Curva deltoidea

Curva de ruleta formada por círculos con radios que difieren en factores de 3 o 1,5

  Círculo exterior fijo

  Círculo rodante (1/3 del radio del círculo exterior)

  Curva deltoidea formada al trazar un punto circunferencial en el círculo rodante

En geometría , una curva deltoidea , también conocida como curva tricúspide o curva de Steiner , es una hipocicloide de tres cúspides . En otras palabras, es la ruleta que crea un punto de la circunferencia de un círculo al rodar sin deslizarse por el interior de un círculo de tres o una vez y media su radio . Recibe su nombre de la letra griega mayúscula delta (Δ) a la que se parece.

En términos más generales, un deltoides puede referirse a cualquier figura cerrada con tres vértices conectados por curvas que son cóncavas hacia el exterior, lo que hace que los puntos interiores sean un conjunto no convexo . ^[1]

Ecuaciones

Una hipocicloide se puede representar (hasta la rotación y la traslación ) mediante las siguientes ecuaciones paramétricas

${\displaystyle x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,}$

${\displaystyle y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,}$

donde a es el radio del círculo rodante, b es el radio del círculo dentro del cual rueda el círculo antes mencionado y t varía de cero a 6 π . (En la ilustración anterior b = 3a trazando el deltoides).

En coordenadas complejas esto se convierte en

${\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it}}$.

La variable t se puede eliminar de estas ecuaciones para obtener la ecuación cartesiana

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,}$

Por lo tanto, el deltoides es una curva algebraica plana de grado cuatro. En coordenadas polares, esto se convierte en

${\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}$

La curva tiene tres singularidades, cúspides correspondientes a . La parametrización anterior implica que la curva es racional, lo que implica que tiene género cero. ${\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}}$

Un segmento de línea puede deslizarse con cada extremo sobre el deltoides y permanecer tangente al deltoides. El punto de tangencia recorre el deltoides dos veces mientras que cada extremo recorre una vez su alrededor.

La curva dual del deltoides es

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}$

que tiene un punto doble en el origen que se puede hacer visible para el trazado mediante una rotación imaginaria y ↦ iy, dando la curva

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}$

con un doble punto en el origen del plano real.

Área y perímetro

El área del deltoides es donde a es el radio del círculo rodante; por lo tanto, el área del deltoides es el doble que la del círculo rodante. ^[2] ${\displaystyle 2\pi a^{2}}$

El perímetro (longitud total del arco) del deltoides es 16 a . ^[2]

Historia

Galileo Galilei y Marin Mersenne estudiaron las cicloides ordinarias ya en 1599, pero Ole Rømer fue el primero en concebir las curvas cicloidales en 1674, cuando estudiaba la mejor forma para los dientes de los engranajes. Leonhard Euler afirma haber sido el primero en considerar el deltoides real en 1745 en relación con un problema óptico.

Aplicaciones

Los deltoides surgen en varios campos de las matemáticas. Por ejemplo:

• El conjunto de valores propios complejos de matrices unistocásticas de orden tres forma un deltoide.
• Una sección transversal del conjunto de matrices unistocásticas de orden tres forma un deltoide.
• El conjunto de trazas posibles de matrices unitarias pertenecientes al grupo SU(3) forma un deltoide.
• La intersección de dos deltoides parametriza una familia de matrices de Hadamard complejas de orden seis.
• El conjunto de todas las líneas de Simson de un triángulo dado forman una envolvente con forma de deltoide, conocida como deltoide de Steiner o hipocicloide de Steiner en honor a Jakob Steiner, quien describió la forma y simetría de la curva en 1856. ^[3]
• La envolvente de las bisectrices de un triángulo es un deltoides (en el sentido más amplio definido anteriormente) con vértices en los puntos medios de las medianas . Los lados del deltoides son arcos de hipérbolas que son asintóticos a los lados del triángulo. ^[4] [1]
• Se propuso un deltoides como solución al problema de la aguja de Kakeya .

Véase también

• Astroide , una curva con cuatro cúspides.
• Triángulo de cuerno circular , una curva de tres cúspides formada a partir de arcos circulares
• Triángulo ideal , una curva de tres cúspides formada a partir de líneas hiperbólicas.
• Pseudotriángulo , una región de tres puntas entre tres conjuntos convexos tangentes
• Pareja Tusi , una ruleta de dos cúspides
• Cometa (geometría) , también llamada deltoides

Referencias

1. "Bisectrices de un triángulo". www.se16.info . Consultado el 26 de octubre de 2017 .
2. Weisstein, Eric W. "Deltoid". De MathWorld , un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html
3. Lockwood (cerradura)
4. Dunn, JA, y Pretty, JA, "Dividir un triángulo en dos", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, 105-108.

• EH Lockwood (1961). "Capítulo 8: El deltoides". Un libro de curvas . Cambridge University Press.
• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pp. 131–134. ISBN. 0-486-60288-5.
• Wells D (1991). Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante. Nueva York: Penguin Books. pp. 52. ISBN 0-14-011813-6.
• "Tricúspide" en el índice de curvas famosas de MacTutor
• "Deltoide" en MathCurve
• Sokolov, DD (2001) [1994], "Curva de Steiner", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press