En geometría , una hipocicloide es una curva plana especial generada por la traza de un punto fijo en un círculo pequeño que rueda dentro de un círculo más grande. A medida que aumenta el radio del círculo más grande, la hipocicloide se parece más a la cicloide creada al hacer rodar un círculo sobre una línea.
La pareja Tusi, hipocicloide de dos cúspides, fue descrita por primera vez por el astrónomo y matemático persa del siglo XIII Nasir al-Din al-Tusi en Tahrir al-Majisti (Comentario sobre el Almagesto) . [1] [2] El pintor alemán y teórico del Renacimiento alemán Alberto Durero describió los epitrocoides en 1525, y más tarde Roemer y Bernoulli se concentraron en algunos hipocicloides específicos, como el astroide, en 1674 y 1691, respectivamente. [3]
Si el círculo más pequeño tiene radio r y el círculo más grande tiene radio R = kr , entonces las ecuaciones paramétricas de la curva pueden estar dadas por:
Si k es un número entero, entonces la curva es cerrada y tiene k cúspides (es decir, esquinas agudas, donde la curva no es diferenciable ). Especialmente para k = 2 la curva es una línea recta y los círculos se llaman Pareja Tusi. Nasir al-Din al-Tusi fue el primero en describir estos hipocicloides y sus aplicaciones a la impresión de alta velocidad . [4] [5]
Si k es un número racional , digamos k = p / q expresado en términos más simples, entonces la curva tiene p cúspides.
Si k es un número irracional , entonces la curva nunca se cierra y llena el espacio entre el círculo más grande y un círculo de radio R − 2 r .
Cada hipocicloide (para cualquier valor de r ) es una braquistocrona para el potencial gravitacional dentro de una esfera homogénea de radio R. [6]
El área encerrada por una hipocicloide viene dada por: [3] [7]
La longitud del arco de una hipocicloide viene dada por: [7]
El hipocicloide es un tipo especial de hipotrocoide , que es un tipo particular de ruleta .
Un hipocicloide con tres cúspides se conoce como deltoides .
Una curva hipocicloide con cuatro cúspides se conoce como astroide .
El hipocicloide con dos "cúspides" es un caso degenerado pero aún muy interesante, conocido como pareja Tusi .
Cualquier hipocicloide con un valor integral de k , y por lo tanto k cúspides, puede moverse cómodamente dentro de otro hipocicloide con k +1 cúspides, de modo que los puntos del hipocicloide más pequeño siempre estarán en contacto con el más grande. Este movimiento parece "rodar", aunque técnicamente no es rodar en el sentido de la mecánica clásica, ya que implica un deslizamiento.
Las formas hipocicloides se pueden relacionar con grupos unitarios especiales , denotados SU( k ), que consisten en k × k matrices unitarias con determinante 1. Por ejemplo, los valores permitidos de la suma de entradas diagonales para una matriz en SU(3), son precisamente los puntos del plano complejo que se encuentran dentro de una hipocicloide de tres cúspides (un deltoides). Asimismo, la suma de las entradas diagonales de matrices SU(4) da puntos dentro de un astroide, y así sucesivamente.
Gracias a este resultado, se puede utilizar el hecho de que SU( k ) encaja dentro de SU( k+1 ) como subgrupo para demostrar que una epicicloide con k cúspides se mueve cómodamente dentro de una con k +1 cúspides. [8] [9]
La evoluta de un hipocicloide es una versión ampliada del propio hipocicloide, mientras que la involuta de un hipocicloide es una copia reducida de sí mismo. [10]
El pedal de una hipocicloide con polo en el centro del hipocicloide es una curva rosa .
La isóptica de un hipocicloide es un hipocicloide.
Con el juguete Spirograph se pueden dibujar curvas similares a las hipocicloides . En concreto, el espirógrafo puede dibujar hipotrocoides y epitrocoides .
El logotipo de los Pittsburgh Steelers , que se basa en Steelmark , incluye tres astroides (hipocicloides de cuatro cúspides ). En su columna semanal de NFL.com "Tuesday Morning Quarterback", Gregg Easterbrook a menudo se refiere a los Steelers como los hipocicloides. El equipo de fútbol chileno CD Huachipato basó su escudo en el logo de los Steelers y, como tal, presenta hipocicloides.
La primera temporada de Drew Carey del set de The Price Is Right presenta astroides en las tres puertas principales, la etiqueta de precio gigante y el área del tocadiscos. Los astroides en las puertas y el tocadiscos fueron eliminados cuando el programa cambió a transmisiones de alta definición a partir de 2008, y hoy en día sólo los muestra la etiqueta de precio gigante. [11]
Experiencia temprana demostrada que el mecanismo hipocicloidal era estructuralmente inadecuado para transmitir las grandes fuerzas desarrolladas por el pistón de una máquina de vapor.
Pero el mecanismo había demostrado su capacidad para convertir el movimiento lineal en movimiento giratorio, por lo que encontró aplicaciones alternativas de baja carga, como el accionamiento de máquinas de imprimir y de coser.
G. Cardano fue el Fue el primero en describir las aplicaciones de los hipocicloides en la tecnología de la imprenta de alta velocidad (1570).
centro de la bandera se encuentra una estrella (técnicamente, una hipocicloide) que representa la ciudad en la confluencia de los dos ríos.
