Matriz cuya transpuesta conjugada es su negativa (inversa aditiva)
En álgebra lineal , se dice que una matriz cuadrada con elementos complejos es antihermítica o antihermítica si su transpuesta conjugada es el negativo de la matriz original. [1] Es decir, la matriz es antihermítica si satisface la relación
donde denota la transpuesta conjugada de la matriz . En forma de componente, esto significa que
para todos los índices y , donde es el elemento en la -ésima fila y -ésima columna de , y la línea superior denota conjugación compleja .
Las matrices antihermíticas pueden entenderse como las versiones complejas de las matrices antisimétricas reales , o como el análogo matricial de los números puramente imaginarios. [2] El conjunto de todas las matrices antihermíticas forma el álgebra de Lie , que corresponde al grupo de Lie U( n ) . El concepto puede generalizarse para incluir transformaciones lineales de cualquier espacio vectorial complejo con una norma sesquilineal .
Nótese que el adjunto de un operador depende del producto escalar considerado en el espacio complejo o real dimensional . Si denota el producto escalar en , entonces decir que es antiadjunto significa que para todo se tiene .
Los números imaginarios pueden considerarse como operadores antiadjuntos (ya que son como matrices), mientras que los números reales corresponden a operadores autoadjuntos .
Ejemplo
Por ejemplo, la siguiente matriz es antihermítica
porque
Propiedades
- Los valores propios de una matriz antihermítica son todos puramente imaginarios (y posiblemente cero). Además, las matrices antihermíticas son normales . Por lo tanto, son diagonalizables y sus vectores propios para valores propios distintos deben ser ortogonales. [3]
- Todas las entradas en la diagonal principal de una matriz antihermítica deben ser imaginarias puras ; es decir, en el eje imaginario (el número cero también se considera puramente imaginario). [4]
- Si y son antihermíticos, entonces es antihermítico para todos los escalares reales y . [5]
- es antihermítico si y sólo si (o equivalentemente, ) es hermítico . [5]
- es antihermítico si y sólo si la parte real es antisimétrica y la parte imaginaria es simétrica .
- Si es antihermítico, entonces es hermítico si es un entero par y antihermítico si es un entero impar.
- es antihermítico si y solo si para todos los vectores .
- Si es antihermítica, entonces la matriz exponencial es unitaria .
- El espacio de matrices antihermíticas forma el álgebra de Lie del grupo de Lie .
Descomposición en hermítica y hemihermítica
- La suma de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es hermítica.
- La diferencia de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es antihermítica. Esto implica que el conmutador de dos matrices hermíticas es antihermítico.
- Una matriz cuadrada arbitraria se puede escribir como la suma de una matriz hermítica y una matriz antihermítica :
Véase también
Notas
- ^ Horn y Johnson (1985), §4.1.1; Meyer (2000), §3.2
- ^ Horn y Johnson (1985), §4.1.2
- ^ Horn y Johnson (1985), §2.5.2, §2.5.4
- ^ Meyer (2000), Ejercicio 3.2.5
- ^ Véase Horn y Johnson (1985), §4.1.1
Referencias