Lemniscata de Bernoulli

Curva algebraica plana

Una lemniscata de Bernoulli y sus dos focos F ₁ y F ₂

La lemniscata de Bernoulli es la curva pedal de una hipérbola rectangular .

Espirales sinusoidales ( r ⁿ = –1 ⁿ cos( nθ ), θ = π /2 ) en coordenadas polares y sus equivalentes en coordenadas rectangulares :

  n = −2 : Hipérbola equilátera

  n = −1 : Línea

  n = −1/2 : Parábola

  n = 1/2 : Cardioide

  n = 1 : Círculo

  n = 2 : Lemniscata de Bernoulli

En geometría , la lemniscata de Bernoulli es una curva plana definida a partir de dos puntos dados F ₁ y F ₂ , conocidos como focos , a una distancia 2 c entre sí como el lugar geométrico de los puntos P de modo que PF ₁ · PF ₂ = c ² . La curva tiene una forma similar al numeral 8 y al símbolo ∞ . Su nombre proviene de lemniscatus , que en latín significa "decorado con cintas colgantes". Es un caso especial del óvalo de Cassini y es una curva algebraica racional de grado 4.

Esta lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como una modificación de una elipse , que es el lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias a cada uno de dos focos fijos es una constante . Un óvalo de Cassini , por el contrario, es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el producto de estas distancias es constante. En el caso en que la curva pase por el punto intermedio entre los focos, el óvalo es una lemniscata de Bernoulli.

Esta curva se puede obtener como la transformada inversa de una hipérbola , con el círculo de inversión centrado en el centro de la hipérbola (bisectriz de sus dos focos). También se puede dibujar mediante un mecanismo de unión en forma de mecanismo de Watt , con las longitudes de las tres barras del mecanismo y la distancia entre sus puntos extremos elegidos para formar un paralelogramo cruzado . ^[1]

Ecuaciones

Las ecuaciones se pueden expresar en términos de la distancia focal c o de la mitad del ancho a de una lemniscata. Estos parámetros se relacionan como a = c √ 2 .

• Su ecuación cartesiana es (salvo traslación y rotación):

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}&=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\\&=2c^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\end{aligned}}}$

• Como ecuación paramétrica :

  ${\displaystyle x={\frac {a\cos t}{1+\sin ^{2}t}};\qquad y={\frac {a\sin t\cos t}{1+\sin ^{2}t}}}$

• Una parametrización racional: ^[2]

  ${\displaystyle x=a{\frac {t+t^{3}}{1+t^{4}}};\qquad y=a{\frac {t-t^{3}}{1+t^{4}}}}$

• En coordenadas polares :

  ${\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos 2\theta }$

• Su ecuación en el plano complejo es:

  ${\displaystyle |z-c||z+c|=c^{2}}$

• En coordenadas bipolares de dos centros :

  ${\displaystyle rr'=c^{2}}$

• En coordenadas polares racionales :

  ${\displaystyle Q=2s-1}$

Longitud de arco y funciones elípticas

El seno y el coseno de la lemniscata relacionan la longitud de arco de un arco de la lemniscata con la distancia de un punto final desde el origen.

La determinación de la longitud de arco de los arcos de la lemniscata conduce a integrales elípticas , como se descubrió en el siglo XVIII. Alrededor de 1800, las funciones elípticas que invierten esas integrales fueron estudiadas por CF Gauss (en gran parte inédito en ese momento, pero con alusiones en las notas a sus Disquisitiones Arithmeticae ). Las redes de períodos tienen una forma muy especial, siendo proporcionales a los números enteros gaussianos . Por esta razón, el caso de funciones elípticas con multiplicación compleja por √ −1 se llama caso lemniscático en algunas fuentes.

Utilizando la integral elíptica

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

La fórmula de la longitud del arco L se puede dar como

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=4{\sqrt {2}}\,c\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}=4{\sqrt {2}}\,c\,\operatorname {arcsl} 1\\[6pt]&={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}\,c={\frac {2\pi }{\operatorname {M} (1,1/{\sqrt {2}})}}c\approx 7{.}416\cdot c\end{aligned}}}$

donde es la función gamma y es la media aritmético-geométrica . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {M} }$

Anglos

Dados dos puntos distintos y , sea el punto medio de . Entonces la lemniscata de diámetro también se puede definir como el conjunto de puntos , , , junto con el lugar geométrico de los puntos tales que es un ángulo recto (cf. el teorema de Tales y su recíproco). ^[3] ${\displaystyle {\rm {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {B}}}$ ${\displaystyle {\rm {M}}}$ ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ ${\displaystyle {\rm {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {B}}}$ ${\displaystyle {\rm {M}}}$ ${\displaystyle {\rm {P}}}$ ${\displaystyle |{\widehat {\rm {APM}}}-{\widehat {\rm {BPM}}}|}$

Relación entre ángulos en la lemniscata de Bernoulli

El siguiente teorema sobre los ángulos que ocurren en la lemniscata se debe al matemático alemán Gerhard Christoph Hermann Vechtmann , quien lo describió en 1843 en su disertación sobre lemniscatas. ^[4]

F ₁ y F ₂ son los focos de la lemniscata, O es el punto medio del segmento de línea F ₁ F ₂ y P es cualquier punto en la lemniscata fuera de la línea que conecta F ₁ y F ₂ . La normal n de la lemniscata en P interseca la línea que conecta F ₁ y F ₂ en R . Ahora el ángulo interior del triángulo OPR en O es un tercio del ángulo exterior del triángulo en R (ver también trisección del ángulo ). Además, el ángulo interior en P es el doble del ángulo interior en O .

Otras propiedades

La inversión de la hipérbola produce una lemniscata

• La lemniscata es simétrica a la línea que une sus focos F ₁ y F ₂ y también a la bisectriz perpendicular del segmento de línea F ₁ F ₂ .
• La lemniscata es simétrica al punto medio del segmento de línea F ₁ F ₂ .
• El área encerrada por la lemniscata es a ² = 2 c ² .
• La lemniscata es la inversión circular de una hipérbola y viceversa.
• Las dos tangentes en el punto medio O son perpendiculares y cada una de ellas forma un ángulo de ⁠π/4⁠ con la línea que une F ₁ y F ₂ .
• La sección transversal plana de un toro estándar tangente a su ecuador interior es una lemniscata.
• La curvatura en es . La curvatura máxima, que se produce en , es por tanto . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle {3 \over a^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (\pm a,0)}$ ${\displaystyle 3/a}$

Aplicaciones

La dinámica de esta curva y sus versiones más generalizadas se estudia en modelos cuasi-unidimensionales.

Véase también

• Lemniscata de Booth
• Lemniscata de Gerono
• Constante lemniscata
• Función elíptica lemniscática
• Óvalo de Cassini

Notas

1. Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008), ¿Qué tan redondo es tu círculo? Donde se encuentran la ingeniería y las matemáticas , Princeton University Press, págs. 58-59, ISBN 978-0-691-13118-4.
2. Lemmermeyer, Franz (2011). "Parametrización de curvas algebraicas". arXiv : 1108.6219 [math.NT].
3. Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). El número Pi . Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-3246-8.pág. 200
4. Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: La geometría según su historia. Springer, 2012, págs. 207-208

Referencias

• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pp. 4-5, 121-123, 145, 151, 184. ISBN 0-486-60288-5.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Lemniscata". MathWorld .
• "Lemniscata de Bernoulli" en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor
• "Lemniscata de Bernoulli" en MathCurve.
• Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli (en francés)