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Matriz antihermítica

En álgebra lineal , se dice que una matriz cuadrada con elementos complejos es antihermítica o antihermítica si su transpuesta conjugada es el negativo de la matriz original. [1] Es decir, la matriz es antihermítica si satisface la relación

donde denota la transpuesta conjugada de la matriz . En forma de componente, esto significa que

para todos los índices y , donde es el elemento en la -ésima fila y -ésima columna de , y la línea superior denota conjugación compleja .

Las matrices antihermíticas pueden entenderse como las versiones complejas de las matrices antisimétricas reales , o como el análogo matricial de los números puramente imaginarios. [2] El conjunto de todas las matrices antihermíticas forma el álgebra de Lie , que corresponde al grupo de Lie U( n ) . El concepto puede generalizarse para incluir transformaciones lineales de cualquier espacio vectorial complejo con una norma sesquilineal .

Nótese que el adjunto de un operador depende del producto escalar considerado en el espacio complejo o real dimensional . Si denota el producto escalar en , entonces decir que es antiadjunto significa que para todo se tiene .

Los números imaginarios pueden considerarse como operadores antiadjuntos (ya que son como matrices), mientras que los números reales corresponden a operadores autoadjuntos .

Ejemplo

Por ejemplo, la siguiente matriz es antihermítica porque

Propiedades

Descomposición en hermítica y hemihermítica

Véase también

Notas

  1. ^ Horn y Johnson (1985), §4.1.1; Meyer (2000), §3.2
  2. ^ Horn y Johnson (1985), §4.1.2
  3. ^ Horn y Johnson (1985), §2.5.2, §2.5.4
  4. ^ Meyer (2000), Ejercicio 3.2.5
  5. ^ Véase Horn y Johnson (1985), §4.1.1

Referencias