es un elemento de Frobenius para p . Lo que sucede en el p ramificado es que ρ no es trivial en el grupo de inercia I ( p ) para p . En esos primos hay que 'corregir' la definición, tomando el cociente mayor de la representación ρ sobre la que actúa el grupo de inercia mediante la representación trivial . Con este refinamiento, la definición de Z ( s ) se puede actualizar con éxito de 'casi todos' p a todos los p que participan en el producto de Euler. Las consecuencias para la ecuación funcional fueron elaboradas por Serre y Deligne a finales de los años sesenta; la ecuación funcional en sí no ha sido probada en general.
La conjetura de Hasse-Weil establece que la función zeta de Hasse-Weil debería extenderse a una función meromorfa para todos los complejos s , y debería satisfacer una ecuación funcional similar a la de la función zeta de Riemann . Para curvas elípticas sobre números racionales, la conjetura de Hasse-Weil se deriva del teorema de modularidad . [ cita necesaria ]
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer establece que el rango del grupo abeliano E ( K ) de puntos de una curva elíptica E es del orden del cero de la función L de Hasse-Weil L ( E , s ) en s = 1 , y que el primer coeficiente distinto de cero en la expansión de Taylor de L ( E , s ) en s = 1 viene dado por datos aritméticos más refinados adjuntos a E sobre K . [2] La conjetura es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio enumerados por el Clay Mathematics Institute , que ha ofrecido un premio de 1.000.000 de dólares a la primera prueba correcta. [3]
Una curva elíptica es un tipo específico de variedad. Sea E una curva elíptica sobre Q del conductor N. Entonces, E tiene una buena reducción en todos los primos p que no dividen a N , tiene una reducción multiplicativa en los primos p que dividen exactamente a N (es decir, tal que p divide a N , pero p 2 no; esto se escribe p || N ), y tiene reducción aditiva en otros lugares (es decir, en los números primos donde p 2 divide a N ). La función zeta de Hasse-Weil de E toma entonces la forma
Aquí, ζ( s ) es la función zeta de Riemann habitual y L ( E , s ) se denomina función L de E / Q , que toma la forma [4]
donde, para un primo dado p ,
donde en el caso de una buena reducción a p es p + 1 − (número de puntos de E mod p ), y en el caso de una reducción multiplicativa a p es ±1 dependiendo de si E está dividido (signo más) o no dividido (signo menos) reducción multiplicativa en p . Se dice que una reducción multiplicativa de la curva E por el primo p está dividida si -c 6 es un cuadrado en el cuerpo finito con p elementos. [5]
Hay una relación útil que no utiliza el conductor:
1. Si p no se divide (donde está el discriminante de la curva elíptica), entonces E tiene una buena reducción en p .
2. Si p divide pero no, entonces E tiene una mala reducción multiplicativa en p .
3. Si p divide a ambos y entonces E tiene una mala reducción aditiva en p .
