Cardioide

Tipo de curva plana

Un cardioide

La cáustica que aparece en la superficie de esta taza de café es cardioide.

En geometría , un cardioide (del griego καρδιά (kardiá)  'corazón') es una curva plana trazada por un punto en el perímetro de un círculo que rueda alrededor de un círculo fijo del mismo radio. También se puede definir como un epicicloide que tiene una sola cúspide . También es un tipo de espiral sinusoidal , y una curva inversa de la parábola con el foco como centro de inversión. ^[1] Un cardioide también se puede definir como el conjunto de puntos de reflexión de un punto fijo en un círculo a través de todas las tangentes al círculo. ^[2]

Cardioide generado por un círculo rodante sobre un círculo con el mismo radio

El nombre fue acuñado por Giovanni Salvemini en 1741 ^[3] , pero el cardioide había sido objeto de estudio décadas antes. ^{[4] Aunque recibe su nombre por su forma de corazón, su forma se parece más al contorno de la sección transversal de una} manzana redonda sin el tallo. ^[5]

Un micrófono cardioide presenta un patrón de captación acústica que, cuando se representa gráficamente en dos dimensiones, se asemeja a un cardioide (cualquier plano 2D que contenga la línea recta 3D del cuerpo del micrófono). En tres dimensiones, el cardioide tiene la forma de una manzana centrada alrededor del micrófono, que es el "tallo" de la manzana.

Ecuaciones

Generación de un cardioide y sistema de coordenadas utilizado

Sea el radio común de las dos circunferencias generadoras con puntos medios , el ángulo de rodadura y el origen el punto de partida (ver imagen). Se obtiene ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (-a,0),(a,0)}$ ${\displaystyle \varphi }$

• representación paramétrica : y de aquí la representación en $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}}$$
• coordenadas polares : $${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi ).}$$
• Introduciendo las sustituciones se obtiene tras quitar la raíz cuadrada la representación implícita en coordenadas cartesianas : ${\displaystyle \cos \varphi =x/r}$ ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y^{2}=0.}$$

Prueba de la representación paramétrica

Se puede establecer una prueba utilizando números complejos y su descripción común como el plano complejo . El movimiento de rodadura del círculo negro sobre el azul se puede dividir en dos rotaciones. En el plano complejo se puede realizar una rotación alrededor de un punto (el origen) por un ángulo multiplicando un punto (número complejo) por . Por lo tanto ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }}$

La rotación alrededor del punto es , ${\displaystyle \Phi _{+}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle :z\mapsto a+(z-a)e^{i\varphi }}$

La rotación alrededor del punto es: . ${\displaystyle \Phi _{-}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}$

Un punto del cardioide se genera rotando el origen alrededor del punto y luego rotando alrededor en el mismo ángulo : De aquí se obtiene la representación paramétrica anterior: ( Se utilizaron las identidades trigonométricas y ). ${\displaystyle p(\varphi )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi }\right)=-a+\left(a-ae^{i\varphi }+a\right)e^{i\varphi }=a\;\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right).}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}}$$ ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,}$ ${\displaystyle \cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},}$ ${\displaystyle \sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi }$

Propiedades métricas

Para el cardioide definido anteriormente se cumplen las siguientes fórmulas:

• área , ${\displaystyle A=6\pi a^{2}}$
• longitud del arco y ${\displaystyle L=16a}$
• radio de curvatura ${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$

Las demostraciones de estas afirmaciones utilizan en ambos casos la representación polar del cardioide. Para fórmulas adecuadas, véase el sistema de coordenadas polares (longitud del arco) y el sistema de coordenadas polares (área).

Prueba de la fórmula del área

$${\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}.}$$

Prueba de la fórmula de la longitud del arco

$${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)d\varphi =16a.}$$

Prueba del radio de curvatura

El radio de curvatura de una curva en coordenadas polares con ecuación es (s. curvatura) ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ $${\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2}}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .}$$

Para el cardioide se obtiene ${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}\left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)}$ $${\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {\left[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\right]^{\frac {3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{2}}\ .}$$

Propiedades

Acordes de un cardioide

Acordes a través de la cúspide

C1

Las cuerdas que pasan por la cúspide del cardioide tienen la misma longitud. ${\displaystyle 4a}$

C2

Los puntos medios de las cuerdas que pasan por la cúspide se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo (ver imagen).

Prueba de C1

Los puntos están en una cuerda que pasa por la cúspide (=origen). Por lo tanto ${\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\&=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{aligned}}.}$$

Prueba de C2

Para la demostración se utiliza la representación en el plano complejo (ver arriba). Para los puntos y $${\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)}$$ $${\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\right)=a\,\left(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1\right),}$$

El punto medio de la cuerda es el que se encuentra en el perímetro del círculo con punto medio y radio (ver imagen). ${\displaystyle PQ}$ $${\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }}$$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$

Cardioide como curva inversa de una parábola

Cardioide generado por la inversión de una parábola a través del círculo unitario (discontinuo)

Un cardioide es la curva inversa de una parábola con su foco en el centro de inversión (ver gráfico)

En el ejemplo que se muestra en el gráfico, los círculos generadores tienen radio . Por lo tanto, el cardioide tiene la representación polar y su curva inversa que es una parábola (es decir, parábola en coordenadas polares ) con la ecuación en coordenadas cartesianas. ${\textstyle a={\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi }$$ $${\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},}$$ ${\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}$

Observación: No toda curva inversa de una parábola es una cardioide. Por ejemplo, si se invierte una parábola a lo largo de un círculo cuyo centro se encuentra en el vértice de la parábola, el resultado es una cisoide de Diocles .

Cardioide como envolvente de un lápiz de círculos

Cardioide como envolvente de un lápiz de círculos

En la sección anterior, si se invierten además las tangentes de la parábola, se obtiene un haz de círculos que pasan por el centro de inversión (origen). Una consideración detallada muestra: los puntos medios de los círculos se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo. (El círculo generador es la curva inversa de la directriz de la parábola).

Esta propiedad da lugar al siguiente método sencillo para dibujar un cardioide:

1. Elija un círculo y un punto en su perímetro, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O}$
2. Dibujar círculos que contengan con centros en , y ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle c}$
3. Dibuja la envolvente de estos círculos.

Prueba con condición de sobre

La envolvente del lápiz de curvas dadas implícitamente con parámetro consta de puntos que son soluciones del sistema no lineal que es la condición envolvente . Nótese que significa la derivada parcial para el parámetro . $${\displaystyle F(x,y,t)=0}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0,}$$ ${\displaystyle F_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Sea el círculo con punto medio y radio . Entonces tiene representación paramétrica . El lápiz de círculos con centros en el punto contenedor se puede representar implícitamente por lo que es equivalente a La segunda condición de envolvente es Se comprueba fácilmente que los puntos del cardioide con la representación paramétrica cumplen el sistema no lineal anterior. El parámetro es idéntico al parámetro del ángulo del cardioide. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (-1+\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O=(0,0)}$ $${\displaystyle F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0,}$$ $${\displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.}$$ $${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0.}$$ $${\displaystyle x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t}$$ ${\displaystyle t}$

Cardioide como envolvente de un lápiz de líneas

Cardioide como envolvente de un lápiz de líneas

Un método similar y sencillo para dibujar un cardioide utiliza un lápiz de líneas . Se debe a L. Cremona :

1. Dibuje un círculo, divida su perímetro en partes iguales con puntos (ver imagen) y numérelas consecutivamente. ${\displaystyle 2N}$
2. Dibuje las cuerdas: . (Es decir, el segundo punto se mueve al doble de velocidad). ${\displaystyle (1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\dots }$
3. La envolvente de estos acordes es cardioide.

La generación de Cremona de un cardioide

Prueba

La siguiente consideración utiliza fórmulas trigonométricas para , , , y . Para simplificar los cálculos, se proporciona la prueba para el cardioide con representación polar ( § Cardioides en diferentes posiciones ). ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta }$ ${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta }$ ${\displaystyle 1+\cos 2\alpha }$ ${\displaystyle \cos 2\alpha }$ ${\displaystyle \sin 2\alpha }$ ${\displaystyle r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )}$

Ecuación de la tangentedelcardioidecon representación polarr = 2(1 + cos 𝜑 )

De la representación paramétrica $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

Se obtiene el vector normal . La ecuación de la tangente es: ${\displaystyle {\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$ $${\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.}$$

Con ayuda de fórmulas trigonométricas y posterior división por , la ecuación de la tangente se puede reescribir como: ${\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi }$ $${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}$$

Ecuación de la cuerdadelcírculocon punto medio( 1, 0 )y radio3

Para la ecuación de la recta secante que pasa por dos puntos se obtiene: ${\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}$ $${\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.}$$

Con ayuda de fórmulas trigonométricas y la posterior división por la ecuación de la recta secante se puede reescribir: ${\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }$ $${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}$$

Conclusión

A pesar de que los dos ángulos tienen significados diferentes (véase la figura), se obtiene el mismo resultado para la misma línea. Por lo tanto, cualquier línea secante del círculo, definida anteriormente, también es una tangente del cardioide: ${\displaystyle \varphi ,\theta }$ ${\displaystyle \varphi =\theta }$

El cardioide es la envolvente de las cuerdas de un círculo.

Observación:
La prueba se puede realizar con ayuda de las condiciones de la envolvente (ver sección anterior) de un lápiz implícito de curvas: $${\displaystyle F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0}$$

es el lápiz de líneas secantes de un círculo (ver arriba) y $${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac {3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t=0\,.}$$

Para un parámetro fijo t, ambas ecuaciones representan líneas. Su punto de intersección es $${\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,}$$

que es un punto del cardioide con ecuación polar ${\displaystyle r=2(1+\cos t).}$

Cardioide como cáustico : fuente de luz , rayo de luz , rayo reflejado ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\vec {s}}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Cardioide como cáustico de un círculo con fuente de luz (derecha) en el perímetro

Cardioide como cáustico de un círculo

Las consideraciones hechas en el apartado anterior dan una prueba de que la cáustica de un círculo con fuente de luz en el perímetro del círculo es cardioide.

Si en el plano hay una fuente de luz en un punto del perímetro de un círculo que refleja cualquier rayo, entonces los rayos reflejados dentro del círculo son tangentes de un cardioide. ${\displaystyle Z}$

Prueba

Al igual que en la sección anterior, el círculo puede tener punto medio y radio . Su representación paramétrica es La tangente en el punto del círculo tiene vector normal . Por lo tanto, el rayo reflejado tiene el vector normal (ver gráfico) y contiene el punto . El rayo reflejado es parte de la línea con ecuación (ver sección anterior) que es tangente de la cardioide con ecuación polar de la sección anterior. ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 3}$ $${\displaystyle c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .}$$ ${\displaystyle C:\ k(\varphi )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{r}=\left(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi \right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )}$ $${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\,,}$$ $${\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )}$$

Observación: Para tales consideraciones normalmente se descuidan las reflexiones múltiples en el círculo.

Cardioide como curva pedal de un círculo

El punto del cardioide es el pie de la perpendicular caída sobre la tangente del círculo.

La generación Cremona de un cardioide no debe confundirse con la siguiente generación:

Sea un círculo y un punto en el perímetro de este círculo. Lo siguiente es cierto: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle O}$

Los pies de las perpendiculares desde los puntos de las tangentes del círculo son puntos de un cardioide. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle k}$

Por lo tanto, un cardioide es una curva pedal especial de un círculo.

Prueba

En un sistema de coordenadas cartesianas, el círculo puede tener un punto medio y un radio . La tangente en el punto del círculo tiene la ecuación El pie de la perpendicular desde el punto de la tangente es el punto cuya distancia al origen aún se desconoce . Insertando el punto en la ecuación de la tangente se obtiene que es la ecuación polar de un cardioide. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (2a,0)}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$ $${\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.}$$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )}$$

Observación: Si el punto no está en el perímetro del círculo , se obtiene un limazón de Pascal . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle k}$

La evolución de un cardioide

  Un cardioide

  Evolución del cardioide

  Un punto P; su centro de curvatura M; y su círculo osculador.

La evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura. En detalle: Para una curva con radio de curvatura, la evoluta tiene la representación con la normal unitaria orientada adecuadamente. ${\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ $${\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}$$ ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$

Para un cardioide se obtiene:

La evoluta de un cardioide es otro cardioide, un tercio más grande y orientado en la dirección opuesta (ver imagen).

Prueba

Para el cardioide con representación paramétrica la unidad normal es y el radio de curvatura Por lo tanto las ecuaciones paramétricas de la evoluta son Estas ecuaciones describen un cardioide un tercio más grande, rotado 180 grados y desplazado a lo largo del eje x en . $${\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,}$$ $${\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi }$$ $${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )}$$ $${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$$ $${\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}$$ $${\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \,.}$$ ${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}$

(Se utilizaron fórmulas trigonométricas: ) ${\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}},\ \cos \varphi =\cdots \ .}$

Trayectorias ortogonales

Cardioides ortogonales

Una trayectoria ortogonal de un lápiz de curvas es una curva que interseca cualquier curva del lápiz de manera ortogonal. Para los cardioides se cumple lo siguiente:

Las trayectorias ortogonales del lápiz de cardioides con ecuaciones son los cardioides con ecuaciones $${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ }$$ $${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}$$

(El segundo lápiz puede considerarse como reflejos en el eje y del primero. Ver diagrama).

Prueba

Para una curva dada en coordenadas polares por una función se cumple la siguiente conexión con las coordenadas cartesianas: ${\displaystyle r(\varphi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

y para los derivados $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{aligned}}}$$

Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la línea tangente a la curva en el punto : ${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

Para los cardioides con las ecuaciones y respectivamente se obtiene: y ${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}$ ${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }$ $${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )+\sin(\varphi )}}\ .}$$

(La pendiente de cualquier curva depende únicamente de , y no de los parámetros o !) ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Por lo tanto, esto significa: cualquier curva del primer lápiz intersecta cualquier curva del segundo lápiz ortogonalmente. $${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}(2\varphi )}{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.}$$

4 cardioides en representación polar y su posición en el sistema de coordenadas

En diferentes posiciones

La elección de otras posiciones del cardioide dentro del sistema de coordenadas da como resultado ecuaciones diferentes. La imagen muestra las 4 posiciones más comunes de un cardioide y sus ecuaciones polares.

En análisis complejo

El límite de la región central, de período 1, del conjunto de Mandelbrot es un cardioide preciso.

En el análisis complejo , la imagen de cualquier círculo que pase por el origen bajo el mapa es un cardioide. Una aplicación de este resultado es que el límite del componente de período 1 central del conjunto de Mandelbrot es un cardioide dado por la ecuación ${\displaystyle z\to z^{2}}$ $${\displaystyle c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.}$$

El conjunto de Mandelbrot contiene un número infinito de copias ligeramente distorsionadas de sí mismo y el bulbo central de cualquiera de estas copias más pequeñas es un cardioide aproximado.

Cardioide formado por la luz en la esfera de un reloj .

Cáusticos

Ciertas cáusticas pueden adoptar la forma de cardioides. La catacáustica de un círculo con respecto a un punto de la circunferencia es un cardioide. Asimismo, la catacáustica de un cono con respecto a rayos paralelos a una línea generadora es una superficie cuya sección transversal es un cardioide. Esto se puede ver, como en la fotografía de la derecha, en una copa cónica parcialmente llena de líquido cuando una luz incide desde una distancia y en un ángulo igual al ángulo del cono. ^[6] La forma de la curva en el fondo de una copa cilíndrica es la mitad de una nefroide , que parece bastante similar.

Generación de un cardioide como curva pedal de un círculo

Véase también

• Limazón
• Nefroide
• Deltoides
• La vara de Wittgenstein
• Micrófono cardioide
• Lemniscata de Bernoulli
• Antena de bucle
• Radiogoniómetro
• Radiogoniometría
• Antena Yagi
• Juan Salvemini
• Cardioide espacial

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Curva inversa de parábola". MundoMatemático .
2. S Balachandra Rao. Cálculo diferencial, pág. 457
3. Lockwood (cerradura)
4. Yates
5. Gutenmacher, Victor; Vasilyev, NB (2004). Líneas y curvas . Boston: Birkhäuser. pág. 90. doi :10.1007/978-1-4757-3809-4. ISBN. 9781475738094.
6. "Surface Caustique" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Referencias

• RC Yates (1952). "Cardioide". Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. pp. 4 y siguientes.
• Wells D (1991). Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante. Nueva York: Penguin Books. págs. 24-25. ISBN 0-14-011813-6.

Enlaces externos

• "Cardioide". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Cardioide". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . Universidad de St Andrews .
• Bocadillos cardioides de gran calidad en Cut-the-Knot
• Weisstein, Eric W. "Cardioide". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Epicicloide de 1 cúspide". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Curva del corazón". MathWorld .
• Xah Lee, Cardioid (1998) (Este sitio ofrece una serie de construcciones alternativas) .
• Jan Wassenaar, Cardioide , (2005)