trocoide

En geometría , una trocoide (del griego trochos 'rueda') es una curva de ruleta formada por un círculo que rueda a lo largo de una línea . Es la curva trazada por un punto fijado a un círculo (donde el punto puede estar dentro, dentro o fuera del círculo) mientras rueda a lo largo de una línea recta. ^[1] Si el punto está en el círculo, la trocoide se llama común (también conocida como cicloide ); si el punto está dentro del círculo, la trocoide es corta ; y si el punto está fuera del círculo, la trocoide está prolata . La palabra "trocoide" fue acuñada por Gilles de Roberval . ^{[ cita necesaria ]}

Descripción básica

Cuando un círculo de radio $a$ rueda sin deslizarse a lo largo de una línea $L$ , el centro $C$ se mueve paralelo a $L$ , y cada dos puntos $P$ en el plano de rotación rígidamente unido al círculo traza la curva llamada trocoide. Sea $CP = b$ . Las ecuaciones paramétricas de la trocoide para las cuales $L$ es el eje $x son$

{\begin{aligned}&x=a\theta -b\sin \theta \\&y=ab\cos \theta \end{aligned}}

donde $θ$ es el ángulo variable que recorre el círculo.

Cortada, común, alargada.

Si $P$ se encuentra dentro del círculo ( $b < a$ ), en su circunferencia ( $b = a$ ) o fuera ( $b > a$ ), la trocoide se describe como corta ("contraída"), común o alargada ("extendida"). ), respectivamente. ^[2] Una trocoide corta se traza mediante un pedal (en relación con el suelo) cuando una bicicleta con marcha normal se pedalea en línea recta. ^[3] Una trocoide alargada se traza con la punta de un remo (en relación con la superficie del agua) cuando un bote es impulsado con velocidad constante mediante ruedas de paletas; esta curva contiene bucles. Una trocoide común, también llamada cicloide , tiene cúspides en los puntos donde $P$ toca la línea $L.$

Descripción general

Un enfoque más general definiría una trocoide como el lugar geométrico de un punto que orbita a una velocidad constante alrededor de un eje ubicado en , $(x,y)$ $(x',y')$

x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+ \phi _{1}),\ r_{1}>0,

qué eje se traslada en el plano xy a una velocidad constante en línea recta ,

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\por lo tanto x=x_{0} +r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1} t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}

o una trayectoria circular (otra órbita) alrededor (el caso hipotrocoide / epitrocoide ), $(x_{0},y_{0})$

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0} +r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\por lo tanto x=x_{0}+r_{1}\cos(\ omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin (\omega _ {1}t+\phi _ {1})+r_ {2}\sin(\omega _ {2}t+\phi _ {2}),\\\end{array}}

La relación entre las velocidades de movimiento y si el eje en movimiento se traslada en una trayectoria recta o circular determina la forma de la trocoide. En el caso de una trayectoria recta, una rotación completa coincide con un período de un lugar periódico (repetitivo). En el caso de una trayectoria circular para el eje en movimiento, el lugar geométrico es periódico sólo si la razón de estos movimientos angulares, es un número racional, digamos , donde & son coprimos , en cuyo caso, un período consta de órbitas alrededor del eje en movimiento. Eje y órbitas del eje en movimiento alrededor del punto . Los casos especiales de epicicloide e hipocicloide , generados al trazar el lugar geométrico de un punto en el perímetro de un círculo de radio mientras se rueda sobre el perímetro de un círculo estacionario de radio , tienen las siguientes propiedades: $\omega _{1}/\omega _{2}$ ${\displaystylep/q}$ $p$ $q$ $p$ $q$ $(x_{0},y_{0})$ ${\ Displaystyle r_ {1}}$ $R$

{\begin{array}{lcl}{\text{epicicloide: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}= R/r_{1}+1,\ |pq|{\text{ cúspides}}\\{\text{hipocicloide: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q= -r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |pq|=|p|+|q|{\text{ cúspides}}\end{array}}

¿ Dónde está el radio de la órbita del eje en movimiento? El número de cúspides indicado anteriormente también es válido para cualquier epitrocoide e hipotrocoide, con las "cúspides" reemplazadas por "máximos radiales" o "mínimos radiales". ${\ Displaystyle r_ {2}}$

Ver también

Referencias

^ Weisstein, Eric W. "Trocoide". MundoMatemático .
^ "Trocoide". Xah Matemáticas . Consultado el 4 de octubre de 2014 .
^ El rompecabezas de tirar de bicicletas. YouTube . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.

enlaces externos

Experimentos en línea con la Trocoide usando JSXGraph