hipotrocoide

Curva trazada por un punto fuera de un círculo que gira dentro de otro círculo.

La curva roja es un hipotrocoide dibujado mientras el círculo negro más pequeño gira dentro del círculo azul más grande (los parámetros son R = 5, r = 3, d = 5 ).

En geometría , un hipotrocoide es una ruleta trazada por un punto unido a un círculo de radio r que rueda alrededor del interior de un círculo fijo de radio R , donde el punto está a una distancia d del centro del círculo interior.

Las ecuaciones paramétricas para un hipotrocoide son: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\end{aligned}}}$

donde θ es el ángulo formado por la horizontal y el centro del círculo rodante (estas no son ecuaciones polares porque θ no es el ángulo polar). Cuando se mide en radianes, θ toma valores de 0 a (donde MCM es el mínimo común múltiplo ). ${\displaystyle 2\pi \times {\tfrac {\operatorname {LCM} (r,R)}{R}}}$

Los casos especiales incluyen la hipocicloide con d = r y la elipse con R = 2 r y d ≠ r . ^[2] La excentricidad de la elipse es

${\displaystyle e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}}$

convirtiéndose en 1 cuando (ver pareja Tusi ). ${\displaystyle d=r}$

La elipse (dibujada en rojo) puede expresarse como un caso especial del hipotrocoide, con R = 2 r ( pareja Tusi ); aquí R = 10, r = 5, d = 1 .

El clásico juguete Spirograph traza curvas hipotrocoides y epitrocoides .

Los hipotrocoides describen el soporte de los valores propios de algunas matrices aleatorias con correlaciones cíclicas. ^[3]

Ver también

• Cicloide
• ciclogón
• epicicloide
• Rosetta (órbita)
• Precesión absidal
• espirógrafo

Referencias

1. J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas de planos especiales . Publicaciones de Dover. págs. 165-168. ISBN 0-486-60288-5.
2. Gray, Alfred (29 de diciembre de 1997). Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica (Segunda ed.). Prensa CRC. pag. 906.ISBN​ 9780849371646.
3. Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (16 de julio de 2019). "Ley hipotrocoídica universal para matrices aleatorias con correlaciones cíclicas". Revisión física E. 100 (1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Código Bib : 2019PhRvE.100a0302A. doi : 10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID  31499759. S2CID  119325369.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hipotrocoide". MundoMatemático .
• Animación flash de hipocicloide
• Hipotrocoide del Diccionario visual de curvas planas especiales, Xah Lee
• Animación hipotrocoide interactiva.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Hipotrocoide", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews