Astroide

Curva generada al hacer rodar un círculo dentro de otro círculo con un radio de 4x o (4/3)x

Astroide

La construcción hipocicloide del astroide.

Astroide x ^{2 ⁄ 3} + y ^{2 ⁄ 3} = r ^{2 ⁄ 3} como la envolvente común de una familia de elipses de ecuación ( x ⁄ a ) ² + ( y ⁄ b ) ² = r ² , donde a + b = 1 .

La envolvente de una escalera (líneas de colores en el cuadrante superior derecho) que se desliza por una pared vertical y sus reflexiones (otros cuadrantes) es un astroide. Los puntos medios trazan un círculo mientras que otros puntos trazan elipses similares a la figura anterior. En el archivo SVG, pase el cursor sobre una escalera para resaltarla.

Astroide como evoluta de elipse

En matemáticas , una astroide es un tipo particular de curva de ruleta : una hipocicloide con cuatro cúspides . En concreto, es el lugar geométrico de un punto de una circunferencia cuando rueda dentro de una circunferencia fija con cuatro veces el radio . ^[1] Por doble generación, también es el lugar geométrico de un punto de una circunferencia cuando rueda dentro de una circunferencia fija con 4/3 veces el radio. También se puede definir como la envolvente de un segmento de línea de longitud fija que se mueve manteniendo un punto final en cada uno de los ejes. Es por tanto la envolvente de la barra móvil en el Trammel de Arquímedes .

Su nombre moderno proviene de la palabra griega para " estrella ". Fue propuesta, originalmente en la forma de "Astrois", por Joseph Johann von Littrow en 1838. ^{[2] [3]} La curva tuvo una variedad de nombres, incluyendo tetracúspide (aún en uso), cubocicloide y paraciclo . Es casi idéntica en forma a la evoluta de una elipse.

Ecuaciones

Si el radio del círculo fijo es a entonces la ecuación está dada por ^[4] Esto implica que un astroide también es una superelipse . $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$

Las ecuaciones paramétricas son $${\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}$$

La ecuación del pedal con respecto al origen es $${\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}$$

La ecuación de Whewell es y la ecuación de Cesàro es $${\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}$$ $${\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}$$

La ecuación polar es ^[5] $${\displaystyle r={\frac {a}{\left(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}.}$$

El astroide es un lugar geométrico real de una curva algebraica plana de género cero. Tiene la ecuación ^[6] $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.}$$

El astroide es, por tanto, una curva algebraica real de grado seis.

Derivación de la ecuación polinómica

La ecuación polinómica puede derivarse de la ecuación de Leibniz mediante álgebra elemental: $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$

Cubo de ambos lados: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\[1.5ex]x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\[1ex]x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}$$

Eleva al cubo ambos lados nuevamente: $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}}$$

Pero desde entonces: $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$$

Resulta que $${\displaystyle \left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}=a^{2}.}$$

Por lo tanto: o $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}}$$ $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.}$$

Propiedades métricas

Área cercada ^[7]

${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$

Longitud de la curva

${\displaystyle 6a}$

Volumen de la superficie de revolución del área encerrada alrededor del eje x .

${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}$

Área de la superficie de revolución alrededor del eje x

${\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}$

Propiedades

El astroide tiene cuatro singularidades de cúspide en el plano real, los puntos de la estrella. Tiene dos singularidades de cúspide más complejas en el infinito y cuatro puntos dobles complejos, lo que da un total de diez singularidades.

La curva dual del astroide es la curva cruciforme con ecuación La evoluta de un astroide es un astroide el doble de grande. ${\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

El astroide tiene sólo una línea tangente en cada dirección orientada, lo que lo convierte en un ejemplo de erizo . ^[8]

Véase también

• Cardioide : un epicicloide con una cúspide
• Nefroide : un epicicloide con dos cúspides.
• Deltoides : un hipocicloide con tres cúspides.
• Astroide de Stoner-Wohlfarth : un uso de esta curva en el magnetismo
• Espirógrafo

Referencias

1. Yates
2. JJ contra Littrow (1838). "§99. Los astrois". Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik . Viena. pag. 299.
3. Loria, Gino (1902). Spezielle algebraische und trasscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Leipzig. págs.224.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
4. Yates, para la sección
5. Weisstein, Eric W. "Astroide". MundoMatemático .
6. Una derivación de esta ecuación se da en la p. 3 de http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf
7. Yates, para la sección
8. Nishimura, Takashi; Sakemi, Yu (2011). "Vista desde dentro". Revista de Matemáticas de Hokkaido . 40 (3): 361–373. doi : 10.14492/hokmj/1319595861 . SEÑOR  2883496.

• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. págs. 4-5, 34-35, 173-174. ISBN. 0-486-60288-5.
• Wells D (1991). Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 10-11. ISBN 0-14-011813-6.
• RC Yates (1952). "Astroide". Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. pp. 1 y siguientes.

Enlaces externos

• "Astroide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Astroide" en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor
• "Astroide" en La enciclopedia de formas matemáticas notables
• Artículo en 2dcurves.com
• Diccionario visual de curvas planas especiales, Xah Lee
• Barras de un astroide de Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project .