En geometría , un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados tienen la misma longitud. En la conocida geometría euclidiana , un triángulo equilátero también es equiangular ; es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí y miden 60° cada uno. También es un polígono regular , por lo que también se lo conoce como triángulo regular .
Propiedades principales
Denotando la longitud común de los lados del triángulo equilátero como , podemos determinar utilizando el teorema de Pitágoras que:
Denotando el radio del círculo circunscrito como R , podemos determinar mediante trigonometría que:
El área del triángulo es
Muchas de estas cantidades tienen relaciones simples con la altitud ("h") de cada vértice desde el lado opuesto:
El área es
La altura del centro desde cada lado, o apotema , es
El radio del círculo que circunscribe los tres vértices es
El radio del círculo inscrito es
En un triángulo equilátero, las alturas, las bisectrices de los ángulos, las bisectrices perpendiculares y las medianas de cada lado coinciden.
Caracterizaciones
Un triángulo que tiene los lados , , , semiperímetro , área , exradios , , (tangente a , , respectivamente), y donde y son los radios del círculo circunscrito y del círculo inscrito respectivamente, es equilátero si y solo si cualquiera de las afirmaciones de las siguientes nueve categorías es verdadera. Por lo tanto, estas son propiedades que son exclusivas de los triángulos equiláteros, y saber que cualquiera de ellas es verdadera implica directamente que tenemos un triángulo equilátero.
Todo centro de un triángulo equilátero coincide con su baricentro , lo que implica que el triángulo equilátero es el único triángulo que no tiene una línea de Euler que conecte algunos de los centros. Para algunos pares de centros de triángulos, el hecho de que coincidan es suficiente para asegurar que el triángulo es equilátero. En particular:
También es equilátero si su circuncentro coincide con el punto Nagel , o si su incentro coincide con su centro de nueve puntos . [6]
Seis triángulos formados por partición por las medianas
Para cualquier triángulo, las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños.
Un triángulo es equilátero si y sólo si tres de los triángulos más pequeños tienen el mismo perímetro o el mismo radio interior. [9] : Teorema 1
Un triángulo es equilátero si y sólo si los circuncentros de cualesquiera tres de los triángulos más pequeños tienen la misma distancia del centroide. [9] : Corolario 7
Puntos en el plano
Un triángulo es equilátero si y sólo si, para cada punto del plano, con distancias , , y a los lados del triángulo y distancias , , y a sus vértices, [10] : p.178, #235.4
El teorema de Napoleón establece que, si se construyen triángulos equiláteros en los lados de cualquier triángulo, ya sea todos hacia afuera o todos hacia adentro, los centros de esos triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.
Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos aquellos con un perímetro dado es equilátero. [11]
El teorema de Viviani establece que, para cualquier punto interior de un triángulo equilátero con distancias , , y desde los lados y la altitud , independientemente de la ubicación de . [12]
El teorema de Pompeiu establece que, si es un punto arbitrario en el plano de un triángulo equilátero pero no en su circunferencia circunscrita , entonces existe un triángulo con lados de longitudes , , y . Es decir, , , y satisfacen la desigualdad triangular de que la suma de dos cualesquiera de ellos es mayor que el tercero. Si está en la circunferencia circunscrita entonces la suma de los dos más pequeños es igual al más largo y el triángulo ha degenerado en una línea, este caso se conoce como teorema de Van Schooten .
Construcción geométrica
Un triángulo equilátero se construye fácilmente utilizando una regla y un compás , porque 3 es un primo de Fermat . Dibuje una línea recta y coloque la punta del compás en un extremo de la línea y trace un arco desde ese punto hasta el otro punto del segmento de línea. Repita con el otro lado de la línea. Finalmente, conecte el punto donde se cruzan los dos arcos con cada extremo del segmento de línea.
Un método alternativo es dibujar un círculo con un radio de , colocar la punta del compás sobre el círculo y dibujar otro círculo con el mismo radio. Los dos círculos se intersectarán en dos puntos. Se puede construir un triángulo equilátero tomando los dos centros de los círculos y cualquiera de los puntos de intersección.
En ambos métodos un subproducto es la formación de vesica piscis .
La prueba de que la figura resultante es un triángulo equilátero es la primera proposición del Libro I de los Elementos de Euclides .
Derivación de la fórmula del área
La fórmula del área en términos de la longitud del lado se puede derivar directamente usando el teorema de Pitágoras o usando trigonometría.
Utilizando el teorema de Pitágoras
El área de un triángulo es la mitad de un lado por la altura de ese lado:
Los catetos de cada triángulo rectángulo formado por la altura del triángulo equilátero son la mitad de la base y la hipotenusa es el lado del triángulo equilátero. La altura de un triángulo equilátero se puede encontrar utilizando el teorema de Pitágoras,
de modo que
Sustituyendo en la fórmula del área se obtiene la fórmula del área del triángulo equilátero:
Usando trigonometría
Usando trigonometría , el área de un triángulo con dos lados cualesquiera y un ángulo entre ellos es
Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°, por lo que
El seno de 60° es . Por lo tanto,
dado que todos los lados de un triángulo equilátero son iguales.
Otras propiedades
Un triángulo equilátero es el triángulo más simétrico, que tiene 3 líneas de reflexión y simetría rotacional de orden 3 alrededor de su centro, cuyo grupo de simetría es el grupo diedro de orden 6 , . El triángulo equilátero de lados enteros es el único triángulo con lados enteros , y tres ángulos racionales medidos en grados. [13] Es el único triángulo acutángulo que es similar a su triángulo órtico (con vértices en los pies de las alturas ), [14] : p. 19 y el único triángulo cuya inelipse de Steiner es un círculo (específicamente, el incírculo). El triángulo de área más grande de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero, y el triángulo de área más pequeña de todos los circunscritos alrededor de un círculo dado también es equilátero. [15] Es el único polígono regular aparte del cuadrado que se puede inscribir dentro de cualquier otro polígono regular.
Por la desigualdad de Euler , el triángulo equilátero tiene la menor relación entre el radio circunscrito y el radio interno de cualquier triángulo, con [16] : p.198
Dado un punto en el interior de un triángulo equilátero, la razón entre la suma de sus distancias a los vértices y la suma de sus distancias a los lados es mayor o igual a 2, siendo la igualdad válida cuando es el baricentro. En ningún otro triángulo hay un punto para el cual esta razón sea tan pequeña como 2. [17] Esta es la desigualdad de Erdős-Mordell ; una variante más fuerte de ella es la desigualdad de Barrow , que reemplaza las distancias perpendiculares a los lados por las distancias desde a los puntos donde las bisectrices de los ángulos de , , y cruzan los lados ( siendo , , y los vértices). Existen muchas otras desigualdades triangulares que se cumplen con igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.
Para cualquier punto del plano, con distancias , , y desde los vértices , , y respectivamente, [18]
Para cualquier punto del plano, con distancias , , y desde los vértices, [19]
donde es el radio circunscrito y es la distancia entre el punto y el centroide del triángulo equilátero.
Para cualquier punto del círculo inscrito de un triángulo equilátero, con distancias , , y desde los vértices, [20]
Para cualquier punto del arco menor del círculo circunscrito, con distancias , , y desde , , y , respectivamente [12]
Además, si el punto del lado se divide en segmentos y con longitud y con longitud , entonces [12] : 172
que también es igual a si y
que es la ecuación óptica .
Para un triángulo equilátero:
La relación entre su área y el área del círculo inscrito, , es la mayor de cualquier triángulo. [21] : Teorema 4.1
La relación entre su área y el cuadrado de su perímetro es mayor que la de cualquier triángulo no equilátero. [11]
Si un segmento divide un triángulo equilátero en dos regiones con perímetros iguales y con áreas y , entonces [10] : p.151, #J26
Si se coloca un triángulo en el plano complejo con vértices complejos , , y , entonces, para cualquier raíz cúbica no real de 1, el triángulo es equilátero si y solo si [22] : Lema 2
En tres dimensiones, los triángulos equiláteros forman caras de poliedros regulares y uniformes . Tres de los cinco sólidos platónicos están compuestos por triángulos equiláteros: el tetraedro , el octaedro y el icosaedro . [24] : p.238 En particular, el tetraedro, que tiene cuatro triángulos equiláteros por caras, puede considerarse el análogo tridimensional del triángulo . Todos los sólidos platónicos pueden inscribir tetraedros, así como estar inscritos dentro de tetraedros. Los triángulos equiláteros también forman antiprismas uniformes , así como antiprismas estrella uniformes en el espacio tridimensional. Para los antiprismas, dos copias paralelas (no reflejadas) de polígonos regulares están conectadas por bandas alternas de triángulos equiláteros. [25] Específicamente para los antiprismas estrella, existen soluciones progradas y retrógradas (cruzadas) que unen polígonos estrella paralelos reflejados y no reflejados . [26] [27] El octaedro platónico es también un antiprisma triangular , que es el primer miembro verdadero de la familia infinita de antiprismas (el tetraedro, como antiprisma digonal, a veces se considera el primero). [24] : p.240
Como generalización, el triángulo equilátero pertenece a la familia infinita de los símplex , con . [28]
En la cultura y la sociedad
Los triángulos equiláteros han aparecido con frecuencia en construcciones hechas por el hombre:
La forma aparece en la arquitectura moderna, como en la sección transversal del Gateway Arch . [29]
^ Bencze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). "Una forma equivalente de desigualdad triangular fundamental y sus aplicaciones" (PDF) . Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics . 10 (1): 1–6 (Artículo n.º 16). ISSN 1443-5756. MR 2491926. S2CID 115305257. Zbl 1163.26316.
^ Dospinescu, G.; Lascu, M.; Pohoata, C.; Letiva, M. (2008). "Una prueba elemental de la desigualdad de Blundon" (PDF) . Revista de desigualdades en matemáticas puras y aplicadas . 9 (4): 1-3 (Número de artículo 100). ISSN 1443-5756. S2CID 123965364. Zbl 1162.51305.
^ Blundon, WJ (1963). "Sobre ciertos polinomios asociados con el triángulo". Revista de matemáticas . 36 (4). Taylor & Francis : 247–248. doi :10.2307/2687913. JSTOR 2687913. S2CID 124726536. Zbl 0116.12902.
^ ab Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009). Cuando menos es más. Visualización de desigualdades básicas. Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 36. Washington, DC: Mathematical Association of America . pp. 71, 155. doi :10.5948/upo9781614442028. ISBN978-0-88385-342-9. SEÑOR 2498836. OCLC 775429168. S2CID 117769827. Zbl 1163.00008.
^ ab Pohoata, Cosmin (2010). "Una nueva prueba de la desigualdad inradio-circunradio de Euler" (PDF) . Gazeta Matematica Seria B (3): 121–123. S2CID 124244932.
^ abc Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Números complejos de la A a la... Z (1.ª ed.). Boston, MA: Birkhäuser . pp. 70, 113–115. doi :10.1007/0-8176-4449-0. ISBN978-0-8176-4449-9. OCLC 871539199. S2CID 118951675.
^ Yiu, Paul (1998). "Notas sobre geometría euclidiana" (PDF) . Florida Atlantic University, Departamento de Ciencias Matemáticas (Apuntes del curso).
^ ab Cerin, Zvonko (2004). "Los triángulos vértice-punto medio-centroide" (PDF) . Forum Geometricorum . 4 : 97–109.
^ ab "Desigualdades propuestas en" Crux Mathematicorum"" (PDF) .
^ ab Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos, 1979: 147.
^ abc Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Problemas desafiantes en geometría . Dover Publ.
^ Conway, JH, y Guy, RK, "El único triángulo racional", en El libro de los números , 1996, Springer-Verlag, págs. 201 y 228–239.
^ Leon Bankoff y Jack Garfunkel, "El triángulo heptagonal", Mathematics Magazine 46 (1), enero de 1973, 7–19,
^ Dörrie, Heinrich (1965). 100 grandes problemas de matemáticas elementales . Dover Publ. págs. 379–380.
^ Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). "Versiones no euclidianas de algunas desigualdades clásicas de triángulos" (PDF) . Forum Geometricorum . 12 : 197–209.
^ Lee, Hojoo (2001). "Otra prueba del teorema de Erdős-Mordell" (PDF) . Forum Geometricorum . 1 : 7–8.
^ Gardner, Martin, "Triángulos elegantes", en el libro Mathematical Circus , 1979, pág. 65.
^ Meskhishvili, Mamuka (2021). "Promedios cíclicos de distancias poligonales regulares" (PDF) . Revista Internacional de Geometría . 10 : 58–65.
^ De, Prithwijit (2008). "Propiedades curiosas del círculo circunscrito y del círculo inscrito de un triángulo equilátero" (PDF) . Espectro matemático . 41 (1): 32–35.
^ Minda, D.; Phelps, S. (2008). "Triángulos, elipses y polinomios cúbicos". American Mathematical Monthly . 115 (octubre): 679–689. doi :10.1080/00029890.2008.11920581. JSTOR 27642581. S2CID 15049234.
^ Dao, Thanh Oai (2015). "Triángulos equiláteros y perspectores de Kiepert en números complejos" (PDF) . Forum Geometricorum . 15 : 105–114.
^ Grünbaum, Branko ; Shepard, Geoffrey (noviembre de 1977). "Teselas mediante polígonos regulares" (PDF) . Mathematics Magazine . 50 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 231–234. doi :10.2307/2689529. JSTOR 2689529. MR 1567647. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006.
^ Cromwell, Peter T. (1997). "Capítulo 2: Los sólidos de Arquímedes" . Polihedra (1.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. pág. 85. ISBN978-0521664059. SEÑOR 1458063. OCLC 41212721. Zbl 0888.52012.
^ Klitzing, Richard. "N-antiprisma con número de vueltas d". Politopos y sus matrices de incidencia . bendwavy.org (Anton Sherwood) . Consultado el 9 de marzo de 2023 .
^ Webb, Robert. "Glosario poliédrico de Stella". Stella . Consultado el 9 de marzo de 2023 .
^ Pelkonen, Eeva-Liisa; Albrecht, Donald, eds. (2006). Eero Saarinen: dando forma al futuro. Prensa de la Universidad de Yale. págs.160, 224, 226. ISBN978-0972488129.
^ White, Steven F.; Calderón, Esthela (2008). Cultura y costumbres de Nicaragua . Greenwood Press. pág. 3. ISBN978-0313339943.
^ Guillermo, Artemio R. (2012). Diccionario histórico de Filipinas. Scarecrow Press. pág. 161. ISBN978-0810872462.
^ Riley, Michael W.; Cochran, David J.; Ballard, John L. (diciembre de 1982). "Una investigación de las formas preferidas para las etiquetas de advertencia". Factores humanos: Revista de la Sociedad de factores humanos y ergonomía . 24 (6): 737–742. doi :10.1177/001872088202400610. S2CID 109362577.