Teorema de Schur-Horn

Caracteriza la diagonal de una matriz hermítica con valores propios dados

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , el teorema de Schur-Horn , llamado así por Issai Schur y Alfred Horn , caracteriza la diagonal de una matriz hermítica con valores propios dados . Ha inspirado investigaciones y generalizaciones sustanciales en el contexto de la geometría simpléctica . Algunas generalizaciones importantes son el teorema de convexidad de Kostant , el teorema de convexidad de Atiyah-Guillemin-Sternberg y el teorema de convexidad de Kirwan.

Declaración

Teorema de Schur-Horn  —  Teorema. Sean y dos secuencias de números reales dispuestos en un orden no creciente. Existe una matriz hermítica con valores diagonales (en este orden, comenzando con en la parte superior izquierda) y valores propios si y solo si y ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}$ ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\qquad n=1,\dots ,N-1}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}d_{i}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}.}$$

Las desigualdades anteriores también pueden escribirse: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}d_{1}&\;\leq \;&&\lambda _{1}\\[0.3ex]d_{2}+d_{1}&\;\leq &&\lambda _{1}+\lambda _{2}\\[0.3ex]\vdots &\;\leq &&\vdots \\[0.3ex]d_{N-1}+\cdots +d_{2}+d_{1}&\;\leq &&\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{N-1}\\[0.3ex]d_{N}+d_{N-1}+\cdots +d_{2}+d_{1}&\;=&&\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{N-1}+\lambda _{N}.\\[0.3ex]\end{alignedat}}}$$

El teorema de Schur-Horn puede así replantearse de forma más sucinta y sencilla:

Teorema de Schur-Horn : Dadas cualquier secuencia real no creciente de elementos diagonales deseados y valores propios deseados, existe una matriz hermítica con estos valores propios y elementos diagonales si y solo si estas dos secuencias tienen la misma suma y para cada entero posible la suma de los primeros elementos diagonales deseados nunca excede la suma de los primeros valores propios deseados. ${\displaystyle d_{1}\geq \cdots \geq d_{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N},}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Reforma que permite diagonales y valores propios desordenados

Aunque este teorema requiere que y no sean crecientes, es posible reformularlo sin estos supuestos. ${\displaystyle d_{1}\geq \cdots \geq d_{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}}$

Comenzamos con el supuesto El lado izquierdo de la caracterización del teorema (es decir, "existe una matriz hermítica con estos valores propios y elementos diagonales") depende del orden de los elementos diagonales deseados (porque cambiar su orden cambiaría la matriz hermítica cuya existencia está en cuestión) pero no depende del orden de los valores propios deseados. ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}.}$ ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}.}$

En el lado derecho de la caracterización, solo los valores de dependen de la suposición. Observe que esta suposición significa que la expresión es solo una notación para la suma de los valores propios deseados más grandes. Reemplazar la expresión con este equivalente escrito hace que la suposición sea completamente innecesaria: ${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}.}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{N}}$

Teorema de Schur-Horn : Dados cualesquiera valores propios reales deseados y una secuencia real no creciente de elementos diagonales deseados, existe una matriz hermítica con estos valores propios y elementos diagonales si y solo si estas dos secuencias tienen la misma suma y para cada entero posible la suma de los primeros elementos diagonales deseados nunca excede la suma de los valores propios deseados más grandes . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d_{1}\geq \cdots \geq d_{N},}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Politopo de permutación generado por un vector

El politopo de permutación generado por denotado por se define como la envoltura convexa del conjunto Aquí denota el grupo simétrico en En otras palabras, el politopo de permutación generado por es la envoltura convexa del conjunto de todos los puntos en que se puede obtener reordenando las coordenadas de El politopo de permutación de por ejemplo, es la envoltura convexa del conjunto que en este caso es el triángulo sólido (relleno) cuyos vértices son los tres puntos en este conjunto. Nótese, en particular, que reordenar las coordenadas de no cambia el politopo de permutación resultante; en otras palabras, si un punto se puede obtener de reordenando sus coordenadas, entonces ${\displaystyle {\tilde {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \{(x_{\pi (1)},x_{\pi (2)},\ldots ,x_{\pi (n)})\in \mathbb {R} ^{n}:\pi \in S_{n}\}.}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n}).}$ ${\displaystyle (1,1,2),}$ ${\displaystyle \{(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)\},}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\tilde {y}}={\mathcal {K}}_{\tilde {x}}.}$

El siguiente lema caracteriza el politopo de permutación de un vector en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Lema ^{[1] [2]}  —  Si y tienen la misma suma , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle x_{1}\geq \cdots \geq x_{n},}$ ${\displaystyle y_{1}\geq \cdots \geq y_{n},}$ ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=y_{1}+\cdots +y_{n},}$

1. ${\displaystyle {\tilde {y}}:=(y_{1},\cdots ,y_{n})\in {\mathcal {K}}_{\tilde {x}}.}$
2. ${\displaystyle y_{1}\leq x_{1},}$y y y ${\displaystyle y_{1}+y_{2}\leq x_{1}+x_{2},}$ ${\displaystyle \ldots ,}$ ${\displaystyle y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n-1}\leq x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}}$
3. Existe una secuencia de puntos en que comienza con y termina con tal que para cada uno en alguna transposición en y alguna en dependiendo de ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1},\dots ,{\tilde {x}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\tilde {x}},}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}={\tilde {x}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{n}={\tilde {y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{k+1}=t{\tilde {x}}_{k}+(1-t)\tau ({\tilde {x_{k}}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n-1\},}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle S_{n},}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle k.}$

Reformulación del teorema de Schur-Horn

En vista de la equivalencia de (i) y (ii) en el lema mencionado anteriormente, se puede reformular el teorema de la siguiente manera.

Teorema. Sean y números reales. Existe una matriz hermítica con entradas diagonales y valores propios si y solo si el vector está en el politopo de permutación generado por ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}$ ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}$ ${\displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n})}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}).}$

Nótese que en esta formulación no es necesario imponer ningún orden en las entradas de los vectores y ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{N}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}.}$

Demostración del teorema de Schur-Horn

Sea una matriz hermítica con valores propios contados con multiplicidad. Denotemos la diagonal de por considerada como un vector en y el vector por Sea la matriz diagonal que tiene en su diagonal. ${\displaystyle A=(a_{jk})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=1}^{n},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {a}},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}.}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$

( ) puede escribirse en la forma donde es una matriz unitaria. Entonces ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U\Lambda U^{-1},}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle a_{ii}=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|u_{ij}|^{2},\;i=1,2,\ldots ,n.}$$

Sea la matriz definida por Puesto que es una matriz unitaria, es una matriz doblemente estocástica y tenemos Por el teorema de Birkhoff-von Neumann , se puede escribir como una combinación convexa de matrices de permutación. Por lo tanto, está en el politopo de permutación generado por Esto demuestra el teorema de Schur. ${\displaystyle S=(s_{ij})}$ ${\displaystyle s_{ij}=|u_{ij}|^{2}.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tilde {a}}=S{\tilde {\lambda }}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tilde {a}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}.}$

( ) Si ocurre como la diagonal de una matriz hermítica con valores propios , entonces también ocurre como la diagonal de alguna matriz hermítica con el mismo conjunto de valores propios, para cualquier transposición en Uno puede probarlo de la siguiente manera. ${\displaystyle \Leftarrow }$ ${\displaystyle {\tilde {a}}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=1}^{n},}$ ${\displaystyle t{\tilde {a}}+(1-t)\tau ({\tilde {a}})}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle S_{n}.}$

Sea un número complejo de módulo tal que y sea una matriz unitaria con en las entradas y , respectivamente, en las entradas y , respectivamente, en todas las entradas diagonales distintas de y y en todas las demás entradas. Entonces tiene en la entrada, en la entrada y en la entrada donde Sea la transposición de que intercambia y ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\overline {\xi a_{jk}}}=-\xi a_{jk}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \xi {\sqrt {t}},{\sqrt {t}}}$ ${\displaystyle j,j}$ ${\displaystyle k,k}$ ${\displaystyle -{\sqrt {1-t}},\xi {\sqrt {1-t}}}$ ${\displaystyle j,k}$ ${\displaystyle k,j}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle j,j}$ ${\displaystyle k,k,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle UAU^{-1}}$ ${\displaystyle ta_{jj}+(1-t)a_{kk}}$ ${\displaystyle j,j}$ ${\displaystyle (1-t)a_{jj}+ta_{kk}}$ ${\displaystyle k,k}$ ${\displaystyle a_{ll}}$ ${\displaystyle l,l}$ ${\displaystyle l\neq j,k.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k.}$

Entonces la diagonal de es ${\displaystyle UAU^{-1}}$ ${\displaystyle t{\tilde {a}}+(1-t)\tau ({\tilde {a}}).}$

${\displaystyle \Lambda }$es una matriz hermítica con valores propios Usando la equivalencia de (i) y (iii) en el lema mencionado anteriormente, vemos que cualquier vector en el politopo de permutación generado por ocurre como la diagonal de una matriz hermítica con los valores propios prescritos. Esto prueba el teorema de Horn. ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=1}^{n}.}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}),}$

Perspectiva de geometría simpléctica

El teorema de Schur-Horn puede verse como un corolario del teorema de convexidad de Atiyah-Guillemin-Sternberg de la siguiente manera. Sea el grupo de matrices unitarias. Su álgebra de Lie, denotada por es el conjunto de matrices antihermíticas . Se puede identificar el espacio dual con el conjunto de matrices hermíticas a través del isomorfismo lineal definido por para El grupo unitario actúa sobre por conjugación y actúa sobre por la acción coadjunta . Bajo estas acciones, es una función -equivariante es decir para cada el siguiente diagrama conmuta, ${\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ ${\displaystyle \Psi :{\mathcal {H}}(n)\rightarrow {\mathfrak {u}}(n)^{*}}$ ${\displaystyle \Psi (A)(B)=\mathrm {tr} (iAB)}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {H}}(n),B\in {\mathfrak {u}}(n).}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)^{*}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}(n)}$

Sea y la matriz diagonal con entradas dadas por Sea la órbita de bajo la acción -, es decir, la conjugación. Bajo el isomorfismo -equivariante, la estructura simpléctica en la órbita coadjunta correspondiente puede llevarse a Por lo tanto, es una variedad -hamiltoniana . ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}=(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {H}}(n)}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}$ ${\displaystyle \Psi ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}$

Sea el subgrupo de Cartan de que consiste en matrices complejas diagonales con entradas diagonales de módulo El álgebra de Lie de consiste en matrices diagonales antihermíticas y el espacio dual consiste en matrices diagonales hermíticas, bajo el isomorfismo En otras palabras, consiste en matrices diagonales con entradas puramente imaginarias y consiste en matrices diagonales con entradas reales. La función de inclusión induce una función que proyecta una matriz a la matriz diagonal con las mismas entradas diagonales que El conjunto es una variedad hamiltoniana , y la restricción de a este conjunto es una función de momento para esta acción. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(n)}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$ ${\displaystyle \Psi .}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}\hookrightarrow {\mathfrak {u}}(n)}$ ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}(n)\cong {\mathfrak {u}}(n)^{*}\rightarrow {\mathfrak {t}}^{*},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \Phi }$

Según el teorema de Atiyah-Guillemin-Sternberg, es un politopo convexo. Una matriz está fijada bajo conjugación por cada elemento de si y solo si es diagonal. Las únicas matrices diagonales en son aquellas con entradas diagonales en algún orden. Por lo tanto, estas matrices generan el politopo convexo. Este es exactamente el enunciado del teorema de Schur-Horn. ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }})}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {H}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {O}}_{\tilde {\lambda }}).}$

Notas

1. Kadison, RV , Lema 5, El teorema de Pitágoras: I. El caso finito , Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 99 núm. 7 (2002):4178–4184 (electrónico)
2. Kadison, RV ; Pedersen, GK, Lema 13, Medias y combinaciones convexas de operadores unitarios , Math. Scand. 57 (1985), 249–266

Referencias

• Schur, Issai , Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie , Sitzungsber. Berl. Matemáticas. Ges. 22 (1923), 9-20.
• Horn, Alfred , Matrices doblemente estocásticas y la diagonal de una matriz de rotación, American Journal of Mathematics 76 (1954), 620–630.
• Kadison, RV ; Pedersen, GK, Medias y combinaciones convexas de operadores unitarios , Math. Scand. 57 (1985),249–266.
• Kadison, RV , El teorema de Pitágoras: I. El caso finito , Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 99 núm. 7 (2002):4178–4184 (electrónico)

Enlaces externos

• MundoMatemático
• Terry Tao : 254A, Notas 3a: Valores propios y sumas de matrices hermíticas
• Sheela Devadas, Peter J. Haine, Keaton Stubis: El teorema de Schur-Horn