Circuncírculo

Circulo que pasa por los vértices de un triangulo

En geometría , el círculo circunscrito o circunferencia circunscrita de un triángulo es un círculo que pasa por los tres vértices . El centro de este círculo se llama circuncentro del triángulo y su radio se llama circunradio . El circuncentro es el punto de intersección entre las tres mediatrices de los lados del triángulo y es un centro de triángulo .

De manera más general, un polígono de n lados con todos sus vértices en el mismo círculo, también llamado círculo circunscrito, se llama polígono cíclico o, en el caso especial n = 4 , cuadrilátero cíclico . Todos los rectángulos , trapecios isósceles , cometas rectángulos y polígonos regulares son cíclicos, pero no todos los polígonos lo son.

Construcción con regla y compás

Construcción de la circunferencia circunscrita del triángulo △ ABC y del circuncentro Q

El circuncentro de un triángulo se puede construir trazando dos de las tres mediatrices perpendiculares . Para tres puntos no colineales, estas dos líneas no pueden ser paralelas, y el circuncentro es el punto donde se cruzan. Cualquier punto de la bisectriz es equidistante de los dos puntos que biseca, de lo que se deduce que este punto, en ambas bisectrices, es equidistante de los tres vértices del triángulo. El circunradio es la distancia desde él hasta cualquiera de los tres vértices.

Construcción alternativa

Construcción alternativa del circuncentro (intersección de líneas discontinuas)

Un método alternativo para determinar el circuncentro es trazar dos líneas cualesquiera que partan de uno de los vértices y formen un ángulo con el lado común, siendo el ángulo común de partida 90° menos el ángulo del vértice opuesto. (En el caso de que el ángulo opuesto sea obtuso, trazar una línea con un ángulo negativo significa salir del triángulo).

En la navegación costera , el círculo circunscrito de un triángulo se utiliza a veces como forma de obtener una línea de posición mediante un sextante cuando no se dispone de una brújula . El ángulo horizontal entre dos puntos de referencia define el círculo circunscrito sobre el que se encuentra el observador.

Ecuaciones de la circunferencia circunscrita

Coordenadas cartesianas

En el plano euclidiano , es posible dar explícitamente una ecuación del círculo circunscrito en función de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo inscrito. Supóngase que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}$

son las coordenadas de los puntos A, B, C. La circunferencia circunscrita es entonces el lugar geométrico de los puntos en el plano cartesiano que satisfacen las ecuaciones ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$

garantizando que los puntos A , B , C , v están todos a la misma distancia r del centro común del círculo. Utilizando la identidad de polarización , estas ecuaciones se reducen a la condición de que la matriz ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$

tiene un núcleo distinto de cero . Por lo tanto, el círculo circunscrito puede describirse alternativamente como el lugar geométrico de los ceros del determinante de esta matriz:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$

Usando la expansión de cofactores , sea

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

entonces tenemos donde y – asumiendo que los tres puntos no estaban en una línea (de lo contrario el circuncírculo es esa línea que también puede verse como un círculo generalizado con S en el infinito) – dando el circuncentro y el circunradio. Un enfoque similar permite deducir la ecuación de la circunsfera de un tetraedro . ${\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.}$

Ecuación paramétrica

Un vector unitario perpendicular al plano que contiene el círculo está dado por

${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$

Por lo tanto, dado el radio, r , el centro, P _c , un punto en el círculo, P ₀ y una normal unitaria del plano que contiene al círculo, ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {n}},}$ una ecuación paramétrica del círculo que comienza en el punto P ₀ y procede en un sentido orientado positivamente (es decir, hacia la derecha ) sobre ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {n}}}$ es la siguiente:

${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$

Coordenadas trilineales y baricéntricas

Una ecuación para el círculo circunscrito en coordenadas trilineales x  : y  : z es ^[1] Una ecuación para el círculo circunscrito en coordenadas baricéntricas x  : y  : z es ${\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}$

La conjugada isogonal del círculo circunscrito es la recta en el infinito, dada en coordenadas trilineales por y en coordenadas baricéntricas por ${\displaystyle ax+by+cz=0}$ ${\displaystyle x+y+z=0.}$

Dimensiones superiores

Además, la circunferencia circunscrita de un triángulo incrustado en tres dimensiones se puede hallar utilizando un método generalizado. Sean A , B , C puntos tridimensionales que forman los vértices de un triángulo. Empezamos por transponer el sistema para colocar a C en el origen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

El radio circunscrito r es entonces

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$

donde θ es el ángulo interior entre a y b . El circuncentro, p ₀ , viene dado por

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$

Esta fórmula solo funciona en tres dimensiones ya que el producto vectorial no está definido en otras dimensiones, pero se puede generalizar a las otras dimensiones reemplazando los productos vectoriales con las siguientes identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}$

Esto nos da la siguiente ecuación para el radio circunscrito r :

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}}$

y la siguiente ecuación para el circuncentro p ₀ :

${\displaystyle p_{0}={\frac {((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} -((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

Lo cual se puede simplificar así:

${\displaystyle p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )}{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C} }$

Coordenadas del circuncentro

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas del circuncentro son ${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$

Sin pérdida de generalidad, esto se puede expresar de forma simplificada después de trasladar el vértice A al origen de los sistemas de coordenadas cartesianas, es decir, cuando En este caso, las coordenadas de los vértices y representan los vectores desde el vértice A' hasta estos vértices. Obsérvese que esta traducción trivial es posible para todos los triángulos y el circuncentro del triángulo △ A'B'C' se deduce como ${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}$ ${\displaystyle B'=B-A}$ ${\displaystyle C'=C-A}$ ${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

Debido a la traslación del vértice A al origen, el circunradio r se puede calcular como

${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$

y el circuncentro real de △ ABC se deduce como

${\displaystyle U=U'+A}$

Coordenadas trilineales

El circuncentro tiene coordenadas trilineales ^[2]

${\displaystyle \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma }$

donde α, β, γ son los ángulos del triángulo.

En términos de las longitudes de los lados a, b, c , los trilineales son ^[3]

${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$

Coordenadas baricéntricas

El circuncentro tiene coordenadas baricéntricas ^[4]

${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$

donde a, b, c son las longitudes de los bordes BC , CA , AB respectivamente) del triángulo.

En términos de los ángulos del triángulo α, β, γ , las coordenadas baricéntricas del circuncentro son ^[3]

${\displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}$

Vector circuncentro

Dado que las coordenadas cartesianas de cualquier punto son un promedio ponderado de las de los vértices, siendo los pesos las coordenadas baricéntricas del punto normalizadas para sumar la unidad, el vector circuncentro se puede escribir como

${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$

Aquí U es el vector del circuncentro y A, B, C son los vectores de los vértices. El divisor aquí es igual a 16 S ² donde S es el área del triángulo. Como se dijo anteriormente

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

Coordenadas cartesianas a partir de productos punto y cruz

En el espacio euclidiano , existe un único círculo que pasa por tres puntos no colineales P ₁ , P ₂ , P ₃ . Si se utilizan coordenadas cartesianas para representar estos puntos como vectores espaciales , es posible utilizar el producto escalar y el producto vectorial para calcular el radio y el centro del círculo. Sea

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$

Entonces el radio del círculo está dado por

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$

El centro del círculo viene dado por la combinación lineal

${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$

Ubicación relativa al triángulo

La posición del circuncentro depende del tipo de triángulo:

• Para un triángulo agudo (todos los ángulos son menores que un ángulo recto), el circuncentro siempre se encuentra dentro del triángulo.
• En un triángulo rectángulo, el circuncentro siempre se encuentra en el punto medio de la hipotenusa . Esta es una forma del teorema de Tales .
• En un triángulo obtuso (un triángulo con un ángulo mayor que un ángulo recto), el circuncentro siempre se encuentra fuera del triángulo.

Estas características de ubicación se pueden ver considerando las coordenadas trilineales o baricéntricas dadas anteriormente para el circuncentro: las tres coordenadas son positivas para cualquier punto interior, al menos una coordenada es negativa para cualquier punto exterior y una coordenada es cero y dos son positivas para un punto que no es un vértice en un lado del triángulo.

Anglos

Los ángulos que forma el círculo circunscrito con los lados del triángulo coinciden con los ángulos en los que los lados se cortan entre sí. El lado opuesto al ángulo α corta al círculo dos veces: una vez en cada extremo; en cada caso en un ángulo α (lo mismo ocurre con los otros dos ángulos). Esto se debe al teorema del segmento alterno , que establece que el ángulo entre la tangente y la cuerda es igual al ángulo en el segmento alterno.

Centros del triángulo en el círculo circunscrito

En esta sección, los ángulos del vértice están etiquetados como A, B, C y todas las coordenadas son coordenadas trilineales :

• Punto de Steiner : punto de intersección no vértice del círculo circunscrito con la elipse de Steiner.

${\displaystyle {\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}}$

(La elipse de Steiner , con centro = centroide ( ABC ), es la elipse de menor área que pasa por A, B, C . Una ecuación para esta elipse es .) ${\displaystyle {\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0}$

• Punto Tarry : antípoda del punto Steiner

${\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )}$

• Foco de la parábola de Kiepert :

${\displaystyle \csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).}$

Otras propiedades

El diámetro del círculo circunscrito, llamado circundiámetro e igual al doble del radio circunscrito , se puede calcular como la longitud de cualquier lado del triángulo dividido por el seno del ángulo opuesto :

${\displaystyle {\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$

Como consecuencia de la ley de los senos , no importa qué lado y ángulo opuesto se tomen: el resultado será el mismo.

El diámetro del círculo circunscrito también se puede expresar como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}$

donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo y es el semiperímetro. La expresión anterior es el área del triángulo, según la fórmula de Heron . ^[5] Las expresiones trigonométricas para el diámetro del círculo circunscrito incluyen ^[6] ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

${\displaystyle {\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}$

El círculo de nueve puntas del triángulo tiene la mitad del diámetro del círculo circunscrito.

En cualquier triángulo dado, el circuncentro es siempre colineal con el baricentro y el ortocentro . La línea que pasa por todos ellos se conoce como línea de Euler .

El conjugado isogonal del circuncentro es el ortocentro .

El círculo delimitador mínimo útil de tres puntos se define ya sea por el círculo circunscrito (donde tres puntos están en el círculo delimitador mínimo) o por los dos puntos del lado más largo del triángulo (donde los dos puntos definen un diámetro del círculo). Es común confundir el círculo delimitador mínimo con el círculo circunscrito.

El círculo circunscrito de tres puntos colineales es la línea en la que se encuentran los tres puntos, a menudo denominado círculo de radio infinito . Los puntos casi colineales suelen provocar inestabilidad numérica en el cálculo del círculo circunscrito.

Los círculos circunscritos de triángulos tienen una relación íntima con la triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos.

Por el teorema de Euler en geometría , la distancia entre el circuncentro O y el incentro I es

${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},}$

donde r es el radio del círculo inscrito y R es el radio del círculo circunscrito; por lo tanto, el radio circunscrito es al menos el doble del radio inscrito ( desigualdad del triángulo de Euler ), con igualdad solo en el caso equilátero . ^{[7] [8]}

La distancia entre O y el ortocentro H es ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}$

Para el centroide G y el centro de nueve puntos N tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}}$

El producto del radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito de un triángulo con lados a, b, c es ^[11]

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

Con radio circunscrito R , lados a, b, c y medianas m _a , m _b , m _c , tenemos ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}$

Si la mediana m , la altitud h y la bisectriz interna t emanan todas del mismo vértice de un triángulo con radio circunscrito R , entonces ^[13]

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

El teorema de Carnot establece que la suma de las distancias desde el circuncentro a los tres lados es igual a la suma del circunradio y el inradio . ^[14] Aquí, la longitud de un segmento se considera negativa si y solo si el segmento se encuentra completamente fuera del triángulo.

Si un triángulo tiene dos círculos particulares como circunferencia circunscrita e inscrita , existe un número infinito de otros triángulos con la misma circunferencia circunscrita e inscrita, con cualquier punto de la circunferencia circunscrita como vértice. (Este es el caso n = 3 del porismo de Poncelet ). Una condición necesaria y suficiente para que existan tales triángulos es la igualdad anterior ^[15] ${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

Polígonos cíclicos

Cuadriláteros cíclicos

Un conjunto de puntos que se encuentran en un mismo círculo se denomina concíclico y un polígono cuyos vértices son concíclicos se denomina polígono cíclico . Todo triángulo es concíclico, pero los polígonos con más de tres lados no lo son en general.

Los polígonos cíclicos, especialmente los cuadriláteros cíclicos de cuatro lados , tienen varias propiedades especiales. En particular, los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son ángulos suplementarios (suman 180° o π radianes).

Véase también

• Circuncentro de masa
• Esfera circunscrita
• Triángulo circumceviano
• Círculo inscrito
• Teorema de Kosnita
• Teorema de Lester
• Problema de Apolonio

Referencias

1. Whitworth, William Allen (1866). Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica moderna de dos dimensiones. Deighton, Bell, and Co. pág. 199.
2. Whitworth (1866), pág. 19.
3. Kimberling, Clark. "Parte I: Introducción y centros X(1) – X(1000)". Enciclopedia de centros de triángulos .El circuncentro aparece en X(3).
4. Weisstein, Eric W. "Coordenadas baricéntricas". MathWorld .
5. Coxeter, HSM (1969). "Capítulo 1". Introducción a la geometría . Wiley. págs. 12-13. ISBN 0-471-50458-0.
6. Dörrie, Heinrich (1965). 100 Grandes problemas de matemáticas elementales . Dover. pág. 379.
7. Nelson, Roger, "La desigualdad del triángulo de Euler mediante prueba sin palabras", Mathematics Magazine 81(1), febrero de 2008, 58-61.
8. Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). "Versiones no euclidianas de algunas desigualdades triangulares clásicas". Forum Geometricorum . 12 : 197–209.Véase en particular la pág. 198.
9. Gras, Marie-Nicole (2014). "Distancias entre el circuncentro del triángulo extouch y los centros clásicos". Forum Geometricorum . 14 : 51–61.
10. Smith, GC; Leversha, Gerry (noviembre de 2007). "Euler y geometría de triángulos". The Mathematical Gazette . 91 (522): 436–452. doi :10.1017/S0025557200182087. JSTOR  40378417. S2CID  125341434.Véase en particular la pág. 449.
11. Johnson, Roger A. (1929). Geometría moderna: Un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo . Houghton Mifflin Co. pág. 189, #298(d). hdl :2027/wu.89043163211.Republicado por Dover Publications como Advanced Euclidean Geometry , 1960 y 2007.
12. Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2012). Los secretos de los triángulos . Prometheus Books. págs. 289-290.
13. Altshiller Court, Nathan (1952). Geometría universitaria: Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2.ª ed.). Barnes & Noble. pág. 122, n.° 96.Reimpreso por Dover Publications, 2007.
14. Tribunal de Altshiller (1952), pág. 83.
15. Johnson (1929), pág. 188.

Enlaces externos

• Derivación de la fórmula para el radio del círculo circunscrito de un triángulo en Mathalino.com
• Ángulos-gonos y lado-gonos semirregulares: generalizaciones respectivas de rectángulos y rombos en Dynamic Geometry Sketches, boceto de geometría dinámica interactivo.
• Weisstein, Eric W. "Círculo circunscrito", "Polígono cíclico". MathWorld .
• Triángulo circunscrito y circuncentro Con animación interactiva
• Una aplicación Java interactiva para el circuncentro