espirógrafo

Dispositivo de dibujo geométrico

El espirógrafo es un dispositivo de dibujo geométrico que produce curvas de ruleta matemática de la variedad técnicamente conocida como hipotrocoides y epitrocoides . La conocida versión de juguete fue desarrollada por el ingeniero británico Denys Fisher y vendida por primera vez en 1965.

El nombre es una marca registrada de Hasbro Inc. desde 1998 tras la compra de la empresa que había adquirido la empresa Denys Fisher. La marca Spirograph fue relanzada a nivel mundial en 2013, con sus configuraciones de producto originales, por Kahootz Toys .

Historia

Dibujar patrones con un anillo y una rueda de espirógrafo.

Vendedor ambulante en Fort Kochi, India, muestra los espirógrafos que vende.

En 1827, el arquitecto e ingeniero inglés nacido en Grecia Peter Hubert Desvignes desarrolló y publicitó un "Speiragraph", un dispositivo para crear elaborados dibujos en espiral. Un hombre llamado J. Jopling pronto afirmó haber inventado métodos similares. ^[1] Mientras trabajaba en Viena entre 1845 y 1848, Desvignes construyó una versión de la máquina que ayudaría a prevenir las falsificaciones de billetes, ^[2] ya que cualquiera de las casi infinitas variaciones de patrones de ruleta que podía producir eran extremadamente difíciles de aplicar ingeniería inversa. El matemático Bruno Abakanowicz inventó un nuevo espirógrafo entre 1881 y 1900. Sirvió para calcular un área delimitada por curvas. ^[3]

Los juguetes para dibujar basados ​​en engranajes existen desde al menos 1908, cuando se anunciaba The Marvelous Wondergraph en el catálogo de Sears . ^{[4] [5]} Un artículo que describe cómo hacer una máquina de dibujo Wondergraph apareció en la publicación Boys Mechanic en 1913. ^[6]

El juguete Spirograph definitivo fue desarrollado por el ingeniero británico Denys Fisher entre 1962 y 1964 creando máquinas de dibujo con piezas de Meccano . Fisher exhibió su espirógrafo en la Feria Internacional del Juguete de Nuremberg de 1965 . Posteriormente fue producido por su empresa. Los derechos de distribución en Estados Unidos fueron adquiridos por Kenner , Inc., que lo introdujo en el mercado estadounidense en 1966 y lo promocionó como un juguete infantil creativo. Más tarde, Kenner presentó Spirotot, Magnetic Spirograph, Spiroman y varios juegos de recarga. ^[7]

En 2013, Kahootz Toys relanzó la marca Spirograph en todo el mundo, con los engranajes y ruedas originales. Los productos modernos utilizan masilla removible en lugar de pasadores para mantener las piezas estacionarias en su lugar. El Spirograph fue Juguete del Año en 1967 y finalista de Juguete del Año, en dos categorías, en 2014. Kahootz Toys fue adquirida por PlayMonster LLC en 2019. ^[8]

Operación

Animación de un espirógrafo

Varios diseños de Spirograph dibujados con un set de Spirograph utilizando varios bolígrafos de diferentes colores.

Primer plano de una rueda de espirógrafo

El espirógrafo original lanzado en Estados Unidos constaba de dos anillos de plástico (o estatores ) de diferentes tamaños, con dientes de engranaje tanto en el interior como en el exterior de sus circunferencias. Una vez que cualquiera de estos anillos se mantuvo en su lugar (ya sea con alfileres, con un adhesivo o con la mano), cualquiera de las varias ruedas dentadas (o rotores) proporcionadas, cada una con orificios para un bolígrafo , se podía girar alrededor del anillo para dibujar formas geométricas. . Más tarde, el Super-Spirograph introdujo formas adicionales como anillos, triángulos y barras rectas. Todos los bordes de cada pieza tienen dientes para enganchar cualquier otra pieza; Los engranajes más pequeños caben dentro de los anillos más grandes, pero también pueden girar a lo largo del borde exterior de los anillos o incluso entre sí. Los engranajes se pueden combinar en muchas disposiciones diferentes. Los juegos a menudo incluían bolígrafos de varios colores, que podían mejorar un diseño cambiando de color, como se ve en los ejemplos que se muestran aquí.

Los principiantes a menudo deslizan los engranajes, especialmente cuando usan los orificios cerca del borde de las ruedas más grandes, lo que resulta en líneas quebradas o irregulares. Los usuarios experimentados pueden aprender a mover varias piezas entre sí (por ejemplo, el triángulo alrededor del anillo, con un círculo "trepando" desde el anillo hasta el triángulo).

Base matemática

Construcción geométrica para explicación matemática del espirógrafo.

Considere un círculo exterior fijo de radio centrado en el origen. Un círculo interior más pequeño de radio rueda hacia adentro y es continuamente tangente a él. Se asumirá que nunca se desliza (en un espirógrafo real, los dientes en ambos círculos evitan dicho deslizamiento). Supongamos ahora que un punto que se encuentra en algún lugar del interior se encuentra a una distancia del centro de . Este punto corresponde al agujero de la pluma en el disco interior de un espirógrafo real. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que en el momento inicial el punto estaba sobre el eje. Para encontrar la trayectoria creada por un espirógrafo, siga el punto mientras el círculo interior se pone en movimiento. ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle r<R}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle \rho <r}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

Ahora marque dos puntos una y otra vez . El punto siempre indica el lugar donde los dos círculos son tangentes. El punto , sin embargo, seguirá viajando y su ubicación inicial coincide con . Después de ponerse en movimiento en sentido antihorario alrededor de , tiene una rotación en el sentido de las agujas del reloj con respecto a su centro. La distancia que recorre ese punto es la misma que recorre el punto tangente a , debido a la ausencia de deslizamiento. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$

Ahora defina el nuevo sistema (relativo) de coordenadas con su origen en el centro de y sus ejes paralelos a y . Sea el parámetro el ángulo con el que gira el punto tangente y el ángulo con el que gira (es decir, con el que se desplaza) en el sistema relativo de coordenadas. Como no hay deslizamiento, las distancias recorridas por y a lo largo de sus respectivos círculos deben ser las mismas, por lo tanto ${\displaystyle (X',Y')}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle tR=(t-t')r,}$

o equivalente,

${\displaystyle t'=-{\frac {R-r}{r}}t.}$

Es común suponer que un movimiento en el sentido contrario a las agujas del reloj corresponde a un cambio de ángulo positivo y uno en el sentido de las agujas del reloj a un cambio de ángulo negativo. Un signo menos en la fórmula anterior ( ) se adapta a esta convención. ${\displaystyle t'<0}$

Sean las coordenadas del centro de en el sistema absoluto de coordenadas. Luego representa el radio de la trayectoria del centro de , que (nuevamente en el sistema absoluto) sufre un movimiento circular así: ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle R-r}$ ${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=(R-r)\cos t,\\y_{c}&=(R-r)\sin t.\end{aligned}}}$

Como se definió anteriormente, es el ángulo de rotación en el nuevo sistema relativo. Debido a que el punto obedece la ley habitual del movimiento circular, sus coordenadas en el nuevo sistema de coordenadas relativas son ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\rho \cos t',\\y'&=\rho \sin t'.\end{aligned}}}$

Para obtener la trayectoria de en el (antiguo) sistema de coordenadas absoluto, agregue estos dos movimientos: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos t',\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t+\rho \sin t',\\\end{aligned}}}$

donde se define arriba. ${\displaystyle \rho }$

Ahora, use la relación entre y derivada anteriormente para obtener ecuaciones que describan la trayectoria del punto en términos de un solo parámetro : ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos {\frac {R-r}{r}}t,\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t-\rho \sin {\frac {R-r}{r}}t\\\end{aligned}}}$

(usando el hecho de que la función es impar ). ${\displaystyle \sin }$

Es conveniente representar la ecuación anterior en términos del radio y de los parámetros adimensionales que describen la estructura del espirógrafo. Es decir, deja ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{o}}$

${\displaystyle l={\frac {\rho }{r}}}$

y

${\displaystyle k={\frac {r}{R}}.}$

El parámetro representa qué tan lejos se encuentra el punto del centro de . Al mismo tiempo, representa qué tan grande es el círculo interior con respecto al exterior . ${\displaystyle 0\leq l\leq 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$

Ahora se observa que

${\displaystyle {\frac {\rho }{R}}=lk,}$

y por lo tanto las ecuaciones de trayectoria toman la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=R\left[(1-k)\cos t+lk\cos {\frac {1-k}{k}}t\right],\\y(t)&=R\left[(1-k)\sin t-lk\sin {\frac {1-k}{k}}t\right].\\\end{aligned}}}$

El parámetro es un parámetro de escala y no afecta la estructura del Spirograph. Diferentes valores de producirían dibujos de espirógrafo similares . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Los dos casos extremos dan como resultado trayectorias degeneradas del espirógrafo. En el primer caso extremo, cuando , tenemos un círculo simple de radio , correspondiente al caso en el que se ha reducido a un punto. (La división por en la fórmula no es un problema, ya que ambas y son funciones acotadas). ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$

El otro caso extremo corresponde a que el radio del círculo interior coincida con el radio del círculo exterior , es decir . En este caso la trayectoria es de un solo punto. Intuitivamente, es demasiado grande para rodar dentro del mismo tamaño sin deslizarse. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle r=R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$

Si , entonces el punto está en la circunferencia de . En este caso, las trayectorias se denominan hipocicloides y las ecuaciones anteriores se reducen a las de una hipocicloide. ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$

Ver también

• Cardioide
• Precesión absidal
• ciclografo
• torno geométrico
• guilloché
• Armonógrafo
• hipotrocoide
• curva de lissajous
• Lista de funciones periódicas
• Pantógrafo
• Piñón
• rosa (matemáticas)
• Rosetta (órbita)
• Nebulosa del Espirógrafo , una nebulosa planetaria que muestra una delicada filigrana similar a un espirógrafo.
• pareja tusi

Referencias

1. Caballero, Juan I. (1828). "Revista de Mecánica". Caballero; Lacey - a través de Google Books.
2. "Espirógrafo y ejemplos de patrones dibujados con él | Colección del Grupo del Museo de Ciencias".
3. Goldstein, Catalina; Gris, Jeremy; Ritter, Jim (1996). L'Europe mathématique: historias, mitos, identidades. Ediciones MSH. pag. 293.ISBN​ 9782735106851. Consultado el 17 de julio de 2011 .
4. Kaveney, Wendy. "Colección CONTENTdm: Visor de objetos compuestos". bibliotecadigital.imcpl.org . Consultado el 17 de julio de 2011 .
5. Linderman, Jim. "ArtSlant - ¿Espirógrafo? ¡No, PATRÓN MÁGICO!". artslant.com . Consultado el 17 de julio de 2011 .
6. "De The Boy Mechanic (1913): un gráfico maravilloso". marcdatabase.com . 2004. Archivado desde el original el 30 de septiembre de 2011 . Consultado el 17 de julio de 2011 .
7. Coopee, Todd (17 de agosto de 2015). "Espirógrafo". ToyTales.ca .
8. "PlayMonster adquiere Kahootz Toys" . Consultado el 26 de febrero de 2023 .

enlaces externos

• Página web oficial
• Voevudko, AE (12 de marzo de 2018). "Curvas Gearográficas". Proyecto de código .