Ángulo

dos líneas dobladas en un punto — Un ángulo verde formado por dos rayos rojos en el sistema de coordenadas cartesianas.

En geometría euclidiana , un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. ^[1] Los ángulos formados por dos rayos también se conocen como ángulos planos , ya que se encuentran en el plano que contiene los rayos. Los ángulos también se forman por la intersección de dos planos; estos se llaman ángulos diedros . Dos curvas que se cruzan también pueden definir un ángulo, que es el ángulo de los rayos que se encuentran tangentes a las respectivas curvas en su punto de intersección.

La magnitud de un ángulo se denomina medida angular o simplemente "ángulo". El ángulo de rotación es una medida definida convencionalmente como la relación entre la longitud de un arco circular y su radio , y puede ser un número negativo . En el caso de un ángulo geométrico, el arco está centrado en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación , el arco está centrado en el centro de la rotación y delimitado por cualquier otro punto y su imagen por la rotación.

Historia y etimología

La palabra ángulo proviene del latín angulus , que significa "esquina". Otras palabras relacionadas son el griego ἀγκύλος ( ankylοs ), que significa "torcido, curvado", y la palabra inglesa " tobillo ". Ambas están relacionadas con la raíz protoindoeuropea *ank- , que significa "doblar" o "arquearse". ^[2]

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas una con respecto a la otra. Según el metafísico neoplatónico Proclo , un ángulo debe ser una cualidad, una cantidad o una relación. El primer concepto, ángulo como cualidad, fue utilizado por Eudemo de Rodas , quien consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta ; el segundo, ángulo como cantidad, por Carpo de Antioquía , quien lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercero: ángulo como relación. ^[3]

Identificando ángulos

En expresiones matemáticas , es común usar letras griegas ( α , β , γ , θ , φ , . . . ) como variables que denotan el tamaño de algún ángulo ^[4] (el símbolo $π$ no se usa típicamente para este propósito para evitar confusiones con la constante denotada por ese símbolo ). También se usan letras romanas minúsculas ( a , b , c , . . . ). En contextos donde esto no es confuso, un ángulo puede denotarse con la letra romana mayúscula que denota su vértice. Vea las figuras en este artículo para ver ejemplos.

Los tres puntos de definición también pueden identificar ángulos en figuras geométricas. Por ejemplo, el ángulo con vértice A formado por los rayos AB y AC (es decir, las semirrectas que van del punto A a través de los puntos B y C) se denota $∠BAC$ o . Cuando no hay riesgo de confusión, a veces se puede hacer referencia al ángulo por un solo vértice (en este caso, "ángulo A"). ${\widehat {\rm {BAC}}}$

En otras formas, un ángulo denotado como, por ejemplo, $∠BAC$ podría referirse a cualquiera de cuatro ángulos: el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de B a C alrededor de A, el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj de B a C alrededor de A, el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de C a B alrededor de A, o el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj de C a B alrededor de A, donde la dirección en la que se mide el ángulo determina su signo (véase § Ángulos con signo ). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas, es evidente a partir del contexto que se hace referencia al ángulo positivo menor o igual a 180 grados, y en estos casos, no surge ninguna ambigüedad. De lo contrario, para evitar la ambigüedad, se pueden adoptar convenciones específicas de modo que, por ejemplo, $∠BAC$ siempre se refiera al ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj (positivo) de B a C alrededor de A y $∠CAB$ al ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj (positivo) de C a B alrededor de A.

Tipos

Angulos individuales

Existe una terminología común para los ángulos, cuya medida siempre es no negativa (ver § Ángulos con signo ):

Un ángulo igual a 0° o no girado se llama ángulo cero . ^[5]
Un ángulo más pequeño que un ángulo recto (menor de 90°) se llama ángulo agudo ^[6] ("agudo" significa " agudo ").
Un ángulo igual a ⁠1/4⁠ girar (90° o ⁠ $π$ /2⁠ radianes ) se llama ángulo recto . Dos líneas que forman un ángulo recto se dicen normales , ortogonales o perpendiculares . [ ^7]
Un ángulo mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano (entre 90° y 180°) se denomina ángulo obtuso ^[6] ("obtuso" significa "romo").
Un ángulo igual a ⁠1/2Un giro (180° o $π$ radianes) se denomina ángulo recto . ^[5]
Un ángulo mayor que un ángulo recto pero menor que una vuelta (entre 180° y 360°) se llama ángulo reflejo .
Un ángulo igual a 1 vuelta (360° o 2 $π$ radianes) se llama ángulo completo , ángulo entero , ángulo redondo o perigono .
Un ángulo que no es múltiplo de un ángulo recto se llama ángulo oblicuo .

Los nombres, intervalos y unidades de medida se muestran en la siguiente tabla:

Vertical y.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}adyacentepares de ángulos

Cuando dos líneas rectas se cortan en un punto, se forman cuatro ángulos. Estos ángulos se nombran de dos en dos según su posición relativa.

Un par de ángulos opuestos entre sí, formados por dos líneas rectas que se cruzan y forman una figura similar a una "X", se denominan ángulos verticales o ángulos opuestos o ángulos verticalmente opuestos . Se abrevian como vert. opp. ∠s . ^[8]
La igualdad de ángulos opuestos verticalmente se llama teorema del ángulo vertical . Eudemo de Rodas atribuyó la prueba a Tales de Mileto . ^[9]^[10] La proposición mostraba que, dado que ambos ángulos verticales de un par son suplementarios a ambos ángulos adyacentes, los ángulos verticales son iguales en medida. Según una nota histórica, ^[10] cuando Tales visitó Egipto, observó que siempre que los egipcios dibujaban dos líneas que se intersectaban, medían los ángulos verticales para asegurarse de que fueran iguales. Tales concluyó que se podía demostrar que todos los ángulos verticales son iguales si se aceptaban algunas nociones generales como:
- Todos los ángulos rectos son iguales.
- Lo igual sumado a lo igual es igual.
- Lo igual menos lo igual es igual.
Cuando dos ángulos adyacentes forman una línea recta, son suplementarios. Por lo tanto, si suponemos que la medida del ángulo A es igual a x , la medida del ángulo C sería 180° − x . De manera similar, la medida del ángulo D sería 180° − x . Tanto el ángulo C como el ángulo D tienen medidas iguales a 180° − x y son congruentes. Como el ángulo B es suplementario a ambos ángulos C y D , cualquiera de estas medidas de ángulos puede usarse para determinar la medida del ángulo B . Usando la medida del ángulo C o del ángulo D , encontramos que la medida del ángulo B es 180° − (180° − x ) = 180° − 180° + x = x . Por lo tanto, tanto el ángulo A como el ángulo B tienen medidas iguales a x y son iguales en medida.
Los ángulos A y B son adyacentes.
Los ángulos adyacentes , a menudo abreviados como adj. ∠s , son ángulos que comparten un vértice y una arista comunes, pero no comparten ningún punto interior. En otras palabras, son ángulos uno al lado del otro o adyacentes, que comparten un "brazo". Los ángulos adyacentes que suman un ángulo recto, un ángulo llano o un ángulo completo son especiales y se denominan ángulos complementarios , suplementarios y explementarios , respectivamente (consulte el § Combinación de pares de ángulos a continuación).

Una transversal es una línea que interseca un par de líneas (a menudo paralelas) y está asociada con ángulos externos , ángulos internos , ángulos externos alternos , ángulos internos alternos , ángulos correspondientes y ángulos internos consecutivos . ^[11]

Combinando pares de ángulos

El postulado de adición de ángulos establece que si B está en el interior del ángulo AOC, entonces

$m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC}$

Es decir, la medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC.

Tres pares de ángulos especiales implican la suma de ángulos:

Los ángulos complementarios son pares de ángulos cuyas medidas suman un ángulo recto ( ⁠1/4⁠ girar 90°, o ⁠ $π$ /2⁠ radianes). ^[12] Si los dos ángulos complementarios son adyacentes, sus lados no compartidos forman un ángulo recto. En geometría euclidiana, los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados y el ángulo recto suma 90 grados.
El adjetivo complementario proviene del latín complementum , asociado al verbo complere , "llenar". Un ángulo agudo se "llena" con su complemento para formar un ángulo recto.
La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se denomina complemento del ángulo. ^[13]
Si los ángulos A y B son complementarios, se cumplen las siguientes relaciones: ${\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}$
(La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento, y su secante es igual a la cosecante de su complemento.)
El prefijo " co- " en los nombres de algunas razones trigonométricas hace referencia a la palabra "complementario".
Los ángulos a y b son ángulos suplementarios .
Dos ángulos que suman un ángulo recto ( ⁠1/2⁠ giro, 180° o $π$ radianes) se denominan ángulos suplementarios . ^[14]
Si los dos ángulos suplementarios son adyacentes (es decir, tienen un vértice común y comparten solo un lado), sus lados no compartidos forman una línea recta . Tales ángulos se denominan par de ángulos lineales . ^[15] Sin embargo, los ángulos suplementarios no tienen que estar en la misma línea y pueden estar separados en el espacio. Por ejemplo, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios, y los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico (uno cuyos vértices caen todos en un solo círculo) son suplementarios.
Si un punto P es exterior a un círculo con centro O, y si las líneas tangentes desde P tocan el círculo en los puntos T y Q, entonces ∠TPQ y ∠TOQ son suplementarios.
Los senos de los ángulos suplementarios son iguales. Sus cosenos y tangentes (a menos que no estén definidos) son iguales en magnitud pero tienen signos opuestos.
En geometría euclidiana, cualquier suma de dos ángulos de un triángulo es suplementaria al tercero porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es un ángulo recto.
Los ángulos AOB y COD son conjugados ya que forman un ángulo completo. Considerando magnitudes, 45° + 315° = 360°.
Dos ángulos que suman un ángulo completo (1 vuelta, 360° o 2 $π$ radianes) se denominan ángulos exponenciales o ángulos conjugados . ^[16]
La diferencia entre un ángulo y un ángulo completo se denomina exponente del ángulo o conjugado de un ángulo.

Ángulos relacionados con polígonos

Un ángulo que forma parte de un polígono simple se denomina ángulo interior si se encuentra en el interior de ese polígono simple. Un polígono cóncavo simple tiene al menos un ángulo interior, es decir, un ángulo cóncavo.
En geometría euclidiana , las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman $π$ radianes, 180° o ⁠1/2⁠ giro; las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo simple suman 2 $π$ radianes, 360° o 1 giro. En general, las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo simple con n lados suman ( n − 2) $π$ radianes, o ( n − 2)180 grados, ( n − 2)2 ángulos rectos, o ( n − 2) ⁠1/2⁠ girar.
El suplemento de un ángulo interior se llama ángulo exterior ; es decir, un ángulo interior y un ángulo exterior forman un par lineal de ángulos. Hay dos ángulos exteriores en cada vértice del polígono, cada uno determinado por la prolongación de uno de los dos lados del polígono que se encuentran en el vértice; estos dos ángulos son verticales y, por lo tanto, son iguales. Un ángulo exterior mide la cantidad de rotación que uno debe hacer en un vértice para trazar el polígono. ^[17] Si el ángulo interior correspondiente es un ángulo reflejo, el ángulo exterior debe considerarse negativo . Incluso en un polígono no simple, puede ser posible definir el ángulo exterior. Aún así, uno tendrá que elegir una orientación del plano (o superficie ) para decidir el signo de la medida del ángulo exterior.
En geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo simple, si se supone que solo uno de los dos ángulos exteriores está en cada vértice, será una vuelta completa (360°). El ángulo exterior aquí podría llamarse ángulo exterior suplementario . Los ángulos exteriores se utilizan comúnmente en los programas Logo Turtle al dibujar polígonos regulares.
En un triángulo , las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes (se encuentran en un único punto). ^[18]^{: 149}
En un triángulo, tres puntos de intersección, cada uno de una bisectriz de un ángulo externo con el lado extendido opuesto , son colineales . ^[18]^{: 149}
En un triángulo, tres puntos de intersección, dos entre la bisectriz de un ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la bisectriz del otro ángulo exterior y la prolongación del lado opuesto, son colineales. ^[18]^{: 149}
Algunos autores utilizan el nombre de ángulo exterior de un polígono simple para significar el ángulo exterior exponente ( ¡no el suplemento!) del ángulo interior. ^[19] Esto entra en conflicto con el uso anterior.

Ángulos relacionados con el plano

El ángulo entre dos planos (como dos caras adyacentes de un poliedro ) se denomina ángulo diedro . ^[13] Puede definirse como el ángulo agudo entre dos líneas normales a los planos.
El ángulo entre un plano y una línea recta que lo interseca es igual a noventa grados menos el ángulo entre la línea que lo interseca y la línea que pasa por el punto de intersección y es normal al plano.

Medición de ángulos

El tamaño de un ángulo geométrico se caracteriza generalmente por la magnitud de la rotación más pequeña que hace que uno de los rayos se incorpore al otro. Se dice que los ángulos del mismo tamaño son congruentes o iguales en medida .

En algunos contextos, como identificar un punto en un círculo o describir la orientación de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de una vuelta completa son efectivamente equivalentes. En otros contextos, como identificar un punto en una curva espiral o describir la rotación acumulada de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo distinto de cero de una vuelta completa no son equivalentes.

Para medir un ángulo θ , se dibuja un arco circular centrado en el vértice del ángulo, por ejemplo, con un compás . La relación entre la longitud s del arco y el radio r del círculo es el número de radianes del ángulo: ^[20] Convencionalmente, en matemáticas y en el SI , el radián se trata como si fuera igual a la unidad adimensional 1, por lo que normalmente se omite. $\theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} .$

El ángulo expresado por otra unidad angular puede entonces obtenerse multiplicando el ángulo por una constante de conversión adecuada de la formaa/2π $$ ⁠ , donde k es la medida de una vuelta completa expresada en la unidad elegida (por ejemplo, k = 360° para grados o 400 grad para gradianes ):

$\theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.$

El valor de $θ$ así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio, la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación s / r permanece inalterada. ^{[nb 1]}

Unidades

A lo largo de la historia, los ángulos se han medido en varias unidades . Estas se conocen como unidades angulares , siendo las unidades más contemporáneas el grado (°), el radián (rad) y el gradián (grad), aunque se han utilizado muchas otras a lo largo de la historia . ^[22] La mayoría de las unidades de medida angular se definen de forma que una vuelta (es decir, el ángulo subtendido por la circunferencia de un círculo en su centro) es igual a n unidades, para algún número entero n . Dos excepciones son el radián (y sus submúltiplos decimales) y la parte del diámetro.

En el Sistema Internacional de Cantidades , un ángulo se define como una cantidad adimensional y, en particular, la unidad radián es adimensional. Esta convención afecta el modo en que se tratan los ángulos en el análisis dimensional .

La siguiente tabla enumera algunas unidades utilizadas para representar ángulos.

Análisis dimensional

El ángulo plano puede definirse como $θ = s / r$ , donde $θ$ es la magnitud en radianes del ángulo subtendido, $s$ es la longitud del arco circular y $r$ es el radio. Un radián SI corresponde a la magnitud en radianes de un ángulo para el cual $s = r$ , por lo tanto, $1 radián SI = 1 m/m$ = 1. ^[28] Sin embargo, $rad$ solo se debe utilizar para expresar ángulos, no para expresar razones de longitudes en general. ^[29] Un cálculo similar utilizando el área de un sector circular $θ = 2 A / r 2$ da 1 radián SI como 1 m ² /m ² = 1. ^[30] El hecho clave es que el radián SI es una unidad adimensional igual a 1 . En SI 2019, el radián SI se define en consecuencia como 1 rad = 1 . ^[31] Es una práctica establecida desde hace mucho tiempo en matemáticas y en todas las áreas de la ciencia hacer uso de $rad = 1$ . ^[32]^[33]

Giacomo Prando escribe que "la situación actual conduce inevitablemente a apariciones y desapariciones fantasmales del radián en el análisis dimensional de ecuaciones físicas". ^[34] Por ejemplo, un objeto que cuelga de una polea mediante una cuerda se elevará o descenderá en $y = rθ$ centímetros, donde $r$ es la magnitud del radio de la polea en centímetros y $θ$ es la magnitud del ángulo a través del cual gira la polea en radianes. Al multiplicar $r$ por $θ$ , la unidad radián no aparece en el producto, ni tampoco la unidad centímetro, porque ambos factores son magnitudes (números). De manera similar, en la fórmula para la velocidad angular de una rueda que gira, $ω = v / r$ , los radianes aparecen en las unidades de $ω$ pero no en el lado derecho. ^[35] Anthony French llama a este fenómeno "un problema perenne en la enseñanza de la mecánica". ^[36] Oberhofer dice que el consejo típico de ignorar los radianes durante el análisis dimensional y agregar o quitar radianes en las unidades según la convención y el conocimiento contextual es "pedagógicamente insatisfactorio". ^[37]

En 1993, el Comité Métrico de la Asociación Estadounidense de Profesores de Física especificó que el radián debería aparecer explícitamente en cantidades solo cuando se obtendrían valores numéricos diferentes al utilizar otras medidas de ángulos, como en las cantidades de medida de ángulo (rad), velocidad angular (rad/s), aceleración angular (rad/s ² ) y rigidez torsional (N⋅m/rad), y no en las cantidades de torque (N⋅m) y momento angular (kg⋅m ² /s). ^[38]

Al menos una docena de científicos entre 1936 y 2022 han hecho propuestas para tratar el radián como una unidad base de medida para una cantidad base (y dimensión) de "ángulo plano". ^[39]^[40]^[41] La revisión de las propuestas de Quincey describe dos clases de propuestas. La primera opción cambia la unidad de un radio a metros por radián, pero esto es incompatible con el análisis dimensional para el área de un círculo , $π r 2$ . La otra opción es introducir una constante dimensional. Según Quincey, este enfoque es "lógicamente riguroso" en comparación con el SI, pero requiere "la modificación de muchas ecuaciones matemáticas y físicas familiares". ^[42] Una constante dimensional para el ángulo es "bastante extraña" y la dificultad de modificar ecuaciones para agregar la constante dimensional probablemente impida su uso generalizado. ^[41]

En particular, Quincey identifica la propuesta de Torrens de introducir una constante $η$ igual a 1 radián inverso (1 rad ⁻¹ ) de una manera similar a la introducción de la constante ε ₀ . ^[42]^[a] Con este cambio la fórmula para el ángulo subtendido en el centro de un círculo, $s = rθ$ , se modifica para convertirse en $s = ηrθ$ , y la serie de Taylor para el seno de un ángulo $θ$ se convierte en: ^[41]^[43] donde es el ángulo en radianes. La función en mayúsculas $Sin$ es la función "completa" que toma un argumento con una dimensión de ángulo y es independiente de las unidades expresadas, ^[43] mientras que $sin$ es la función tradicional en números puros que asume que su argumento es un número adimensional en radianes. ^[44] El símbolo en mayúsculas se puede denotar si está claro que se refiere a la forma completa. ^[41]^[45] $\operatorname {Sin} \theta =\sin \ x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,$ $x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}$ $\operatorname {Pecado}$ $\pecado$

El SI actual puede considerarse en relación con este marco como un sistema de unidades natural donde se supone que se cumple la ecuación $η = 1 , o de manera similar,$ 1 rad = 1. Esta convención de radianes permite la omisión de $η$ en fórmulas matemáticas. ^[46]

Definir el radián como unidad base puede ser útil para el software, donde la desventaja de ecuaciones más largas es mínima. ^[47] Por ejemplo, la biblioteca de unidades Boost define unidades angulares con una plane_angledimensión, ^[48] y el sistema de unidades de Mathematica considera de manera similar que los ángulos tienen una dimensión angular. ^[49]^[50]

Ángulos con signo

Con frecuencia resulta útil imponer una convención que permita que valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y/o rotaciones en direcciones opuestas o "sentidos" relativos a alguna referencia.

En un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional , un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje x positivo , mientras que el otro lado o lado terminal se define por la medida desde el lado inicial en radianes, grados o giros, con ángulos positivos que representan rotaciones hacia el eje y positivo y ángulos negativos que representan rotaciones hacia el eje y negativo . Cuando las coordenadas cartesianas se representan por la posición estándar , definida por el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido antihorario y los ciclos negativos son en sentido horario .

En muchos contextos, un ángulo de − θ equivale efectivamente a un ángulo de "una vuelta completa menos θ ". Por ejemplo, una orientación representada como −45° equivale efectivamente a una orientación definida como 360° − 45° o 315°. Aunque la posición final es la misma, una rotación física (movimiento) de −45° no es lo mismo que una rotación de 315° (por ejemplo, la rotación de una persona que sostiene una escoba apoyada sobre un suelo polvoriento dejaría rastros visualmente diferentes de las regiones barridas en el suelo).

En geometría tridimensional, "en sentido horario" y "antihorario" no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en términos de una orientación , que normalmente está determinada por un vector normal que pasa por el vértice del ángulo y es perpendicular al plano en el que se encuentran los rayos del ángulo.

En navegación , los rumbos o acimutes se miden en relación con el norte. Por convención, vistos desde arriba, los ángulos de rumbo son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que un rumbo de 45° corresponde a una orientación noreste. Los rumbos negativos no se utilizan en navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315°.

Angulos equivalentes

Los ángulos que tienen la misma medida (es decir, la misma magnitud) se denominan iguales o congruentes . Un ángulo se define por su medida y no depende de las longitudes de los lados del ángulo (por ejemplo, todos los ángulos rectos tienen la misma medida).
Dos ángulos que comparten lados terminales, pero difieren en tamaño por un múltiplo entero de una vuelta, se denominan ángulos coterminales .
El ángulo de referencia (a veces llamado ángulo relacionado ) para cualquier ángulo θ en posición estándar es el ángulo agudo positivo entre el lado terminal de θ y el eje x (positivo o negativo). ^[51]^[52] Procedimentalmente, la magnitud del ángulo de referencia para un ángulo dado puede determinarse tomando la magnitud del ángulo módulo ⁠1/2⁠ girar 180°, o $π$ radianes, deteniéndose si el ángulo es agudo, en caso contrario se toma el ángulo suplementario, 180° menos la magnitud reducida. Por ejemplo, un ángulo de 30 grados ya es un ángulo de referencia, y un ángulo de 150 grados también tiene un ángulo de referencia de 30 grados (180° − 150°). Los ángulos de 210° y 510° corresponden también a un ángulo de referencia de 30 grados (210° mod 180° = 30°, 510° mod 180° = 150° cuyo ángulo suplementario es 30°).

Cantidades relacionadas

En el caso de una unidad angular, es definitorio que se cumple el postulado de la suma de ángulos . Algunas cantidades relacionadas con los ángulos en las que no se cumple el postulado de la suma de ángulos son:

La pendiente o gradiente es igual a la tangente del ángulo; un gradiente se expresa a menudo como un porcentaje. Para valores muy pequeños (menos del 5%), la pendiente de una línea es aproximadamente la medida en radianes de su ángulo con la dirección horizontal.
La distancia entre dos rectas se define en geometría racional como el cuadrado del seno del ángulo que forman las rectas. Como el seno de un ángulo y el seno de su ángulo suplementario son iguales, cualquier ángulo de rotación que proyecte una de las rectas en la otra da como resultado el mismo valor de distancia entre las rectas.
Aunque rara vez se hace, se pueden informar los resultados directos de las funciones trigonométricas , como el seno del ángulo.

Ángulos entre curvas

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo mixto) o entre dos curvas que se intersecan (ángulo curvilíneo) se define como el ángulo entre las tangentes en el punto de intersección. Se han dado varios nombres (ahora rara vez, o nunca, usados) a casos particulares: anficírtico (Gr. ἀμφί , en ambos lados, κυρτός, convexo) o cisoidal (Gr. κισσός, hiedra), biconvexo; xistroidal o sistroidal (Gr. ξυστρίς, una herramienta para raspar), cóncavo-convexo; anficóelico (Gr. κοίλη, un hueco) o angulus lunularis , bicóncavo. ^[53]

Ángulos bisectores y trisectores

Los antiguos matemáticos griegos sabían bisecar un ángulo (dividirlo en dos ángulos de igual medida) utilizando únicamente un compás y una regla, pero sólo podían trisecar ciertos ángulos. En 1837, Pierre Wantzel demostró que esta construcción no podía realizarse para la mayoría de los ángulos.

Producto escalar y generalizaciones

En el espacio euclidiano , el ángulo θ entre dos vectores euclidianos u y v está relacionado con su producto escalar y sus longitudes mediante la fórmula

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$

Esta fórmula proporciona un método sencillo para encontrar el ángulo entre dos planos (o superficies curvas) a partir de sus vectores normales y entre líneas oblicuas a partir de sus ecuaciones vectoriales.

Producto interior

Para definir ángulos en un espacio abstracto de producto interno real , reemplazamos el producto escalar euclidiano ( · ) por el producto interno , es decir $\langle \cdot ,\cdot \rangle$

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right \|.$

En un espacio de producto interno complejo , la expresión para el coseno anterior puede dar valores no reales, por lo que se reemplaza por

$\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\ izquierda\|\mathbf {v} \derecha\|.$

o, más comúnmente, utilizando el valor absoluto, con

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\| \izquierda\|\mathbf {v} \derecha\|.$

La última definición ignora la dirección de los vectores. Por lo tanto, describe el ángulo entre los subespacios unidimensionales y los generados por los vectores y, en consecuencia, $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {v}$

Ángulos entre subespacios

La definición del ángulo entre subespacios unidimensionales y dada por $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|$

En un espacio de Hilbert se puede extender a subespacios de dimensiones finitas. Dados dos subespacios , con , esto conduce a una definición de ángulos llamados ángulos canónicos o principales entre subespacios. ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {W}}$ $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ $k$

Ángulos en la geometría de Riemann

En geometría de Riemann , el tensor métrico se utiliza para definir el ángulo entre dos tangentes . Donde U y V son vectores tangentes y g ij _son los componentes del tensor métrico G.

$\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.$

Angulo hiperbolico

Un ángulo hiperbólico es un argumento de una función hiperbólica , así como el ángulo circular es el argumento de una función circular . La comparación puede visualizarse como el tamaño de las aberturas de un sector hiperbólico y un sector circular , ya que las áreas de estos sectores corresponden a las magnitudes de los ángulos en cada caso. ^[54] A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no tiene límites. Cuando las funciones circulares e hiperbólicas se consideran series infinitas en su argumento angular, las circulares son simplemente formas de series alternadas de las funciones hiperbólicas. Esta comparación de las dos series correspondientes a funciones de ángulos fue descrita por Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito (1748).

Los ángulos en geografía y astronomía

En geografía , la ubicación de cualquier punto de la Tierra se puede identificar mediante un sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica la latitud y la longitud de cualquier ubicación en términos de ángulos subtendidos en el centro de la Tierra, utilizando el ecuador y (generalmente) el meridiano de Greenwich como referencias.

En astronomía , un punto dado en la esfera celeste (es decir, la posición aparente de un objeto astronómico) puede identificarse utilizando cualquiera de varios sistemas de coordenadas astronómicas , donde las referencias varían según el sistema en particular. Los astrónomos miden la separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas a través del centro de la Tierra , cada una de las cuales interseca una de las estrellas. Se puede medir el ángulo entre esas líneas y la separación angular entre las dos estrellas.

Tanto en geografía como en astronomía, una dirección de observación se puede especificar en términos de un ángulo vertical como la altitud / elevación con respecto al horizonte , así como el acimut con respecto al norte .

Los astrónomos también miden el tamaño aparente de los objetos como diámetro angular . Por ejemplo, la luna llena tiene un diámetro angular de aproximadamente 0,5° cuando se la ve desde la Tierra. Se podría decir: "El diámetro de la Luna subtiende un ángulo de medio grado". La fórmula del ángulo pequeño puede convertir dicha medida angular en una relación distancia/tamaño.

Otras aproximaciones astronómicas incluyen:

0,5° es el diámetro aproximado del Sol y de la Luna vistos desde la Tierra.
1° es el ancho aproximado del dedo meñique a la longitud del brazo.
10° es el ancho aproximado de un puño cerrado con el brazo extendido.
20° es el ancho aproximado de un palmo con el brazo extendido.

Estas medidas dependen de cada sujeto y lo anterior debe considerarse únicamente como una aproximación aproximada .

En astronomía, la ascensión recta y la declinación suelen medirse en unidades angulares, expresadas en términos de tiempo, basándose en un día de 24 horas.

Véase también

Notas

^ Este enfoque requiere, sin embargo, una prueba adicional de que la medida del ángulo no cambia con el cambio de radio $r$ , además de la cuestión de las "unidades de medida elegidas". Un enfoque más suave es medir el ángulo por la longitud del arco del círculo unitario correspondiente. Aquí la "unidad" puede elegirse como adimensional en el sentido de que es el número real 1 asociado con el segmento unitario en la línea real. Véase Radoslav M. Dimitrić, por ejemplo. ^[21]

^ Otras propuestas incluyen la abreviatura "rad" (Brinsmade 1936), la notación (Romain 1962) y las constantes ם (Brownstein 1997), ◁ (Lévy-Leblond 1998), k (Foster 2010), θ _C (Quincey 2021) y (Mohr et al. 2022). $\langle \theta \rangle$ ${\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}$

Referencias

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Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público : Chisholm, Hugh , ed. (1911), "Angle", Encyclopædia Britannica , vol. 2 (11.ª ed.), Cambridge University Press, pág. 14

Enlaces externos

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"Angle" , Encyclopædia Britannica , vol. 2 (novena edición), 1878, págs. 29-30