epicicloide

Curva plana trazada por un punto de un círculo que gira alrededor de otro círculo.

La curva roja es una epicicloide trazada cuando el círculo pequeño (radio r = 1) gira alrededor del exterior del círculo grande (radio R = 3) .

En geometría , una epicicloide (también llamada hipercicloide ) ^[1] es una curva plana que se produce al trazar la trayectoria de un punto elegido en la circunferencia de un círculo —llamado epiciclo— que rueda sin deslizarse alrededor de un círculo fijo. Es un tipo particular de ruleta .

Una epicicloide con un radio menor (R2) de 0 es un círculo. Ésta es una forma degenerada.

Ecuaciones

Si el círculo más pequeño tiene radio y el círculo más grande tiene radio , entonces las ecuaciones paramétricas de la curva pueden estar dadas por: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R=kr}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}$

o:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\end{aligned}}}$

Esto se puede escribir de una forma más concisa usando números complejos como ^[2]

${\displaystyle z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)}$

dónde

• el ángulo ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$
• el círculo más pequeño tiene radio , y ${\displaystyle r}$
• el círculo más grande tiene radio . ${\displaystyle kr}$

Área

(Suponiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo más grande). Cuando es un número entero positivo, el área de esta epicicloide es ${\displaystyle k}$

${\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.}$

Significa que la epicicloide es más grande que el círculo estacionario original. ${\displaystyle {\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}}$

Si es un número entero positivo, entonces la curva es cerrada y tiene k cúspides (es decir, esquinas afiladas). ${\displaystyle k}$

Si es un número racional , digamos expresado como fracción irreducible , entonces la curva tiene cúspides. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=p/q}$ ${\displaystyle p}$

Cuente las rotaciones de la animación para ver p y q.

Si es un número irracional , entonces la curva nunca se cierra y forma un subconjunto denso del espacio entre el círculo más grande y un círculo de radio . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R+2r}$

La distancia desde el origen hasta el punto del círculo pequeño varía hacia arriba y hacia abajo según ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r}$

dónde

• ${\displaystyle R}$= radio del círculo grande y
• ${\displaystyle 2r}$= diámetro del círculo pequeño.

• Ejemplos de epicicloides
• 
  k = 1 ; un cardioide
• 
  k = 2 ; un nefroide
• 
  k = 3 ; un trefoiloide
• 
  k = 4 ; un cuatrifolioide
• 
  k = 2,1 = 21/10
• 
  k = 3,8 = 19/5
• 
  k = 5,5 = 11/2
• 
  k = 7,2 = 36/5

La epicicloide es un tipo especial de epitrocoide .

Un epiciclo con una cúspide es un cardioide , dos cúspides es un nefroide .

Una epicicloide y su evolución son similares . ^[3]

Prueba

boceto como prueba

Suponemos que la posición de es lo que queremos resolver, es el ángulo desde el punto tangencial al punto en movimiento y es el ángulo desde el punto inicial al punto tangencial. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta }$

Como no hay deslizamiento entre los dos ciclos, entonces tenemos que

${\displaystyle \ell _{R}=\ell _{r}}$

Por la definición de ángulo (que es la velocidad del arco sobre el radio), entonces tenemos que

${\displaystyle \ell _{R}=\theta R}$

y

${\displaystyle \ell _{r}=\alpha r}$.

De estas dos condiciones obtenemos la identidad.

${\displaystyle \theta R=\alpha r}$.

Al calcular, obtenemos la relación entre y , que es ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {R}{r}}\theta }$.

En la figura, vemos claramente la posición del punto en el círculo pequeño. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

Ver también

Gif animado con tortuga en MSWLogo ( Cardioide ) ^[4]

• Lista de funciones periódicas
• Cicloide
• ciclogón
• Deferente y epiciclo
• Engranaje epicíclico
• epitrocoide
• hipocicloide
• hipotrocoide
• conjunto multibrot
• Ruleta (curva)
• espirógrafo

Referencias

• J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas de planos especiales . Publicaciones de Dover. págs.161, 168-170, 175. ISBN 978-0-486-60288-2.

1. [1]
2. Productos epicicloides y Blaschke de Chunlei Cao, Alastair Fletcher, Zhuan Ye
3. Evoluta epicicloide - de Wolfram MathWorld
4. Pietrocola, Giorgio (2005). "Tartapelago". Maecla .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Epicicloide". MundoMatemático .
• "Epicicloide" de Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project , 2007
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Epicicloide", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Animación de epicicloides, pericicloides e hipocicloides.
• Espirógrafo -- GeoFun
• Nota histórica sobre la aplicación de la epicicloide a la forma de Gear Teeth