Cuadrilátero cíclico

En geometría euclidiana , un cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito es un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran todos en un solo círculo . Este círculo se llama círculo circunscrito o circunscrito , y se dice que los vértices son concíclicos . El centro del círculo y su radio se llaman circuncentro y circunradio respectivamente. Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero concíclico y cuadrilátero cordal , este último porque los lados del cuadrilátero son cuerdas del círculo circunscrito. Por lo general, se supone que el cuadrilátero es convexo , pero también hay cuadriláteros cíclicos cruzados. Las fórmulas y propiedades que se dan a continuación son válidas en el caso convexo.

La palabra cíclico proviene del griego antiguo κύκλος ( kuklos ), que significa "círculo" o "rueda".

Todos los triángulos tienen una circunferencia circunscrita , pero no todos los cuadriláteros la tienen. Un ejemplo de cuadrilátero que no puede ser cíclico es un rombo no cuadrado . La sección de caracterizaciones que se encuentra a continuación establece qué condiciones necesarias y suficientes debe satisfacer un cuadrilátero para tener una circunferencia circunscrita.

Casos especiales

Cualquier cuadrado , rectángulo , trapezoide isósceles o antiparalelogramo es cíclico. Una cometa es cíclica si y solo si tiene dos ángulos rectos: una cometa recta . Un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es tangencial y un cuadrilátero ex-bicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es ex-tangencial . Un cuadrilátero armónico es un cuadrilátero cíclico en el que el producto de las longitudes de los lados opuestos es igual.

Caracterizaciones

Circuncentro

Un cuadrilátero convexo es cíclico si y sólo si las cuatro bisectrices perpendiculares a los lados son concurrentes . Este punto común es el circuncentro . ^[1]

Ángulos suplementarios

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ es cíclico si y sólo si sus ángulos opuestos son suplementarios , es decir ^[1]^[2]

\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radianes}}\ (=180^{\circ }).

El teorema directo fue la Proposición 22 del Libro 3 de los Elementos de Euclides . ^[3] De manera equivalente, un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si cada ángulo exterior es igual al ángulo interior opuesto .

En 1836 Duncan Gregory generalizó este resultado de la siguiente manera: Dado cualquier 2 n -gono cíclico convexo , entonces las dos sumas de los ángulos alternos internos son cada una igual a ( n -1) . ^[4] Este resultado se puede generalizar aún más de la siguiente manera: si A1A2...A2n (n > 1) es cualquier 2 n -gono cíclico en el que el vértice Ai->Ai+k (el vértice Ai está unido a Ai+k ), entonces las dos sumas de los ángulos alternos internos son cada una igual a m (donde m = n — k y k = 1, 2, 3, ... es el giro total). ^[5] ${\estilo de visualización \pi}$ ${\estilo de visualización \pi}$

Tomando la proyección estereográfica (tangente de medio ángulo) de cada ángulo, esto se puede reexpresar,

{\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2} }\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{ 1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .

Lo que implica que ^[6]

\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac { \delta}{2}}}=1

Ángulos entre lados y diagonales

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ es cíclico si y solo si un ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal. ^[7] Es decir, por ejemplo,

\ángulo ACB=\ángulo ADB.

Puntos de Pascal

Otras condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero convexo $ABCD$ sea cíclico son: sea $E$ el punto de intersección de las diagonales, sea $F$ el punto de intersección de las prolongaciones de los lados $AD$ y $BC$ , sea un círculo cuyo diámetro es el segmento, $EF$ , y sean $P$ y $Q$ puntos de Pascal sobre los lados $AB$ y $CD$ formados por el círculo . (1) $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y solo si los puntos $P$ y $Q$ son colineales con el centro $O$ , del círculo . (2) $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y solo si los puntos $P$ y $Q$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $CD$ . ^[2] ${\estilo de visualización \omega}$ ${\estilo de visualización \omega}$
${\estilo de visualización \omega}$

Intersección de diagonales

Si dos líneas, una que contiene el segmento $AC$ y la otra que contiene el segmento $BD$ , se intersecan en $E$ , entonces los cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son concíclicos si y solo si ^[8]

\displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.

La intersección $E$ puede ser interna o externa al círculo. En el primer caso, el cuadrilátero cíclico es $ABCD$ y en el segundo caso, el cuadrilátero cíclico es $ABDC$ . Cuando la intersección es interna, la igualdad establece que el producto de las longitudes de los segmentos en los que $E$ divide una diagonal es igual al de la otra diagonal. Esto se conoce como el teorema de las cuerdas que se intersecan, ya que las diagonales del cuadrilátero cíclico son cuerdas del círculo circunscrito.

Teorema de Ptolomeo

El teorema de Ptolomeo expresa el producto de las longitudes de las dos diagonales $e$ y $f$ de un cuadrilátero cíclico como igual a la suma de los productos de los lados opuestos: ^[9]^{: p.25}^[2]

\displaystyle ef=ac+bd,

donde a , b , c , d son las longitudes de los lados en orden. La inversa también es cierta. Es decir, si se cumple esta ecuación en un cuadrilátero convexo, se forma un cuadrilátero cíclico.

Triángulo diagonal

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , sea $EFG$ el triángulo diagonal de $ABCD$ y sea EFG el círculo de nueve puntos de $EFG$ . $ABCD$ es cíclico si y solo si el punto de intersección de las bimedianas de $ABCD$ pertenece al círculo de nueve puntos . ^[10]^[11]^[2] ${\estilo de visualización \omega}$ ${\estilo de visualización \omega}$

Área

El área $K$ de un cuadrilátero cíclico con lados $a$ , $b$ , $c$ , $d$ está dada por la fórmula de Brahmagupta ^[9]^{: p.24}

K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}\,

donde $s$ , el semiperímetro , es $s = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ ( a + b + c + d )$ . Este es un corolario de la fórmula de Bretschneider para el cuadrilátero general, ya que los ángulos opuestos son suplementarios en el caso cíclico. Si además $d = 0$ , el cuadrilátero cíclico se convierte en un triángulo y la fórmula se reduce a la fórmula de Heron .

El cuadrilátero cíclico tiene el área máxima entre todos los cuadriláteros que tienen las mismas longitudes de lado (independientemente de la secuencia). Este es otro corolario de la fórmula de Bretschneider. También se puede demostrar mediante cálculo . ^[12]

Cuatro longitudes desiguales, cada una menor que la suma de las otras tres, son los lados de cada uno de tres cuadriláteros cíclicos no congruentes, ^[13] que, según la fórmula de Brahmagupta, tienen todos la misma área. En concreto, para los lados $a$ , $b$ , $c$ y $d$ , el lado $a$ podría ser opuesto a cualquiera de los lados $b$ , $c$ o $d$ .

El área de un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , ángulo $A$ entre los lados $a$ y $d$ , y ángulo $B$ entre los lados $a$ y $b$ se puede expresar como ^[9]^{: p.25}

K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

K={\frac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}

o ^[9]^{: p.26}

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }

donde $θ$ es el ángulo entre las diagonales. Si $A$ no es un ángulo recto, el área también se puede expresar como ^[9]^{: p.26}

K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.

Otra fórmula es ^[14]^{: p.83}

\displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }

donde $R$ es el radio del círculo circunscrito . Como consecuencia directa, ^[15]

K\leq 2R^{2}

donde hay igualdad si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Diagonales

En un cuadrilátero cíclico con vértices sucesivos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ y lados $a = AB$ , $b = BC$ , $c = CD$ y $d = DA$ , las longitudes de las diagonales $p = AC$ y $q = BD$ se pueden expresar en términos de los lados como ^[9]^{: p.25,}^[16]^[17]^{: p. 84}

p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}

q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}

Así que se demuestra el teorema de Ptolomeo.

pq=ac+bd.

Según el segundo teorema de Ptolomeo , ^[9]^{: p.25,}^[16]

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

utilizando las mismas notaciones que arriba.

Para la suma de las diagonales tenemos la desigualdad ^[18]^{: p.123, #2975}

p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.

La igualdad se cumple si y sólo si las diagonales tienen la misma longitud, lo que puede demostrarse utilizando la desigualdad AM-GM .

Además, ^[18]^{: p.64, #1639}

(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

En cualquier cuadrilátero convexo, las dos diagonales juntas dividen el cuadrilátero en cuatro triángulos; en un cuadrilátero cíclico, los pares opuestos de estos cuatro triángulos son similares entre sí.

Si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico donde $AC$ se encuentra con $BD$ en $E$ , entonces ^[19]

{\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Un conjunto de lados que pueden formar un cuadrilátero cíclico puede disponerse en cualquiera de tres secuencias distintas, cada una de las cuales puede formar un cuadrilátero cíclico de la misma área en el mismo círculo circunscrito (las áreas son las mismas según la fórmula del área de Brahmagupta). Dos de estos cuadriláteros cíclicos tienen una longitud diagonal en común. ^[17]^{: p. 84}

Fórmulas de ángulos

Para un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , semiperímetro $s$ y ángulo $A$ entre los lados $a$ y $d$ , las funciones trigonométricas de $A$ están dadas por ^[20]

\cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},

\sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.

El ángulo $θ$ entre las diagonales opuestas a los lados $a$ y $c$ satisface ^[9]^{: p.26}

\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.

Si las extensiones de los lados opuestos $a$ y $c$ se intersecan en un ángulo $φ$ , entonces

\cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}

donde $s$ es el semiperímetro . ^[9]^{: p.31}

Sea el ángulo entre los lados y , el ángulo entre y , y el ángulo entre y , entonces: ^[21] $B$ $a$ $b$ $C$ $b$ $c$ $D$ $c$ $d$

{\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}

Fórmula del radio circunscrito de Parameshvara

Un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y semiperímetro $s$ tiene el radio circunscrito (el radio del círculo circunscrito ) dado por ^[16]^[22]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.

El matemático indio Vatasseri Parameshvara dedujo este resultado en el siglo XV. (Tenga en cuenta que el radio es invariable ante el intercambio de las longitudes de los lados).

Usando la fórmula de Brahmagupta , la fórmula de Parameshvara puede reformularse como

4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}

donde $K$ es el área del cuadrilátero cíclico.

Anticentro y colinealidades

Cuatro segmentos de línea, cada uno perpendicular a un lado de un cuadrilátero cíclico y que pasa por el punto medio del lado opuesto , son concurrentes . ^[23]^{: p.131,}^[24] Estos segmentos de línea se denominan máltitudes , ^[25] que es una abreviatura de altitud del punto medio. Su punto común se llama anticentro . Tiene la propiedad de ser el reflejo del circuncentro en el "centroide del vértice" . Por lo tanto, en un cuadrilátero cíclico, el circuncentro, el "centroide del vértice" y el anticentro son colineales . ^[24]

Si las diagonales de un cuadrilátero cíclico se intersecan en $P$ , y los puntos medios de las diagonales son $M$ y $N$ , entonces el anticentro del cuadrilátero es el ortocentro del triángulo $MNP$ .

El anticentro de un cuadrilátero cíclico es el punto Poncelet de sus vértices.

Otras propiedades

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , los incentros M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ (ver la figura de la derecha) en los triángulos $DAB$ , $ABC$ , $BCD$ y $CDA$ son los vértices de un rectángulo . Este es uno de los teoremas conocidos como el teorema japonés . Los ortocentros de los mismos cuatro triángulos son los vértices de un cuadrilátero congruente con $ABCD$ , y los centroides en esos cuatro triángulos son vértices de otro cuadrilátero cíclico. ^[7]
En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con circuncentro $O$ , sea $P$ el punto en el que se cortan las diagonales $AC$ y $BD$ . Entonces el ángulo $APB$ es la media aritmética de los ángulos $AOB$ y $COD$ . Esto es una consecuencia directa del teorema del ángulo inscrito y del teorema del ángulo exterior .
No existen cuadriláteros cíclicos con área racional y con lados racionales desiguales ni en progresión aritmética ni en progresión geométrica . ^[26]

Si un cuadrilátero cíclico tiene lados que forman una progresión aritmética, el cuadrilátero también es exbicéntrico .
Si los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico se extienden para encontrarse en $E$ y $F$ , entonces las bisectrices internas de los ángulos en $E$ y $F$ son perpendiculares. ^[13]

Cuadriláteros de Brahmagupta

Un cuadrilátero de Brahmagupta ^[27] es un cuadrilátero cíclico con lados enteros, diagonales enteras y área entera. Todos los cuadriláteros de Brahmagupta con lados $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , diagonales $e$ , $f$ , área $K$ y radio circunscrito $R$ se pueden obtener despejando los denominadores de las siguientes expresiones que involucran los parámetros racionales $t$ , $u$ y $v$ :

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]

b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Caso ortodiagonal

Circunradio y área

Para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal (tiene diagonales perpendiculares), supongamos que la intersección de las diagonales divide una diagonal en segmentos de longitudes $p 1$ y $p 2$ y divide la otra diagonal en segmentos de longitudes $q 1$ y $q 2$ . Entonces ^[28] (la primera igualdad es la Proposición 11 del Libro de los Lemas de Arquímedes )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

donde $D$ es el diámetro del círculo circunscrito . Esto es así porque las diagonales son cuerdas perpendiculares de un círculo . Estas ecuaciones implican que el radio circunscrito $R$ puede expresarse como

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}

o, en términos de los lados del cuadrilátero, como ^[23]

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.

También se deduce que ^[23]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Así, según el teorema del cuadrilátero de Euler , el circunradio puede expresarse en términos de las diagonales $p$ y $q$ , y la distancia $x$ entre los puntos medios de las diagonales como

R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.

La fórmula para el área $K$ de un cuadrilátero ortodiagonal cíclico en función de los cuatro lados se obtiene directamente combinando el teorema de Ptolomeo y la fórmula para el área de un cuadrilátero ortodiagonal . El resultado es ^[29]^{: p.222}

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Otras propiedades

En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, el anticentro coincide con el punto donde se intersecan las diagonales. ^[23]
El teorema de Brahmagupta establece que para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal , la perpendicular desde cualquier lado a través del punto de intersección de las diagonales biseca el lado opuesto. ^[23]
Si un cuadrilátero cíclico también es ortodiagonal, la distancia desde el circuncentro a cualquier lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto. ^[23]
En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la distancia entre el circuncentro y el punto donde se intersecan las diagonales. ^[23]

Cuadriláteros esféricos cíclicos

En geometría esférica , un cuadrilátero esférico formado a partir de cuatro círculos mayores que se cortan es cíclico si y solo si las sumas de los ángulos opuestos son iguales, es decir, α + γ = β + δ para ángulos consecutivos α, β, γ, δ del cuadrilátero. ^[30] Una dirección de este teorema fue demostrada por Anders Johan Lexell en 1782. ^[31] Lexell demostró que en un cuadrilátero esférico inscrito en un pequeño círculo de una esfera las sumas de los ángulos opuestos son iguales, y que en el cuadrilátero circunscrito las sumas de los lados opuestos son iguales. El primero de estos teoremas es el análogo esférico de un teorema del plano, y el segundo teorema es su dual, es decir, el resultado de intercambiar los círculos mayores y sus polos. ^[32] Kiper et al. ^[33] demostró un recíproco del teorema: si las sumas de los lados opuestos son iguales en un cuadrilátero esférico, entonces existe un círculo inscripto para este cuadrilátero.

Véase también

Referencias

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Lectura adicional

D. Fraivert: Cuadriláteros de puntos de Pascal inscritos en un cuadrilátero cíclico

Enlaces externos

Derivación de la fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico
Incentros en cuadrilátero cíclico en el punto de corte del nudo
Cuatro líneas concurrentes en un cuadrilátero cíclico en el punto de corte
Weisstein, Eric W. "Cuadrilátero cíclico". MathWorld .