Teorema de Ptolomeo

Relaciona los 4 lados y 2 diagonales de un cuadrilátero con vértices en un círculo común

El teorema de Ptolomeo es una relación entre estas longitudes en un cuadrilátero cíclico. ${\displaystyle \definecolor {V}{rgb}{0.5803921568627451,0,0.8274509803921568}\definecolor {B}{rgb}{0,0,1}\definecolor {R}{rgb}{0.8,0,0}{\color {V}AC}\cdot {\color {V}BD}={\color {B}AB}\cdot {\color {B}CD}+{\color {R}BC}\cdot {\color {R}AD}}$

En geometría euclidiana , el teorema de Ptolomeo es una relación entre los cuatro lados y dos diagonales de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran en un círculo común). El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Ptolomeo (Claudio Ptolomeo). ^[1] Ptolomeo utilizó el teorema como ayuda para crear su tabla de cuerdas , una tabla trigonométrica que aplicó a la astronomía.

Si los vértices del cuadrilátero cíclico son A , B , C y D en orden, entonces el teorema establece que:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}$

Esta relación puede expresarse verbalmente de la siguiente manera:

Si un cuadrilátero es cíclico entonces el producto de las longitudes de sus diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de los pares de lados opuestos.

Además, el recíproco del teorema de Ptolomeo también es cierto:

En un cuadrilátero, si la suma de los productos de las longitudes de sus dos pares de lados opuestos es igual al producto de las longitudes de sus diagonales, entonces el cuadrilátero puede inscribirse en un círculo, es decir, es un cuadrilátero cíclico .

Corolarios sobre polígonos inscritos

Triángulo equilátero

Triángulo equilátero

El teorema de Ptolomeo produce como corolario un bonito teorema ^[2] sobre un triángulo equilátero inscrito en un círculo.

Dado un triángulo equilátero inscrito en un círculo y un punto en el círculo.

La distancia desde el punto hasta el vértice más distante del triángulo es la suma de las distancias desde el punto hasta los dos vértices más cercanos.

Demostración: Se sigue inmediatamente del teorema de Ptolomeo:

${\displaystyle qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.}$

Cuadrado

Cualquier cuadrado puede inscribirse en un círculo cuyo centro sea el centro del cuadrado. Si la longitud común de sus cuatro lados es igual a entonces la longitud de la diagonal es igual a según el teorema de Pitágoras y la relación de Ptolomeo es evidentemente válida. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$

Rectángulo

Teorema de Pitágoras: "manifestum est" : Copérnico

En términos más generales, si el cuadrilátero es un rectángulo con lados a y b y diagonal d, entonces el teorema de Ptolomeo se reduce al teorema de Pitágoras. En este caso, el centro del círculo coincide con el punto de intersección de las diagonales. El producto de las diagonales es entonces d ² , el lado derecho de la relación de Ptolomeo es la suma a ²  +  b ² .

Copérnico, que utilizó ampliamente el teorema de Ptolomeo en su obra trigonométrica, se refiere a este resultado como un «porismo» o corolario evidente:

Además, es claro ( manifestum est ) que cuando se ha dado la cuerda que subtiende un arco, también se puede encontrar la cuerda que subtiende el resto del semicírculo. ^[3]

Pentágono

La proporción áurea se desprende de esta aplicación del teorema de Ptolomeo.

Un ejemplo más interesante es la relación entre la longitud a del lado y la longitud (común) b de las 5 cuerdas de un pentágono regular. Al completar el cuadrado , la relación da como resultado la proporción áurea : ^[4]

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b\cdot b\,\;\;\qquad \quad \qquad =&\!\!\!\!a\!\cdot \!a+a\!\cdot \!b\\b^{2}\;\;-ab\quad \qquad =&\!\!a^{2}\\{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\;\;-{\frac {ab}{a^{2}}}\;\;\;\qquad =&\!\!\!{\frac {a^{2}}{a^{2}}}\\\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\\\left({\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!\quad {\frac {5}{4}}\\{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\;\;\;=&\!\!\!\!\pm {\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {b}{a}}>0\,\Rightarrow \,\varphi ={\frac {b}{a}}=&\!\!\!\!{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}}$

Lado del decágono

Lado del decágono inscrito

Si ahora se traza el diámetro AF bisectrizando a DC de modo que DF y CF sean los lados c de un decágono inscrito, se puede aplicar nuevamente el Teorema de Ptolomeo, esta vez al cuadrilátero cíclico ADFC con diámetro d como una de sus diagonales:

${\displaystyle ad=2bc}$

${\displaystyle \Rightarrow ad=2\varphi ac}$¿Dónde está la proporción áurea? ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}.}$^[5]

De donde el lado del decágono inscrito se obtiene en términos del diámetro del círculo. El teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo AFD produce entonces "b" en términos del diámetro y "a" el lado del pentágono ^[6] se calcula a partir de entonces como

${\displaystyle a={\frac {b}{\varphi }}=b\left(\varphi -1\right).}$

Como escribió Copérnico (siguiendo a Ptolomeo):

"Dado el diámetro de un círculo, se dan también los lados del triángulo, tetrágono, pentágono, hexágono y decágono, que el mismo círculo circunscribe." ^[7]

Pruebas

Prueba visual

Prueba visual animada del teorema de Ptolomeo, basada en Derrick y Herstein (2012).

La animación que se muestra aquí es una demostración visual del teorema de Ptolomeo, basado en Derrick y Herstein (2012). ^[8]

Demostración por semejanza de triángulos

Construcciones para una demostración del teorema de Ptolomeo

Sea ABCD un cuadrilátero cíclico . En la cuerda BC, los ángulos inscritos son ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB. Construya K en AC tal que ∠ABK = ∠CBD; como ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.

Ahora bien, por los ángulos comunes △ABK es semejante a △DBC, y asimismo △ABD es semejante a △KBC. Por lo tanto, AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD; equivalentemente, AK⋅BD = AB⋅CD, y CK⋅BD = BC⋅DA. Sumando dos igualdades tenemos AK⋅BD + CK⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, y factorizando esto obtenemos (AK+CK)·BD = AB⋅CD + BC⋅DA. Pero AK+CK = AC, por lo que AC⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, QED ^[9]

La prueba tal como está escrita es válida únicamente para cuadriláteros cíclicos simples . Si el cuadrilátero se corta a sí mismo, K estará ubicado fuera del segmento AC. Pero en este caso, AK−CK = ±AC, lo que da el resultado esperado.

Demostración por identidades trigonométricas

Sean los ángulos inscritos subtendidos por , y , respectivamente, , y , y el radio del círculo sea , entonces tenemos , , , , y , y la igualdad original a demostrar se transforma en ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CD}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle AB=2R\sin \alpha }$ ${\displaystyle BC=2R\sin \beta }$ ${\displaystyle CD=2R\sin \gamma }$ ${\displaystyle AD=2R\sin(180^{\circ }-(\alpha +\beta +\gamma ))}$ ${\displaystyle AC=2R\sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle BD=2R\sin(\beta +\gamma )}$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma )}$

de donde el factor ha desaparecido al dividir ambos lados de la ecuación por él. ${\displaystyle 4R^{2}}$

Ahora, utilizando las fórmulas de suma, y ​​, es trivial demostrar que ambos lados de la ecuación anterior son iguales a ${\displaystyle \sin(x+y)=\sin {x}\cos y+\cos x\sin y}$ ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma \\+{}&\cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma .\end{aligned}}}$

QED

He aquí otra prueba, quizás más transparente, que utiliza trigonometría rudimentaria. Definamos un nuevo cuadrilátero inscrito en el mismo círculo, donde son los mismos que en , y ubicado en un nuevo punto en el mismo círculo, definido por , . (Dibuje el triángulo invertido, de modo que el vértice se mueve al vértice y el vértice se mueve al vértice . El vértice ahora estará ubicado en un nuevo punto D' en el círculo). Entonces, tiene las mismas longitudes de aristas y, en consecuencia, los mismos ángulos inscritos subtendidos por las aristas correspondientes, como , solo que en un orden diferente. Es decir, , y , para, respectivamente, y . Además, y tienen la misma área. Entonces, ${\displaystyle ABCD'}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle D'}$ ${\displaystyle |{\overline {AD'}}|=|{\overline {CD}}|}$ ${\displaystyle |{\overline {CD'}}|=|{\overline {AD}}|}$ ${\displaystyle ACD}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle ABCD'}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle AB,BC}$ ${\displaystyle AD'}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle ABCD'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (ABCD)&={\frac {1}{2}}AC\cdot BD\cdot \sin(\alpha +\gamma );\\\mathrm {Area} (ABCD')&={\frac {1}{2}}AB\cdot AD'\cdot \sin(180^{\circ }-\alpha -\gamma )+{\frac {1}{2}}BC\cdot CD'\cdot \sin(\alpha +\gamma )\\&={\frac {1}{2}}(AB\cdot CD+BC\cdot AD)\cdot \sin(\alpha +\gamma ).\end{aligned}}}$

QED

Prueba por inversión

Demostración del teorema de Ptolomeo mediante inversión del círculo

Elija un círculo auxiliar de radio centrado en D con respecto al cual el círculo circunscrito de ABCD se invierte en una línea (ver figura). Entonces Entonces y se pueden expresar como , y respectivamente. Multiplicando cada término por y usando se obtiene la igualdad de Ptolomeo. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'.}$ ${\displaystyle A'B',B'C'}$ ${\displaystyle A'C'}$ ${\textstyle {\frac {AB\cdot DB'}{DA}}}$ ${\textstyle {\frac {BC\cdot DB'}{DC}}}$ ${\textstyle {\frac {AC\cdot DC'}{DA}}}$ ${\textstyle {\frac {DA\cdot DC}{DB'}}}$ ${\textstyle {\frac {DC'}{DB'}}={\frac {DB}{DC}}}$

QED

Nótese que si el cuadrilátero no es cíclico entonces A', B' y C' forman un triángulo y por lo tanto A'B'+B'C' > A'C', lo que nos da una prueba muy simple de la desigualdad de Ptolomeo que se presenta a continuación.

Demostración usando números complejos

Incruste ABCD en el plano complejo identificándolo como cuatro números complejos distintos . Defina la razón cruzada ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A\mapsto z_{A},\ldots ,D\mapsto z_{D}}$ ${\displaystyle z_{A},\ldots ,z_{D}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \zeta :={\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\in \mathbb {C} _{\neq 0}}$.

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}&=\left|z_{A}-z_{B}\right|\left|z_{C}-z_{D}\right|+\left|z_{A}-z_{D}\right|\left|z_{B}-z_{C}\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right|+\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left(\left|{\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\right|+1\right)\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left(\left|\zeta \right|+1\right)\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&\geq \left|(\zeta +1)(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})\right|\\&=\left|z_{A}-z_{C}\right|\left|z_{B}-z_{D}\right|\\&={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\end{aligned}}}$

con igualdad si y solo si la razón cruzada es un número real positivo. Esto prueba la desigualdad de Ptolomeo en general, ya que solo queda demostrar que están dispuestos consecutivamente en un círculo (posiblemente de radio infinito, es decir, una línea) en si y solo si . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z_{A},\ldots ,z_{D}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} _{>0}}$

De la forma polar de un número complejo , se deduce ${\displaystyle z=\vert z\vert e^{i\arg(z)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arg(\zeta )&=\arg {\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\\&=\arg(z_{A}-z_{B})+\arg(z_{C}-z_{D})-\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{B}-z_{C}){\pmod {2\pi }}\\&=\arg(z_{A}-z_{B})+\arg(z_{C}-z_{D})-\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(-1){\pmod {2\pi }}\\&=-\left[\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(z_{A}-z_{B})\right]-\left[\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{D})\right]-\arg(-1){\pmod {2\pi }}\\&=-\angle ABC-\angle CDA-\pi {\pmod {2\pi }}\\&=0\end{aligned}}}$

con la última igualdad manteniéndose si y solo si ABCD es cíclico, ya que un cuadrilátero es cíclico si y solo si los ángulos opuestos suman . ${\displaystyle \pi }$

QED

Nótese que esta prueba se realiza de manera equivalente observando que la ciclicidad de ABCD, es decir, la suplementaria y , es equivalente a la condición ${\displaystyle \angle ABC}$ ${\displaystyle \angle CDA}$

${\displaystyle \arg \left[(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right]=\arg \left[(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right]=\arg \left[(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})\right]{\pmod {2\pi }}}$;

En particular, hay una rotación en la que esto es 0 (es decir, los tres productos son números reales positivos), y por la cual se cumple el teorema de Ptolomeo. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \arg }$

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

se establece entonces directamente a partir de la identidad algebraica simple

${\displaystyle (z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})=(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D}).}$

Corolarios

${\displaystyle |S_{1}|=\sin(\theta _{1})}$

Corolario 1: Teorema de Pitágoras

En el caso de un círculo de diámetro unitario, los lados de cualquier cuadrilátero cíclico ABCD son numéricamente iguales a los senos de los ángulos que subtienden. De manera similar, las diagonales son iguales al seno de la suma de cualquier par de ángulos que subtienden. Podemos escribir entonces el teorema de Ptolomeo en la siguiente forma trigonométrica: ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ ${\displaystyle \theta _{4}}$

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})}$

Aplicando ciertas condiciones a los ángulos subtendidos es posible derivar una serie de corolarios importantes utilizando lo anterior como punto de partida. En lo que sigue es importante tener en cuenta que la suma de ángulos . ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ ${\displaystyle \theta _{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=180^{\circ }}$

Corolario 1. Teorema de Pitágoras

Sea y . Entonces (ya que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios). Entonces: ^[10] ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{3}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }}$

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}=\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\cos ^{2}\theta _{1}=1}$

Corolario 2. La ley de los cosenos

Corolario 2: la ley de los cosenos

Sea . El rectángulo del corolario 1 es ahora un trapecio simétrico con diagonales iguales y un par de lados iguales. Los lados paralelos difieren en longitud en unidades donde: ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$ ${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle x=S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})}$

Será más fácil en este caso volver al enunciado estándar del teorema de Ptolomeo:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}S_{1}S_{3}+S_{2}S_{4}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\\\Rightarrow S_{1}S_{3}+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow S_{1}[S_{1}-2S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})]+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow {S_{1}}^{2}+{S_{2}}^{2}-2S_{1}S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})={\overline {AC}}^{2}\\\end{array}}}$

La regla del coseno para el triángulo ABC.

Corolario 3. Ángulo compuesto seno (+)

Dejar

${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }.}$

Entonces

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\times 1}$

Fórmula para el ángulo compuesto seno (+). ^[11]

Corolario 4. Ángulo compuesto seno (−)

Sea . Entonces . Por lo tanto, ${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{2}+(\theta _{3}+\theta _{4})=90^{\circ }}$

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}}$

${\displaystyle \sin \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\sin \theta _{2}}$

Fórmula para el ángulo compuesto seno (−). ^[11]

Esta derivación corresponde al Tercer Teorema, tal como lo relata Copérnico siguiendo a Ptolomeo en el Almagesto . En particular, si se dan los lados de un pentágono (que subtiende 36° en la circunferencia) y de un hexágono (que subtiende 30° en la circunferencia), se puede calcular una cuerda que subtiende 6°. Este fue un paso crítico en el antiguo método de cálculo de tablas de cuerdas. ^[12]

Corolario 5. Ángulo compuesto coseno (+)

Este corolario es el núcleo del Quinto Teorema tal como lo relata Copérnico siguiendo a Ptolomeo en el Almagesto.

Sea . Entonces . Por lo tanto ${\displaystyle \theta _{3}=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{1}+(\theta _{2}+\theta _{4})=90^{\circ }}$

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}}$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}}$

Fórmula para el coseno del ángulo compuesto (+)

A pesar de carecer de la destreza de nuestra notación trigonométrica moderna, debería quedar claro a partir de los corolarios anteriores que en el teorema de Ptolomeo (o, más simplemente, el Segundo Teorema) el mundo antiguo tenía a su disposición una herramienta trigonométrica extremadamente flexible y poderosa que permitió a los entendidos de aquellos tiempos trazar tablas de cuerdas precisas (correspondientes a tablas de senos) y usarlas en sus intentos de comprender y cartografiar el cosmos tal como lo veían. Dado que las tablas de cuerdas fueron trazadas por Hiparco tres siglos antes de Ptolomeo, debemos asumir que conocía el "Segundo Teorema" y sus derivados. Siguiendo la pista de los astrónomos antiguos, la historia registra el catálogo de estrellas de Timocharis de Alejandría. Si, como parece probable, la compilación de tales catálogos requirió una comprensión del "Segundo Teorema", entonces los verdaderos orígenes de este último desaparecen después en las brumas de la antigüedad, pero no es descabellado suponer que los astrónomos, arquitectos e ingenieros de la construcción del antiguo Egipto pueden haber tenido algún conocimiento de él.

La desigualdad de Ptolomeo

No se trata de un cuadrilátero cíclico. La igualdad nunca se cumple aquí y es desigual en la dirección indicada por la desigualdad de Ptolomeo.

La ecuación del teorema de Ptolomeo nunca es cierta con cuadriláteros no cíclicos. La desigualdad de Ptolomeo es una extensión de este hecho y es una forma más general del teorema de Ptolomeo. Establece que, dado un cuadrilátero ABCD , entonces

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

donde la igualdad se cumple si y solo si el cuadrilátero es cíclico . Este caso especial es equivalente al teorema de Ptolomeo.

Teorema relacionado sobre la relación de las diagonales

El teorema de Ptolomeo da el producto de las diagonales (de un cuadrilátero cíclico) conociendo los lados, el siguiente teorema da lo mismo para la relación de las diagonales. ^[13]

${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}}$

Prueba : Se sabe que el área de un triángulo inscrito en un círculo de radio es: ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}}$

Escribiendo el área del cuadrilátero como suma de dos triángulos que comparten el mismo círculo circunscrito, obtenemos dos relaciones para cada descomposición.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{tot}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}+{\frac {CD\cdot DA\cdot AC}{4R}}={\frac {AC\cdot (AB\cdot BC+CD\cdot DA)}{4R}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{tot}}={\frac {AB\cdot BD\cdot DA}{4R}}+{\frac {BC\cdot CD\cdot DB}{4R}}={\frac {BD\cdot (AB\cdot DA+BC\cdot CD)}{4R}}}$

Igualando, obtenemos la fórmula anunciada.

Consecuencia : Conociendo tanto el producto como la razón de las diagonales, deducimos sus expresiones inmediatas:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AC\cdot BD\cdot {\frac {AC}{BD}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}\\[8pt]BD^{2}&={\frac {AC\cdot BD}{\frac {AC}{BD}}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot DA+BC\cdot CD}}\end{aligned}}}$

Véase también

• Teorema de Casey
• Matemáticas griegas

Notas

1. C. Ptolomeo, Almagesto , Libro 1, Capítulo 10.
2. Wilson, Jim. "Teorema de Ptolomeo". Enlace verificado el 8 de abril de 2009.
3. De Revolutionibus Orbium Coelestium: página 37. Véanse las dos últimas líneas de esta página. Copérnico se refiere al teorema de Ptolomeo como "Theorema Secundum".
4. La Proposición 8 del Libro XIII de los Elementos de Euclides prueba mediante triángulos semejantes el mismo resultado: a saber, que la longitud a (el lado del pentágono) divide a la longitud b (que une los vértices alternos del pentágono) en "razón media y extrema".
5. Y de manera análoga la Proposición 9 del Libro XIII de los Elementos de Euclides prueba por triángulos semejantes que la longitud c (el lado del decágono) divide al radio en "razón media y extrema".
6. Un artículo interesante sobre la construcción de un pentágono regular y la determinación de la longitud de los lados se puede encontrar en la siguiente referencia [1]
7. De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: Theorema Primum
8. W. Derrick, J. Herstein (2012) Prueba sin palabras: el teorema de Ptolomeo, The College Mathematics Journal, v.43, n.5, p. 386.
9. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), Pruebas encantadoras: un viaje a las matemáticas elegantes, Dolciani Mathematical Expositions, vol. 42, Mathematical Association of America , pág. 112, ISBN 9780883853481.
10. En De Revolutionibus Orbium Coelestium , Copérnico no menciona el teorema de Pitágoras por su nombre, sino que utiliza el término «porismo», una palabra que en este contexto particular parecería denotar una observación sobre otro teorema existente (o una consecuencia obvia de este). El término «porismo» se puede consultar en las páginas 36 y 37 de DROC (copia electrónica de Harvard)
11. "Seno, coseno y teorema de Ptolomeo".
12. Para entender el Tercer Teorema, compare el diagrama copernicano que se muestra en la página 39 de la copia de Harvard de De Revolutionibus con el de la derivación de sin(AB) que se encuentra en la página web de corte del nudo mencionada anteriormente.
13. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Pruebas encantadoras: un viaje a las matemáticas elegantes . MAA, 2010, ISBN 9780883853481 , págs. 112-113 

Referencias

• Coxeter, HSM y SL Greitzer (1967) "El teorema de Ptolomeo y sus extensiones". §2.6 en Geometry Revisited , Asociación Matemática de América , págs. 42–43.
• Copérnico (1543) De Revolutionibus Orbium Coelestium , traducción al inglés encontrada en On the Shoulders of Giants (2002) editado por Stephen Hawking , Penguin Books ISBN 0-14-101571-3 
• Amarasinghe, GWIS (2013) Una prueba elemental concisa para el teorema de Ptolomeo, Revista global de investigación avanzada en geometrías clásicas y modernas (GJARCMG) 2(1): 20–25 (pdf).

Enlaces externos

• Demostración del teorema de Ptolomeo para el cuadrilátero cíclico
• MathPages – Sobre el teorema de Ptolomeo
• Elert, Glenn (1994). "Tabla de acordes de Ptolomeo". E-World .
• Teorema de Ptolomeo al cortar el nudo
• Prueba de ángulo compuesto en el corte del nudo
• Teorema de Ptolomeo Archivado el 24 de julio de 2011 en Wayback Machine en PlanetMath
• Desigualdad de Ptolomeo en MathWorld
• De Revolutionibus Orbium Coelestium en Harvard.
• Secretos profundos: La Gran Pirámide, la Proporción Áurea y el Codo Real
• Teorema de Ptolomeo por Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project .
• Libro XIII de los Elementos de Euclides
• Una prueba milagrosa (teorema de Ptolomeo) de Zvezdelina Stankova, en Numberphile.