Conductor de variedad abeliana

En matemáticas , en geometría diofántica , el conductor de una variedad abeliana definida sobre un cuerpo local o global F es una medida de cuán "mala" es la mala reducción en algún primo. Está conectado a la ramificación en el campo generado por los puntos de torsión .

Definición

Para una variedad abeliana A definida sobre un cuerpo F como el anterior, con anillo de enteros R , considere el modelo de Néron de A , que es un modelo "mejor posible" de A definido sobre R . Este modelo puede representarse como un esquema sobre

Especificar( R )

(cf. espectro de un anillo ) para el cual la fibra genérica construida mediante el morfismo

Espec( F ) → Espec( R )

devuelve A . Sea A ⁰ el esquema de subgrupo abierto del modelo de Néron cuyas fibras son los componentes conexos. Para un ideal máximo P de R con cuerpo de residuos k , A ⁰ _k es una variedad de grupo sobre k , por lo tanto una extensión de una variedad abeliana por un grupo lineal. Este grupo lineal es una extensión de un toro por un grupo unipotente . Sea u _P la dimensión del grupo unipotente y t _P la dimensión del toro. El orden del conductor en P es

${\displaystyle f_{P}=2u_{P}+t_{P}+\delta _{P},\,}$

donde es una medida de ramificación salvaje. Cuando F es un cuerpo numérico, el ideal conductor de A está dado por ${\displaystyle \delta _{P}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle f=\prod _{P}P^{f_{P}}.}$

Propiedades

• A tiene buena reducción en P si y sólo si (lo que implica ). ${\displaystyle u_{P}=t_{P}=0}$ ${\displaystyle f_{P}=\delta _{P}=0}$
• A tiene reducción semiestable si y sólo si (entonces nuevamente ). ${\displaystyle u_{P}=0}$ ${\displaystyle \delta _{P}=0}$
• Si A adquiere reducción semiestable sobre una extensión de Galois de F de grado primo a p , la característica del residuo en P , entonces δ _P = 0.
• Si , donde d es la dimensión de A , entonces . ${\displaystyle p>2d+1}$ ${\displaystyle \delta _{P}=0}$
• Si y F es una extensión finita de grado de ramificación , existe un límite superior expresado en términos de la función , que se define de la siguiente manera: ${\displaystyle p\leq 2d+1}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle e(F/\mathbb {Q} _{p})}$ ${\displaystyle L_{p}(n)}$

Escribe con y establece . Entonces ^[1] ${\displaystyle n=\sum _{k\geq 0}c_{k}p^{k}}$ ${\displaystyle 0\leq c_{k}<p}$ ${\displaystyle L_{p}(n)=\sum _{k\geq 0}kc_{k}p^{k}}$

${\displaystyle (*)\qquad f_{P}\leq 2d+e(F/\mathbb {Q} _{p})\left(p\left\lfloor {\frac {2d}{p-1}}\right\rfloor +(p-1)L_{p}\left(\left\lfloor {\frac {2d}{p-1}}\right\rfloor \right)\right).}$

Además, para cada con hay un campo con y una variedad abeliana de dimensión de modo que es una igualdad. ${\displaystyle d,p,e}$ ${\displaystyle p\leq 2d+1}$ ${\displaystyle F/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle e(F/\mathbb {Q} _{p})=e}$ ${\displaystyle A/F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (*)}$

Referencias

1. Brumer, Armand; Kramer, Kenneth (1994). "El director de una variedad abeliana". Compositio Math . 92 (2): 227-248.

• S. Lang (1997). Encuesta sobre geometría diofántica . Springer-Verlag . Págs. 70-71. ISBN. 3-540-61223-8.
• J.-P. Serre; J. Tate (1968). "Buena reducción de variedades abelianas". Ann. Math . 88 (3). Anales de Matemáticas, vol. 88, núm. 3: 492–517. doi :10.2307/1970722. JSTOR  1970722.