Matriz unistocástica

En matemáticas , una matriz unistocástica (también llamada unitario-estocástica ) es una matriz doblemente estocástica cuyas entradas son los cuadrados de los valores absolutos de las entradas de alguna matriz unitaria .

Una matriz cuadrada B de tamaño n es doblemente estocástica (o bistocástica ) si todas sus entradas son números reales no negativos y cada una de sus filas y columnas suman 1. Es unistocástica si existe una matriz unitaria U tal que

B_{ij}=|U_{ij}|^{2}{\text{ para }}i,j=1,\puntos ,n.\,

Esta definición es análoga a la de una matriz ortocástica , que es una matriz doblemente estocástica cuyas entradas son los cuadrados de las entradas en alguna matriz ortogonal . Dado que todas las matrices ortogonales son necesariamente matrices unitarias, todas las matrices ortocásticas también son unistocásticas. Sin embargo, lo inverso no es cierto. En primer lugar, todas las matrices doblemente estocásticas de 2 por 2 son tanto unistocásticas como ortocásticas , pero para n mayores este no es el caso. Por ejemplo, tomemos y consideremos la siguiente matriz doblemente estocástica: ${\estilo de visualización n=3}$

B={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}.

Esta matriz no es unistocástica, ya que dos vectores cualesquiera con módulos iguales a la raíz cuadrada de las entradas de dos columnas (o filas) de B no pueden hacerse ortogonales mediante una elección adecuada de fases. Para , el conjunto de matrices ortocásticas es un subconjunto propio del conjunto de matrices unistocásticas. ${\textstyle n>2}$

El conjunto de matrices unistocásticas contiene todas las matrices de permutación y su envoltura convexa es el politopo de Birkhoff de todas las matrices doblemente estocásticas.
porque este conjunto no es convexo $n\geq 3$
para el conjunto de la desigualdad triangular en los módulos de la materia prima es una condición suficiente y necesaria para la unistocasticidad ^[1] ${\estilo de visualización n=3}$
porque el conjunto de matrices unistocásticas tiene forma de estrella y la unistocasticidad de cualquier matriz bistocástica B está implícita por un valor no negativo de su invariante de Jarlskog ^[2] ${\estilo de visualización n=3}$
para el volumen relativo del conjunto de matrices unistocásticas con respecto al politopo de Birkhoff de matrices doblemente estocásticas es ^[3] ${\estilo de visualización n=3}$ $8\pi ^{2}/105\aproximadamente 75,2\%$
Aún no se conocen condiciones explícitas para la unistocasticidad, pero existe un método numérico para verificar la unistocasticidad basado en el algoritmo de Haagerup ^[4]. ${\estilo de visualización n=4}$
El teorema de Schur-Horn es equivalente a la siguiente propiedad de "convexidad débil" del conjunto de matrices unistocásticas : para cualquier vector, el conjunto es la envoltura convexa del conjunto de vectores obtenido por todas las permutaciones de las entradas del vector (el politopo de permutación generado por el vector ). ${\mathcal {U}}_{n}$ $n\veces n$ $v\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\mathcal {U}}_{n}v$ ${\estilo de visualización v}$ ${\estilo de visualización v}$
El conjunto de matrices unistocásticas tiene un interior no vacío. La matriz unistocástica correspondiente a la matriz unitaria con las entradas , donde y , es un punto interior de . $n\veces n$ ${\mathcal {U}}_{n}\subconjunto \mathbb {R} ^{(n-1)^{2}}$ $n\veces n$ $U_{ij}=\delta _{ij}+{\frac {\theta -1}{n}}$ $|\theta |=1$ $\theta \neq \pm 1$ ${\mathcal {U}}_{n}$

Referencias

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^ Jarlskog, C. (2 de septiembre de 1985). "Conmutador de las matrices de masa de los quarks en el modelo electrodébil estándar y una medida de no conservación máxima de CP". Physical Review Letters . 55 (10). American Physical Society (APS): 1039–1042. doi :10.1103/physrevlett.55.1039. ISSN 0031-9007.
^ Dunkl, Charles; Życzkowski, Karol (2009). "Volumen del conjunto de matrices unistocásticas de orden 3 y el invariante medio de Jarlskog". Journal of Mathematical Physics . 50 (12). AIP Publishing: 123521. arXiv : 0909.0116 . doi :10.1063/1.3272543. ISSN 0022-2488.
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