Trayectoria ortogonal

Definición en ecuaciones diferenciales

Círculos concéntricos con trayectorias ortogonales (1. ejemplo)

Parábolas con trayectorias ortogonales (2. ejemplo)

En matemáticas, una trayectoria ortogonal es una curva que intersecta cualquier curva de un lápiz dado de curvas (planas) ortogonalmente .

Por ejemplo, las trayectorias ortogonales de un lápiz de círculos concéntricos son las líneas que pasan por su centro común (ver diagrama).

Los métodos adecuados para la determinación de trayectorias ortogonales se obtienen mediante la resolución de ecuaciones diferenciales . El método estándar establece una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y la resuelve mediante separación de variables . Ambos pasos pueden resultar difíciles o incluso imposibles. En tales casos, hay que aplicar métodos numéricos.

Las trayectorias ortogonales se utilizan en matemáticas, por ejemplo, como sistemas de coordenadas curvas (es decir, coordenadas elípticas ) y aparecen en física como campos eléctricos y sus curvas equipotenciales .

Si la trayectoria intersecta las curvas dadas en un ángulo arbitrario (pero fijo), se obtiene una trayectoria isogonal .

Determinación de la trayectoria ortogonal

En coordenadas cartesianas

Generalmente, se supone que el lápiz de curvas está dado implícitamente por una ecuación

(0) 1. ejemplo 2. ejemplo ${\displaystyle :\ F(x,y,c)=0,\qquad }$ ${\displaystyle :\ x^{2}+y^{2}-c=0\ ,\qquad }$ ${\displaystyle y=cx^{2}\ \leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ ,}$

donde es el parámetro del lápiz. Si el lápiz se da explícitamente mediante una ecuación , se puede cambiar la representación a una implícita: . Para las consideraciones siguientes, se supone que existen todas las derivadas necesarias. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle y=f(x,c)}$ ${\displaystyle y-f(x,c)=0}$

Paso 1.

Diferenciación implícita para rendimientos ${\displaystyle x}$

(1) en 1. ejemplo 2. ejemplo ${\displaystyle :\ F_{x}(x,y,c)+F_{y}(x,y,c)\;y'=0,\qquad }$ ${\displaystyle :\ 2x+2yy'=0\ ,\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'-2cx=0\ .}$

Paso 2.

Ahora se supone que la ecuación (0) puede resolverse para el parámetro , que por lo tanto puede eliminarse de la ecuación (1). Se obtiene la ecuación diferencial de primer orden ${\displaystyle c}$

(2) en 1. ejemplo 2. ejemplo ${\displaystyle :\ y'=f(x,y),\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'=2{\frac {y}{x}}\ ,}$

lo cual se cumple con el lápiz de curvas dado.

Paso 3.

Como la pendiente de la trayectoria ortogonal en un punto es el inverso multiplicativo negativo de la pendiente de la curva dada en este punto, la trayectoria ortogonal satisface la ecuación diferencial de primer orden. ${\displaystyle (x,y)}$

(3) en 1. ejemplo 2. ejemplo ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'=y/x\ ,\qquad }$ ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{2y}}\ .}$

Paso 4.

Esta ecuación diferencial puede (con suerte) resolverse mediante un método adecuado.
Para ambos ejemplos, la separación de variables es adecuada. Las soluciones son:
en el ejemplo 1, las líneas y en el ejemplo 2, las elipses. ${\displaystyle y=mx,\ m\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=d,\ d>0\ .}$

En coordenadas polares

Si el lápiz de curvas se representa implícitamente en coordenadas polares por

(0p.) ${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=0}$

Se determina, al igual que en el caso cartesiano, la ecuación diferencial libre de parámetros.

(1pág.) ${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad }$

(2pág.) ${\displaystyle :\ \varphi '=f(r,\varphi )}$

del lápiz. La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es entonces (véase Redheffer & Port, pág. 65, Heuser, pág. 120)

(3p.) ${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1}{{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}}\ .}$

Cardioides ortogonales

Ejemplo: Cardioides :

(0p) (en el diagrama: azul) ${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=r-c(1+\cos \varphi )=0,\ c>0\ .\ }$

(1pág.) ${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \;\varphi '=0,\qquad }$

La eliminación de los rendimientos da la ecuación diferencial del lápiz dado: ${\displaystyle c}$

(2pág.) ${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}$

Por lo tanto la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es:

(3p.) ${\displaystyle :\ \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}}$

Después de resolver esta ecuación diferencial por separación de variables se obtiene

${\displaystyle r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ ,}$

que describe el lápiz de cardioides (rojo en el diagrama), simétrico al lápiz dado.

Trayectoria isogonal

Una curva que interseca cualquier curva de un lápiz dado de curvas (planas) por un ángulo fijo se llama trayectoria isogonal . ${\displaystyle \alpha }$

Entre la pendiente de una trayectoria isogonal y la pendiente de la curva del lápiz en un punto se cumple la siguiente relación: ${\displaystyle \eta '}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \eta '={\frac {y'+\tan(\alpha )}{1-y'\tan(\alpha )}}\ .}$

Esta relación se debe a la fórmula para . Para se obtiene la condición de la trayectoria ortogonal . ${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \alpha \rightarrow 90^{\circ }}$

Para determinar la trayectoria isogonal hay que ajustar el paso 3 de la instrucción anterior:

3. paso (isog. traj.)

La ecuación diferencial de la trayectoria isogonal es:

• (3i) ${\displaystyle :\ y'={\frac {f(x,y)+\tan(\alpha )}{1-f(x,y)\;\tan(\alpha )}}\ .}$

Trayectorias isogonales de círculos concéntricos para ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$

Para el primer ejemplo (círculos concéntricos) y el ángulo que se obtiene ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$

(3i) ${\displaystyle :\ y'={\frac {-x/y+1}{1+x/y}}\ .}$

Se trata de un tipo especial de ecuación diferencial, que puede transformarse mediante la sustitución en una ecuación diferencial que puede resolverse mediante la separación de variables . Tras invertir la sustitución se obtiene la ecuación de la solución: ${\displaystyle z=y/x}$

${\displaystyle \arctan {\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})=C\ .}$

La introducción de coordenadas polares conduce a la ecuación simple

${\displaystyle C-\varphi =\ln(r)\ ,}$

que describe espirales logarítmicas (ver diagrama).

Métodos numéricos

En caso de que la ecuación diferencial de las trayectorias no pueda resolverse por métodos teóricos, hay que resolverla numéricamente, por ejemplo mediante el método de Runge-Kutta .

Véase también

• Óvalo de Cassini
• Secciones cónicas confocales
• Trayectoria
• Círculos apolíneos , pares de familias de círculos que son todos ortogonales entre sí.

Referencias

• A. Jeffrey: Matemáticas avanzadas de ingeniería , Hartcourt/Academic Press, 2002, ISBN  0-12-382592-X , pág. 233.
• SB Rao: Ecuaciones diferenciales , University Press, 1996, ISBN 81-7371-023-6 , pág. 95. 
• RM Redheffer, D. Port: Ecuaciones diferenciales: teoría y aplicaciones , Jones & Bartlett, 1991, ISBN 0-86720-200-9 , pág. 63. 
• H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen , Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2 , pág. 120. 
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (2012), Ecuaciones diferenciales ordinarias, Dover Books on Mathematics, Courier Dover, pág. 115, ISBN 9780486134642.

Enlaces externos

• Exploración de trayectorias ortogonales: aplicación que permite al usuario dibujar familias de curvas y sus trayectorias ortogonales.
• mathcurve: LINEAS DE CAMPO, LINEAS ORTOGONALES, SISTEMA DOBLE ORTOGONAL