Progresión aritmética

Secuencia de números igualmente espaciados

Demostración sin palabras de las fórmulas de progresión aritmética utilizando una copia rotada de los bloques

Una progresión aritmética o secuencia aritmética es una secuencia de números tal que la diferencia entre cualquier término sucesivo y su término precedente permanece constante a lo largo de la secuencia. La diferencia constante se denomina diferencia común de esa progresión aritmética. Por ejemplo, la secuencia 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . es una progresión aritmética con una diferencia común de 2.

Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común de los miembros sucesivos es , entonces el término -ésimo de la secuencia ( ) está dado por ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Una parte finita de una progresión aritmética se denomina progresión aritmética finita y, a veces, simplemente progresión aritmética. La suma de una progresión aritmética finita se denomina serie aritmética .

Historia

Según una anécdota de incierta fiabilidad, ^[1] en la escuela primaria Carl Friedrich Gauss reinventó la fórmula para sumar los números enteros del 1 al , para el caso , agrupando los números de ambos extremos de la secuencia en pares que sumaban 101 y multiplicaban por el número de pares. Independientemente de la verdad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula. Reglas similares eran conocidas en la antigüedad por Arquímedes , Hipsícles y Diofanto ; ^[2] en China por Zhang Qiujian ; en la India por Aryabhata , Brahmagupta y Bhaskara II ; ^[3] y en la Europa medieval por Alcuino , ^[4] Dicuil , ^[5] Fibonacci , ^[6] Sacrobosco , ^[7] y comentaristas anónimos del Talmud conocidos como Tosafistas . ^[8] Algunos consideran probable que su origen se remonte a los pitagóricos en el siglo V a. C. ^[9] ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=100}$

Suma

Cálculo de la suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cuando la secuencia se invierte y se suma a sí misma término por término, la secuencia resultante tiene un único valor repetido, igual a la suma del primer y el último número (2 + 14 = 16). Por lo tanto, 16 × 5 = 80 es el doble de la suma.

La suma de los miembros de una progresión aritmética finita se denomina serie aritmética . Por ejemplo, considere la suma:

${\displaystyle 2+5+8+11+14=40}$

Esta suma se puede encontrar rápidamente tomando el número n de términos que se suman (aquí 5), multiplicando por la suma del primer y último número en la progresión (aquí 2 + 14 = 16) y dividiendo por 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

En el caso anterior, esto da la ecuación:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Esta fórmula funciona para cualquier progresión aritmética de números reales que comiencen con y terminen con . Por ejemplo, ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Derivación

Prueba animada de la fórmula que da la suma de los primeros números enteros 1+2+...+n.

Para derivar la fórmula anterior, comience expresando la serie aritmética de dos maneras diferentes:

${\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}$

Reescribiendo los términos en orden inverso:

${\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}$

Sumando los términos correspondientes de ambos lados de las dos ecuaciones y dividiendo ambos lados por la mitad:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}$

Esta fórmula se puede simplificar así:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}$

Además, el valor medio de la serie se puede calcular mediante : ${\displaystyle S_{n}/n}$

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

La fórmula es esencialmente la misma que la fórmula para la media de una distribución uniforme discreta , interpretando la progresión aritmética como un conjunto de resultados igualmente probables.

Producto

El producto de los miembros de una progresión aritmética finita con un elemento inicial a ₁ , diferencias comunes d y n elementos en total se determina en una expresión cerrada

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

donde denota la función Gamma . La fórmula no es válida cuando es negativo o cero. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle a_{1}/d}$

Esta es una generalización de los hechos de que el producto de la progresión está dado por el factorial y que el producto ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

para números enteros positivos y viene dada por ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

Derivación

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}$

donde denota el factorial ascendente . ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$

Por la fórmula de recurrencia , válida para un número complejo , ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ ${\displaystyle z>0}$

${\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}$,

${\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}$,

de modo que

${\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

para un entero positivo y un número complejo positivo. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z}$

Por lo tanto, si , ${\displaystyle a_{1}/d>0}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$,

y, finalmente,

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Tomando el ejemplo , el producto de los términos de la progresión aritmética dada por hasta el término 50 es ${\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }$ ${\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}$

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Ejemplo 2

El producto de los primeros 10 números impares viene dado por ${\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}$

${\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}$= 654.729.075

Desviación estándar

La desviación estándar de cualquier progresión aritmética es

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

donde es el número de términos de la progresión y es la diferencia común entre términos. La fórmula es esencialmente la misma que la fórmula para la desviación estándar de una distribución uniforme discreta , interpretando la progresión aritmética como un conjunto de resultados igualmente probables. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

Intersecciones

La intersección de dos progresiones aritméticas doblemente infinitas cualesquiera es vacía u otra progresión aritmética, que se puede encontrar utilizando el teorema del resto chino . Si cada par de progresiones en una familia de progresiones aritméticas doblemente infinitas tiene una intersección no vacía, entonces existe un número común a todas ellas; es decir, las progresiones aritméticas infinitas forman una familia Helly . ^[10] Sin embargo, la intersección de infinitas progresiones aritméticas infinitas podría ser un solo número en lugar de ser en sí misma una progresión infinita.

Cantidad de subconjuntos aritméticos de longitudadel conjunto {1,...,n}

Sea el número de subconjuntos de longitud que se pueden formar a partir del conjunto y sea definido como: ${\displaystyle a(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$ ${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}$

${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}$

A modo de ejemplo, si uno espera subconjuntos aritméticos y, contando directamente, ve que hay 9; estos son ${\textstyle (n,k)=(7,3)}$ ${\textstyle a(7,3)=9}$ ${\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}$

Véase también

• Progresión geométrica
• Progresión armónica
• Número triangular
• Sucesión aritmético-geométrica
• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas
• Números primos en progresión aritmética
• Ecuación diferencial lineal
• Progresión aritmética generalizada , un conjunto de números enteros construidos como una progresión aritmética, pero permitiendo varias posibles diferencias
• Triángulos heronianos con lados en progresión aritmética
• Problemas que involucran progresiones aritméticas
• Utonalidad
• Polinomios que calculan sumas de potencias de progresiones aritméticas

Referencias

1. Hayes, Brian (2006). «Gauss's Day of Reckoning». American Scientist . 94 (3): 200. doi :10.1511/2006.59.200. Archivado desde el original el 12 de enero de 2012. Consultado el 16 de octubre de 2020 .
2. Tropfke, Johannes (1924). Análisis, geometría analítica . Walter de Gruyter. págs. 3-15. ISBN 978-3-11-108062-8.
3. Tropfke, Johannes (1979). Aritmética y Álgebra . Walter de Gruyter. págs. 344–354. ISBN 978-3-11-004893-3.
4. Problemas para agudizar a los jóvenes, John Hadley y David Singmaster, The Mathematical Gazette , 76 , #475 (marzo de 1992), págs. 102–126.
5. Ross, HE y Knott, BI (2019) Dicuil (siglo IX) sobre números triangulares y cuadrados, British Journal for the History of Mathematics , 34:2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687
6. Sigler, Laurence E. (trad.) (2002). El Liber Abaci de Fibonacci . Springer-Verlag. págs. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.
7. Katz, Victor J. (ed.) (2016). Libro de consulta sobre las matemáticas de la Europa medieval y el norte de África . Princeton University Press. pp. 91, 257. ISBN 9780691156859.
8. Stern, M. (1990). 74.23 Una derivación medieval de la suma de una progresión aritmética. The Mathematical Gazette, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368
9. Høyrup, J. La "herencia desconocida": rastro de un lugar olvidado de sofisticación matemática. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
10. Duchet, Pierre (1995), "Hypergraphs", en Graham, RL; Grötschel, M .; Lovász, L. (eds.), Manual de combinatoria, vol. 1, 2 , Ámsterdam: Elsevier, págs. 381–432, SEÑOR  1373663. Véase en particular la Sección 2.5, "Helly Property", págs. 393-394.

Enlaces externos

• "Series aritméticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Progresión aritmética". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Series aritméticas". MathWorld .