Nefroide

Curva plana; una epicicloide con radios que difieren en 1/2

Nefroide: definición

En geometría , una nefroide (del griego antiguo ὁ νεφρός (ho nephros)  ' con forma de riñón ') es una curva plana específica . Es un tipo de epicicloide en el que el radio del círculo más pequeño difiere del más grande en un factor de la mitad.

Nombre

Aunque el término nefroide se utilizó para describir otras curvas, Richard A. Proctor lo aplicó a la curva de este artículo en 1878. ^{[1] [2]}

Definición estricta

Una nefroide es

• una curva algebraica de grado 6.
• un epicicloide con dos cúspides
• una curva plana simple cerrada = una curva de Jordan

Ecuaciones

Generación de una nefroide por un círculo rodante.

Paramétrico

Si el círculo pequeño tiene un radio de , el círculo fijo tiene un punto medio y un radio de , el ángulo de giro del círculo pequeño es y el punto de inicio (ver diagrama), entonces se obtiene la representación paramétrica : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2\varphi }$ ${\displaystyle (2a,0)}$

${\displaystyle x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }$

El mapa complejo asigna el círculo unitario a una nefroide ^[3] ${\displaystyle z\to z^{3}+3z}$

Prueba de la representación paramétrica

La demostración de la representación paramétrica se realiza fácilmente utilizando números complejos y su representación como plano complejo . El movimiento del círculo pequeño se puede dividir en dos rotaciones. En el plano complejo, una rotación de un punto alrededor del punto (origen) por un ángulo se puede realizar mediante la multiplicación del punto (número complejo) por . Por lo tanto, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }}$

La rotación alrededor de un punto por ángulo es ${\displaystyle \Phi _{3}}$ ${\displaystyle 3a}$ ${\displaystyle 2\varphi }$ ${\displaystyle :z\mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi }}$

La rotación alrededor del punto por ángulo es . ${\displaystyle \Phi _{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle :\quad z\mapsto ze^{i\varphi }}$

Un punto de la nefroide se genera por la rotación del punto por y la rotación posterior con : ${\displaystyle p(\varphi )}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \Phi _{3}}$ ${\displaystyle \Phi _{0}}$

${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{0}(\Phi _{3}(2a))=\Phi _{0}(3a-ae^{i2\varphi })=(3a-ae^{i2\varphi })e^{i\varphi }=3ae^{i\varphi }-ae^{i3\varphi }}$.

De aquí se obtiene

${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi &=&6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,&&\\y(\varphi )&=&3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi &=&4a\sin ^{3}\varphi &.&\end{array}}}$

( Se utilizaron las fórmulas. Ver funciones trigonométricas .) ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1,\ \cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi ,\;\sin 3\varphi =3\sin \varphi -4\sin ^{3}\varphi }$

Implícito

Insertar y en la ecuación ${\displaystyle x(\varphi )}$ ${\displaystyle y(\varphi )}$

• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}$

muestra que esta ecuación es una representación implícita de la curva.

Prueba de la representación implícita

Con

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-4a^{2}=(3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi )^{2}+(3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi )^{2}-4a^{2}=\cdots =6a^{2}(1-\cos 2\varphi )=12a^{2}\sin ^{2}\varphi }$

Uno consigue

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=(12a^{2})^{3}\sin ^{6}\varphi =108a^{4}(4a\sin ^{3}\varphi )^{2}=108a^{4}y^{2}\ .}$

Orientación

Si las cúspides están en el eje y la representación paramétrica es

${\displaystyle x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).}$

y el implícito:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.}$

Propiedades métricas

Para la nefroide por encima de la

• La longitud del arco es ${\displaystyle L=24a,}$
• área y ${\displaystyle A=12\pi a^{2}\ }$
• El radio de curvatura es ${\displaystyle \rho =|3a\sin \varphi |.}$

Las pruebas de estas afirmaciones utilizan fórmulas adecuadas sobre curvas ( longitud del arco , área y radio de curvatura ) y la representación paramétrica anterior.

${\displaystyle x(\varphi )=6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=4a\sin ^{3}\varphi }$

y sus derivados

${\displaystyle {\dot {x}}=-6a\sin \varphi (1-2\cos ^{2}\varphi )\ ,\quad \ {\ddot {x}}=-6a\cos \varphi (5-6\cos ^{2}\varphi )\ ,}$

${\displaystyle {\dot {y}}=12a\sin ^{2}\varphi \cos \varphi \quad ,\quad \quad \quad \quad {\ddot {y}}=12a\sin \varphi (3\cos ^{2}\varphi -1)\ .}$

Prueba de la longitud del arco

${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\;d\varphi =\cdots =12a\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \;d\varphi =24a}$.

Prueba del área

${\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}|\int _{0}^{\pi }[x{\dot {y}}-y{\dot {x}}]\;d\varphi |=\cdots =24a^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\varphi \;d\varphi =12\pi a^{2}}$.

Prueba del radio de curvatura

${\displaystyle \rho =\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|=\cdots =|3a\sin \varphi |.}$

Nefroide como envoltura de un lápiz de círculos

Construcción

• Se puede generar haciendo rodar un círculo de radio por el exterior de un círculo fijo de radio . Por lo tanto, una nefroide es una epicicloide . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$

Nefroide como envoltura de un lápiz de círculos

• Sea un círculo y puntos de un diámetro , entonces la envolvente del lápiz de círculos, que tienen puntos medios en y se tocan es una nefroide con cúspides . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ ${\displaystyle d_{12}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle d_{12}}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$

Prueba

Sea el círculo con punto medio y radio . El diámetro puede estar en el eje x (ver diagrama). El lápiz de círculos tiene ecuaciones: ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle (2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle f(x,y,\varphi )=(x-2a\cos \varphi )^{2}+(y-2a\sin \varphi )^{2}-(2a\sin \varphi )^{2}=0\ .}$

La condición del sobre es

${\displaystyle f_{\varphi }(x,y,\varphi )=2a(x\sin \varphi -y\cos \varphi -2a\cos \varphi \sin \varphi )=0\ .}$

Se puede comprobar fácilmente que el punto de la nefroide es una solución del sistema y, por tanto, un punto de la envolvente del lápiz de círculos. ${\displaystyle p(\varphi )=(6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \;,\;4a\sin ^{3}\varphi )}$ ${\displaystyle f(x,y,\varphi )=0,\;f_{\varphi }(x,y,\varphi )=0}$

Nefroide como envoltura de un lápiz de líneas

nefroide: tangentes como cuerdas de un círculo, principio

nefroide: tangentes como cuerdas de un círculo

De manera similar a la generación de un cardioide como envolvente de un lápiz de líneas se cumple el siguiente procedimiento:

1. Dibuja un círculo, divide su perímetro en partes iguales con puntos (ver diagrama) y numéralas consecutivamente. ${\displaystyle 3N}$
2. Dibuje las cuerdas: . (es decir: El segundo punto se mueve a una velocidad triple). ${\displaystyle (1,3),(2,6),....,(n,3n),....,(N,3N),(N+1,3),(N+2,6),....,}$
3. La envoltura de estos acordes es una nefroide.

Prueba

La siguiente consideración utiliza fórmulas trigonométricas para . Para simplificar los cálculos, se proporciona la prueba para la nefroide con cúspides en el eje y. Ecuación de la tangente : para la nefroide con representación paramétrica ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta ,\ \sin \alpha +\sin \beta ,\ \cos(\alpha +\beta ),\ \cos 2\alpha }$

${\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\;y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi }$:

A partir de aquí se determina en primer lugar el vector normal . La ecuación de la tangente es: ${\displaystyle {\vec {n}}=({\dot {y}},-{\dot {x}})^{T}}$
${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$

${\displaystyle (\cos 2\varphi \cdot x\ +\ \sin 2\varphi \cdot y)\cos \varphi =4\cos ^{2}\varphi \ .}$

Se obtienen las cúspides de la nefroide, donde no hay tangente. Se puede dividir por para obtener ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \varphi \neq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos \varphi }$

• ${\displaystyle \cos 2\varphi \cdot x+\sin 2\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ .}$

Ecuación de la cuerda : para el círculo con punto medio y radio : La ecuación de la cuerda que contiene los dos puntos es: ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle (4\cos \theta ,4\sin \theta ),\ (4\cos {\color {red}3}\theta ,4\sin {\color {red}3}\theta ))}$

${\displaystyle (\cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y)\sin \theta =4\cos \theta \sin \theta \ .}$

Porque la cuerda degenera en un punto. Se puede dividir por y se obtiene la ecuación de la cuerda: ${\displaystyle \theta =0,\pi }$ ${\displaystyle \theta \neq 0,\pi }$ ${\displaystyle \sin \theta }$

• ${\displaystyle \cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y=4\cos \theta \ .}$

Los dos ángulos se definen de forma diferente ( es la mitad del ángulo de rodadura, es el parámetro del círculo, cuyas cuerdas se determinan), ya que se obtiene la misma línea. Por lo tanto, cualquier cuerda del círculo anterior es tangente a la nefroide y ${\displaystyle \varphi ,\theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi =\theta }$

• La nefroide es la envoltura de las cuerdas del círculo.

Nefroide como cáustico de la mitad de un círculo.

Nefroide como cáustico de un círculo: principio

nefroide como cáustico de la mitad de un círculo

Las consideraciones hechas en la sección anterior dan una prueba de que la cáustica de la mitad de un círculo es una nefroide.

• Si en el plano los rayos de luz paralelos se encuentran con la mitad reflectante de un círculo (ver diagrama), entonces los rayos reflejados son tangentes a una nefroide.

Prueba

El círculo puede tener como punto medio el origen (como en el apartado anterior) y su radio es . El círculo tiene la representación paramétrica ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle k(\varphi )=4(\cos \varphi ,\sin \varphi )\ .}$

La tangente en el punto del círculo tiene un vector normal . El rayo reflejado tiene el vector normal (ver diagrama) y que contiene el punto del círculo . Por lo tanto, el rayo reflejado es parte de la línea con ecuación ${\displaystyle K:\ k(\varphi )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}2}\varphi ,\sin {\color {red}2}\varphi )^{T}}$ ${\displaystyle K:\ 4(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$

${\displaystyle \cos {\color {red}2}\varphi \cdot x\ +\ \sin {\color {red}2}\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ ,}$

que es tangente a la nefroide de la sección anterior en el punto

${\displaystyle P:\ (3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,3\sin \varphi +\sin 3\varphi )}$(ver arriba).

Cáustico nefroide en el fondo de una taza de té

La evoluta y la involuta de una nefroide

Nefroide y su evoluta
magenta: punto con círculo osculador y centro de curvatura

Evolucionar

La evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura. En detalle: Para una curva con radio de curvatura la evoluta tiene la representación ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(s)}$ ${\displaystyle \rho (s)}$

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}$

con la unidad adecuadamente orientada normal. ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$

Para una nefroide se obtiene:

• La evoluta de una nefroide es otra nefroide de la mitad de tamaño y girada 90 grados (ver diagrama).

Prueba

La nefroide como se muestra en la imagen tiene la representación paramétrica.

${\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\quad y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi \ ,}$

el vector normal unitario que apunta al centro de curvatura

${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\cos 2\varphi ,-\sin 2\varphi )^{T}}$(ver sección anterior)

y el radio de curvatura (véase apartado sobre propiedades métricas). Por tanto, la evoluta tiene la representación: ${\displaystyle 3\cos \varphi }$

${\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \cos 2\varphi =\cdots =3\cos \varphi -2\cos ^{3}\varphi ,}$

${\displaystyle y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \sin 2\varphi \ =\cdots =2\sin ^{3}\varphi \ ,}$

que es una nefroide de la mitad de tamaño y rotada 90 grados (ver diagrama y sección § Ecuaciones arriba)

Evolvente

Como la evoluta de una nefroide es otra nefroide, la involuta de la nefroide también es otra nefroide. La nefroide original de la imagen es la involuta de la nefroide más pequeña.

Inversión (verde) de una nefroide (roja) a través del círculo azul

Inversión de una nefroide

La inversión

${\displaystyle x\mapsto {\frac {4a^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y\mapsto {\frac {4a^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$

A través del círculo con punto medio y radio se traza el nefroide con ecuación ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}$

sobre la curva de grado 6 con ecuación

${\displaystyle (4a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{3}=27a^{2}(x^{2}+y^{2})y^{2}}$(ver diagrama) .

Una nefroide en la vida cotidiana: una cáustica del reflejo de la luz en el interior de un cilindro.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Nefroide". MundoMatemático .
2. "Nephroid". Historia de las matemáticas . Consultado el 12 de agosto de 2022 .
3. Documentación matemática de los objetos realizados en el programa de visualización 3D-XplorMath

• Arganbright, D., Manual práctico de curvas de hojas de cálculo y construcciones geométricas , CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0 , pág. 54. 
• Borceux, F., Un enfoque diferencial de la geometría: Trilogía geométrica III , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8 , pág. 148. 
• Lockwood, EH, Un libro de curvas, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7 , pág. 7. 

Enlaces externos

• Mundo matemático: nefroide
• Xahlee: nefroide