Cicloide

Curva trazada por un punto en un círculo rodante.

Una cicloide generada por un círculo rodante.

En geometría , una cicloide es la curva que traza un punto de un círculo mientras rueda a lo largo de una línea recta sin deslizarse. Una cicloide es una forma específica de trocoide y es un ejemplo de ruleta , una curva generada por una curva que rueda sobre otra curva.

La cicloide, con las cúspides apuntando hacia arriba, es la curva de descenso más rápido bajo gravedad uniforme (la curva braquistócrona ). También es la forma de una curva en la que el período de un objeto en movimiento armónico simple (girando hacia arriba y hacia abajo repetitivamente) a lo largo de la curva no depende de la posición inicial del objeto (la curva tautocrona ). En física, cuando una partícula cargada en reposo se somete a un campo eléctrico y magnético uniforme perpendicular entre sí, la trayectoria de la partícula dibuja una cicloide.

Historia

Fue en el pote de prueba izquierdo del Pequod, mientras la esteatita daba vueltas diligentemente a mi alrededor, donde me llamó la atención indirectamente por primera vez el hecho notable de que en geometría todos los cuerpos que se deslizan a lo largo de la cicloide, mi esteatita, por ejemplo, descenderán de cualquier punto exactamente al mismo tiempo.

Moby Dick de Herman Melville , 1851

La cicloide ha sido llamada "La Helena de los geómetras" porque, al igual que Helena de Troya , provocó frecuentes disputas entre los matemáticos del siglo XVII, mientras que Sarah Hart considera que se llama así "porque las propiedades de esta curva son muy hermosas". ^{[1] [2]}

Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos para descubrir la cicloide. El historiador matemático Paul Tannery especuló que los antiguos debían haber conocido una curva tan simple , citando un trabajo similar de Carpo de Antioquía descrito por Jámblico . ^[3] El matemático inglés John Wallis, que escribió en 1679, atribuyó el descubrimiento a Nicolás de Cusa , ^[4] pero estudios posteriores indican que Wallis se equivocó o que la evidencia que utilizó ahora se ha perdido. ^{[5] El nombre de} Galileo Galilei fue propuesto a finales del siglo XIX ^[6] y al menos un autor informa que se le atribuye el crédito a Marin Mersenne . ^[7] Comenzando con el trabajo de Moritz Cantor ^[8] y Siegmund Günther , ^[9] los estudiosos ahora asignan prioridad al matemático francés Charles de Bovelles ^{[10] [11] [12]} basándose en su descripción de la cicloide en su Introductio in geometriam , publicado en 1503. ^[13] En esta obra, Bovelles confunde el arco trazado por una rueda rodante como parte de un círculo más grande con un radio 120% mayor que el de la rueda más pequeña. ^[5]

Galileo acuñó el término cicloide y fue el primero en realizar un estudio serio de la curva. ^[5] Según su alumno Evangelista Torricelli , ^[14] en 1599 Galileo intentó la cuadratura de la cicloide (determinando el área bajo la cicloide) con un enfoque inusualmente empírico que implicaba trazar tanto el círculo generador como la cicloide resultante sobre chapa de metal, cortándolos y pesándolos. Descubrió que la proporción era aproximadamente 3:1, que es el valor verdadero, pero concluyó incorrectamente que la proporción era una fracción irracional, lo que habría hecho imposible la cuadratura. ^[7] Alrededor de 1628, Gilles Persone de Roberval probablemente se enteró del problema de cuadratura de Père Marin Mersenne y efectuó la cuadratura en 1634 utilizando el teorema de Cavalieri . ^[5] Sin embargo, esta obra no fue publicada hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles ). ^[15]

La construcción de la tangente de la cicloide data de agosto de 1638, cuando Mersenne recibió métodos únicos de Roberval, Pierre de Fermat y René Descartes . Mersenne transmitió estos resultados a Galileo, quien se los dio a sus alumnos Torricelli y Viviani, quienes pudieron producir una cuadratura. Este resultado y otros fueron publicados por Torricelli en 1644, ^[14] que es también el primer trabajo impreso sobre la cicloide. Esto llevó a Roberval a acusar a Torricelli de plagio, y la controversia se vio truncada por la temprana muerte de Torricelli en 1647. ^[15]

En 1658, Blaise Pascal había abandonado las matemáticas por la teología pero, mientras padecía un dolor de muelas, comenzó a considerar varios problemas relacionados con la cicloide. Su dolor de muelas desapareció y lo tomó como una señal celestial para continuar con su investigación. Ocho días después había completado su ensayo y, para dar a conocer los resultados, propuso un concurso. Pascal propuso tres preguntas relativas al centro de gravedad , área y volumen de la cicloide, recibiendo el ganador o ganadores premios de 20 y 40 doblones españoles . Pascal, Roberval y el senador Carcavy fueron los jueces, y ninguna de las dos presentaciones (de John Wallis y Antoine de Lalouvère ) se consideró adecuada. ^{[16] : 198} Mientras el concurso estaba en curso, Christopher Wren envió a Pascal una propuesta para una prueba de la rectificación de la cicloide; Roberval afirmó rápidamente que conocía la prueba desde hacía años. Wallis publicó la prueba de Wren (dando crédito a Wren) en el Tractatus Duo de Wallis , dándole a Wren prioridad para la primera prueba publicada. ^[15]

Quince años más tarde, Christiaan Huygens había utilizado el péndulo cicloidal para mejorar los cronómetros y había descubierto que una partícula podía atravesar un segmento de un arco cicloidal invertido en el mismo tiempo, independientemente de su punto de partida. En 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó la geometría analítica para describir la curva con una sola ecuación. En 1696, Johann Bernoulli planteó el problema de la braquistocrona , cuya solución es una cicloide. ^[15]

Ecuaciones

La cicloide que pasa por el origen, generada por un círculo de radio r que gira sobre el eje x en el lado positivo ( y ≥ 0 ), consta de los puntos ( x , y ) , con

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}}$$

t es un parámetrot( x , y ) = ( rt , r )

La ecuación cartesiana se obtiene resolviendo la ecuación y para t y sustituyendo en la ecuación x :

$${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}$$

${\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}$

Cuando y se considera una función de x , la cicloide es diferenciable en todas partes excepto en las cúspides del eje x , con la derivada tendiendo hacia o cerca de una cúspide. La aplicación de t a ( x , y ) es diferenciable, de hecho de clase C ^∞ , con derivada 0 en las cúspides. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

La pendiente de la tangente a la cicloide en el punto viene dada por . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$

Un segmento cicloide de una cúspide a la siguiente se llama arco de la cicloide, por ejemplo los puntos con y . ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }$

Considerando la cicloide como la gráfica de una función , satisface la ecuación diferencial : ^[17] ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}$

Evolvente

Generación de la involuta de la cicloide desenvolviendo un alambre tenso colocado en medio arco cicloide (marcado en rojo)

La involuta de la cicloide tiene exactamente la misma forma que la cicloide de la que se origina. Esto se puede visualizar como el camino trazado por la punta de un alambre que inicialmente se encuentra en un medio arco de la cicloide: a medida que se desenrolla mientras permanece tangente a la cicloide original, describe una nueva cicloide (ver también péndulo cicloidal y longitud del arco).

Demostración

Demostración de las propiedades de la involuta de una cicloide.

Esta demostración utiliza la definición de cicloide de la rueda rodante, así como el vector de velocidad instantánea de un punto en movimiento, tangente a su trayectoria. En la imagen adyacente, y hay dos puntos que pertenecen a dos círculos rodantes, con la base del primero justo encima de la parte superior del segundo. Inicialmente, y coinciden en el punto de intersección de los dos círculos. Cuando los círculos ruedan horizontalmente con la misma velocidad y atraviesan dos curvas cicloides. Considerando la línea roja que conecta y en un momento dado, se demuestra que la línea siempre es tangente al arco inferior en y ortogonal al arco superior en . Sea el punto en común entre los círculos superior e inferior en el momento dado. Entonces: ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$son colineales: de hecho, la misma velocidad de rodadura da ángulos iguales , y por lo tanto . Por lo tanto y de manera análoga, el punto está en la línea recta . De la igualdad de y se tiene eso también . Sigue . ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$ ${\displaystyle {\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$ ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$
• Si es el punto de encuentro entre la perpendicular del segmento de recta y la tangente al círculo en , entonces el triángulo es isósceles, como se ve fácilmente en la construcción: y . Para la igualdad mencionada anteriormente entre y luego y es isósceles. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$
• Dibujando desde el segmento ortogonal a , desde la recta tangente al círculo superior, y llamando al punto de encuentro, se ve que es un rombo usando los teoremas sobre los ángulos entre rectas paralelas. ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$
• Consideremos ahora la velocidad de . Puede verse como la suma de dos componentes, la velocidad de rodadura y la velocidad de deriva , que son iguales en módulo porque los círculos ruedan sin patinar. es paralelo a , mientras que es tangente al círculo inferior en y por lo tanto es paralelo a . El rombo se constituye a partir de los componentes y por tanto es similar (mismos ángulos) al rombo porque tienen lados paralelos. Entonces , la velocidad total de , es paralela a porque ambos son diagonales de dos rombos con lados paralelos y tiene en común con el punto de contacto . Por tanto, el vector velocidad se encuentra en la prolongación de . Como es tangente a la cicloide en , se deduce que también coincide con la tangente a la cicloide inferior en . ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle P_{1}A}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}A}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle BP_{1}AP_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$
• De manera análoga, se puede demostrar fácilmente que es ortogonal a (la otra diagonal del rombo). ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$
• Esto demuestra que la punta de un alambre inicialmente estirado sobre un medio arco de la cicloide inferior y fijado al círculo superior seguirá el punto a lo largo de su trayectoria sin cambiar su longitud porque la velocidad de la punta es en cada momento ortogonal al alambre. (sin estiramiento ni compresión). El alambre será al mismo tiempo tangente al arco inferior debido a la tensión y a los hechos demostrados anteriormente. (Si no fuera tangente, habría una discontinuidad y, en consecuencia, fuerzas de tensión desequilibradas). ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

Área

Usando la parametrización anterior , el área bajo un arco viene dada por: ${\textstyle x=r(t-\sin t),\ y=r(1-\cos t)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}$

$${\displaystyle A=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt=3\pi r^{2}.}$$

Esto es tres veces el área del círculo rodante.

Longitud de arco

La longitud de la cicloide como consecuencia de la propiedad de su involuta.

La longitud del arco S de un arco está dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{aligned}}}$$

Otra forma geométrica de calcular la longitud de la cicloide es observar que cuando un alambre que describe una involuta se ha desenrollado completamente de medio arco, se extiende a lo largo de dos diámetros, una longitud de 4 r . Por tanto, esto es igual a la mitad de la longitud del arco, y la de un arco completo es 8 r .

Péndulo cicloidal

Esquema de un péndulo cicloidal.

Si se suspende un péndulo simple de la cúspide de una cicloide invertida, de modo que la cuerda esté obligada a ser tangente a uno de sus arcos, y la longitud del péndulo L es igual a la de la mitad de la longitud del arco de la cicloide (es decir, dos veces el diámetro del círculo generador, L = 4r ), la masa del péndulo también traza una trayectoria cicloide. Un péndulo de este tipo es isócrono , con oscilaciones de igual tiempo independientemente de la amplitud. Introduciendo un sistema de coordenadas centrado en la posición de la cúspide, la ecuación de movimiento viene dada por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\qquad \omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},}$$

A < 1g ${\displaystyle \omega }$

Cinco péndulos cicloidales isócronos con diferentes amplitudes.

El matemático holandés del siglo XVII Christiaan Huygens descubrió y demostró estas propiedades de la cicloide mientras buscaba diseños de relojes de péndulo más precisos para utilizarlos en la navegación . ^[18]

Curvas relacionadas

Varias curvas están relacionadas con la cicloide.

• Trocoide : generalización de una cicloide en la que el punto que traza la curva puede estar dentro del círculo rodante (cortado) o fuera (prolado).
• Hipocicloide : variante de cicloide en la que un círculo rueda por el interior de otro círculo en lugar de una línea.
• Epicicloide : variante de cicloide en la que un círculo rueda por el exterior de otro círculo en lugar de una línea.
• Hipotrocoide : generalización de una hipocicloide donde el punto generador puede no estar en el borde del círculo rodante.
• Epitrocoide : generalización de una epicicloide donde el punto generador puede no estar en el borde del círculo rodante.

Todas estas curvas son ruletas con un círculo rodado a lo largo de otra curva de curvatura uniforme . La cicloide, epicicloides e hipocicloides tienen la propiedad de que cada una es similar a su evoluta . Si q es el producto de esa curvatura con el radio del círculo, con signo positivo para epi- y negativo para hipo-, entonces la relación de similitud entre curva y evolución es 1 + 2 q .

El clásico juguete Spirograph traza curvas hipotrocoides y epitrocoides .

Otros usos

Arcos cicloidales en el Museo de Arte Kimbell

El arco cicloidal fue utilizado por el arquitecto Louis Kahn en su diseño para el Museo de Arte Kimbell en Fort Worth, Texas . También fue utilizado por Wallace K. Harrison en el diseño del Centro Hopkins en Dartmouth College en Hanover, New Hampshire . ^[19]

Las primeras investigaciones indicaron que algunas curvas arqueadas transversales de las placas de los violines de la edad de oro están modeladas estrechamente por curvas cicloides cortas. ^[20] Trabajos posteriores indican que las cicloides cortas no sirven como modelos generales para estas curvas, ^[21] que varían considerablemente.

Ver también

• ciclogón
• engranaje cicloide
• Lista de funciones periódicas
• Curva tautocrona

Referencias

1. Cajori, Florián (1999). Una historia de las matemáticas . Nueva York: Chelsea. pag. 177.ISBN​ 978-0-8218-2102-2.
2. Hart, Sarah (7 de abril de 2023). "Las maravillosas conexiones entre las matemáticas y la literatura". New York Times . Consultado el 7 de abril de 2023 .
3. Tannery, Paul (1883), "Pour l'histoire des lignes etsurfaces courbes dans l'antiquité", Mélanges, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques , Ser. 2, 7 : 278–291, pág. 284: Avant de quitter la citation de Jamblique, j'ajouterai que, dans la courbe de double mouvement de Carpos, il est difficile de ne pas reconnaître la cycloïde dont la génération si simple n'a pas dû échapper aux anciens. [Antes de abandonar la cita de Jámblico, añadiré que, en la curva de doble movimiento de Carpo , es difícil no reconocer la cicloide, cuya generación tan simple no pudo escapar a los antiguos.](citado en Whitman 1943);
4. Wallis, D. (1695). "Un extracto de una carta del Dr. Wallis, del 4 de mayo de 1697, sobre la cicloeida conocida por el cardenal Cusanus, alrededor del año 1450; y por Carolus Bovillus alrededor del año 1500". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 19 (215–235): 561–566. doi : 10.1098/rstl.1695.0098 .(Citado en Günther, p. 5)
5. Whitman, EA (mayo de 1943), "Algunas notas históricas sobre la cicloide", The American Mathematical Monthly , 50 (5): 309–315, doi :10.2307/2302830, JSTOR  2302830 (requiere suscripción)
6. Cajori, Florian (1999), Una historia de las matemáticas (5ª ed.), p. 162, ISBN 0-8218-2102-4(Nota: La primera edición (1893) y sus reimpresiones afirman que Galileo inventó la cicloide. Según Phillips, esto se corrigió en la segunda edición (1919) y se mantuvo hasta la edición más reciente (quinta).)
7. Roidt, Tom (2011). Cicloides y caminos (PDF) (MS). Universidad Estatal de Portland. pag. 4. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
8. Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2, Leipzig: BG Teubner, OCLC  25376971
9. Günther, Siegmund (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften , Leipzig: Druck und Verlag Von BG Teubner, p. 352, OCLC  2060559
10. Phillips, JP (mayo de 1967), "Braquistocrona, tautocrona, cicloide: manzana de la discordia", The Mathematics Teacher , 60 (5): 506–508, doi :10.5951/MT.60.5.0506, JSTOR  27957609(requiere suscripción)
11. Victor, Joseph M. (1978), Charles de Bovelles, 1479-1553: una biografía intelectual, pag. 42, ISBN 978-2-600-03073-1
12. Martín, J. (2010). "La Helena de la Geometría". La revista universitaria de matemáticas . 41 : 17-28. doi :10.4169/074683410X475083. S2CID  55099463.
13. de Bouelles, Charles (1503), Introductio in geometriam... Liber de quadratura circuli. Esfera de liberación de cúbicación. Introducción a la perspectiva. , OCLC  660960655
14. Torricelli, Evangelista (1644), Opera geométrica , OCLC  55541940
15. Walker, Evelyn (1932), Un estudio del Traité des Indivisibles de Roberval , Universidad de Columbia(citado en Whitman 1943);
16. Conner, James A. (2006), La apuesta de Pascal: el hombre que jugaba a los dados con Dios (1ª ed.), HarperCollins, págs.224, ISBN 9780060766917
17. Roberts, Charles (2018). Ecuaciones diferenciales elementales: aplicaciones, modelos y computación (segunda edición ilustrada). Prensa CRC. pag. 141.ISBN​ 978-1-4987-7609-7.Extracto de la página 141, ecuación (f) con sus K=2r
18. C. Huygens, "El reloj de péndulo o demostraciones geométricas sobre el movimiento del péndulo (sic) aplicado a los relojes", traducido por RJ Blackwell, Iowa State University Press (Ames, Iowa, EE. UU., 1986).
19. 101 razones para amar a Dartmouth, Revista Dartmouth Alumni, 2016
20. Playfair, Q. "Arco cicloide reducido en instrumentos de la familia de violines cremoneses de la Edad de Oro". Revista de la Sociedad Acústica Catgut . II. 4 (7): 48–58.
21. Mottola, RM (2011). "Comparación de perfiles arqueados de violines cremoneses de la Edad de Oro y algunas curvas generadas matemáticamente". Diario Savart . 1 (1). Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2017 . Consultado el 13 de agosto de 2012 .

Otras lecturas

• Una aplicación de la física : Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: la estela cicloidal de un cilindro que atraviesa una lámina. Cartas de revisión física, 91, (2003). enlace.aps.org
• Edward Kasner y James Newman (1940) Las matemáticas y la imaginación , págs. 196-200, Simon & Schuster .
• Pozos D (1991). Diccionario pingüino de geometría curiosa e interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 445–47. ISBN 0-14-011813-6.

enlaces externos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Cicloide", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Weisstein, Eric W. "Cicloide". MundoMatemático .Consultado el 27 de abril de 2007.
• Cicloides en el corte del nudo
• Tratado sobre la cicloide y todas las formas de curvas cicloidales, monografía de Richard A. Proctor, BA publicada por la Biblioteca de la Universidad de Cornell.
• Curvas cicloides de Sean Madsen con contribuciones de David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project .
• Cicloide en PlanetPTC (Mathcad)
• Un enfoque VISUAL a los problemas de CÁLCULO por Tom Apostol