Ortóptica (geometría)

Todos los puntos en los que dos tangentes de una curva se intersecan en ángulos de 90°

En la geometría de curvas , una ortóptica es el conjunto de puntos para los cuales dos tangentes de una curva dada se encuentran en un ángulo recto.

  Parábola

  Ortóptica de la parábola (su directriz )

  Elipse

  Ortóptica de la elipse (su círculo director )

  Cuadro delimitador mínimo de la elipse ( circunscrito por el círculo ortóptico)

  Ejes mayor y menor de la elipse

  Hipérbola

  Ortóptica de la hipérbola (su círculo director)

  Ejes xy y asíntotas hiperbólicas

Ejemplos:

1. La ortóptica de una parábola es su directriz (prueba: ver más abajo),
2. La ortóptica de una elipse es el círculo director (ver abajo), ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$
3. La ortóptica de una hipérbola es el círculo director (en caso de a ≤ b no hay tangentes ortogonales, ver más abajo), ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\ a>b}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$
4. La ortóptica de un astroide es un cuadrifolio con la ecuación polar (ver más abajo). ${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=1}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi ),\ 0\leq \varphi <2\pi }$

Generalizaciones:

1. Una isóptica es el conjunto de puntos en los que dos tangentes de una curva dada se encuentran en un ángulo fijo (ver más abajo).
2. Una isóptica de dos curvas planas es el conjunto de puntos en los que dos tangentes se encuentran en un ángulo fijo .
3. El teorema de Tales sobre una cuerda PQ puede considerarse como la ortóptica de dos círculos que se degeneran en los dos puntos P y Q.

Ortóptica de una parábola

Cualquier parábola puede transformarse mediante un movimiento rígido (los ángulos no se modifican) en una parábola con ecuación . La pendiente en un punto de la parábola es . Reemplazando x se obtiene la representación paramétrica de la parábola con la pendiente de la tangente como parámetro: La tangente tiene la ecuación con la aún desconocida n , que puede determinarse insertando las coordenadas del punto de la parábola. Se obtiene ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle m=2ax}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {m}{2a}},{\tfrac {m^{2}}{4a}}\right)\!.}$ ${\displaystyle y=mx+n}$ ${\displaystyle y=mx-{\tfrac {m^{2}}{4a}}\;.}$

Si una tangente contiene el punto ( x ₀ , y ₀ ) , fuera de la parábola, entonces se cumple la ecuación, que tiene dos soluciones m ₁ y m ₂ correspondientes a las dos tangentes que pasan por ( x ₀ , y ₀ ) . El término libre de una ecuación cuadrática reducida es siempre el producto de sus soluciones. Por lo tanto, si las tangentes se cortan en ( x ₀ , y ₀ ) ortogonalmente, se cumplen las siguientes ecuaciones: La última ecuación es equivalente a que es la ecuación de la directriz . $${\displaystyle y_{0}=mx_{0}-{\frac {m^{2}}{4a}}\quad \rightarrow \quad m^{2}-4ax_{0}\,m+4ay_{0}=0}$$ $${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1=4ay_{0}}$$ $${\displaystyle y_{0}=-{\frac {1}{4a}}\,,}$$

Ortóptica de una elipse y una hipérbola

Elipse

Sea la elipse de la consideración. ${\displaystyle E:\;{\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

1. Las tangentes a la elipse en los vértices y covértices se intersecan en los 4 puntos , que se encuentran en la curva ortóptica deseada (el círculo ). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (\pm a,\pm b)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$
2. La tangente en un punto de la elipse tiene la ecuación (ver tangente a una elipse ). Si el punto no es un vértice, esta ecuación se puede resolver para y : ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\tfrac {u}{a^{2}}}x+{\tfrac {v}{b^{2}}}y=1}$ ${\displaystyle y=-{\tfrac {b^{2}u}{a^{2}v}}\;x\;+\;{\tfrac {b^{2}}{v}}\,.}$

Uso de las abreviaturas

y la ecuación que se obtiene es: Por lo tanto ${\displaystyle {\color {blue}{\tfrac {u^{2}}{a^{2}}}=1-{\tfrac {v^{2}}{b^{2}}}=1-{\tfrac {b^{2}}{n^{2}}}}}$ $${\displaystyle m^{2}={\frac {b^{4}u^{2}}{a^{4}v^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}{\color {red}{\frac {b^{4}}{v^{2}}}}{\color {blue}{\frac {u^{2}}{a^{2}}}}={\frac {1}{a^{2}}}{\color {red}n^{2}}{\color {blue}\left(1-{\frac {b^{2}}{n^{2}}}\right)}={\frac {n^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\,.}$$

y la ecuación de una tangente no vertical es Resolviendo las relaciones (I) para y respetando (II) se llega a la representación paramétrica de la elipse que depende de la pendiente: (Para otra prueba: ver Elipse § Representación paramétrica .) $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}.}$$ ${\displaystyle u,v}$ $${\displaystyle (u,v)=\left(-{\tfrac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\;,\;{\tfrac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right)\,.}$$

Si una tangente contiene el punto , fuera de la elipse, entonces la ecuación se cumple. Al eliminar la raíz cuadrada se llega a que tiene dos soluciones correspondientes a las dos tangentes que pasan por . El término constante de una ecuación cuadrática mónica es siempre el producto de sus soluciones. Por lo tanto, si las tangentes se cortan en ortogonalmente, se cumplen las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ $${\displaystyle y_{0}=mx_{0}\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}$$ $${\displaystyle m^{2}-{\frac {2x_{0}y_{0}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}m+{\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}=0,}$$ ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Ortóptica (círculos rojos) de un círculo, elipses e hipérbolas

$${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1={\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}}$$La última ecuación es equivalente a De (1) y (2) se obtiene: $${\displaystyle x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=a^{2}+b^{2}\,.}$$

Los puntos de intersección de las tangentes ortogonales son puntos del círculo . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Hipérbola

El caso de la elipse se puede adaptar casi exactamente al caso de la hipérbola. Los únicos cambios que se deben realizar son reemplazar por y restringir m a | m | > ⁠ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle -b^{2}}$b/a⁠ . Por lo tanto:

Los puntos de intersección de las tangentes ortogonales son puntos del círculo , donde a > b . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$

Ortóptica de un asteroide

Ortóptica (púrpura) de un astroide

Un astroide puede describirse mediante la representación paramétrica A partir de la condición se reconoce la distancia α en el espacio de parámetros en la que aparece una tangente ortogonal a ċ ( t ) . Resulta que la distancia es independiente del parámetro t , es decir α = ± ⁠ $${\displaystyle \mathbf {c} (t)=\left(\cos ^{3}t,\sin ^{3}t\right),\quad 0\leq t<2\pi .}$$ $${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} (t)\cdot \mathbf {\dot {c}} (t+\alpha )=0}$$π/2⁠ . Las ecuaciones de las tangentes (ortogonales) en los puntos c ( t ) y c ( t + ⁠π/2) son respectivamente: Su punto común tiene coordenadas: Esta es simultáneamente una representación paramétrica de la ortóptica. $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-\tan t\left(x-\cos ^{3}t\right)+\sin ^{3}t,\\y&={\frac {1}{\tan t}}\left(x+\sin ^{3}t\right)+\cos ^{3}t.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin t\cos t\left(\sin t-\cos t\right),\\y&=\sin t\cos t\left(\sin t+\cos t\right).\end{aligned}}}$$

La eliminación del parámetro t produce la representación implícita Introduciendo el nuevo parámetro φ = t − ⁠ $${\displaystyle 2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}-\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}=0.}$$5π/4⁠ se obtiene (La prueba utiliza las identidades de suma y diferencia de ángulos ). Por lo tanto, obtenemos la representación polar de la ortóptica. Por lo tanto: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi )\cos \varphi ,\\y&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi )\sin \varphi .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle r={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi ),\quad 0\leq \varphi <2\pi }$$

La ortóptica de un astroide es un cuadrifolio .

Isóptica de una parábola, una elipse y una hipérbola

Isóptica (púrpura) de una parábola para ángulos de 80° y 100°

Isóptica (púrpura) de una elipse para ángulos de 80° y 100°

Isóptica (púrpura) de una hipérbola para ángulos de 80° y 100°

A continuación se enumeran los isótopos para ángulos α ≠ 90° . Se denominan α -isópticos. Para las demostraciones, véase más abajo.

Ecuaciones de las isópticas

Parábola:

Las α -isópticas de la parábola con ecuación y = ax ² son las ramas de la hipérbola. Las ramas de la hipérbola proporcionan las isópticas para los dos ángulos α y 180° − α (ver imagen). $${\displaystyle x^{2}-\tan ^{2}\alpha \left(y+{\frac {1}{4a}}\right)^{2}-{\frac {y}{a}}=0.}$$

Elipse:

La α -isóptica de la elipse con ecuación ⁠x2^​/un ²⁠ + ⁠y ²/el segundo ²⁠ = 1 son las dos partes de la curva de grado 4 (ver imagen). $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}\right)^{2}\tan ^{2}\alpha =4\left(a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-a^{2}b^{2}\right)}$$

Hipérbola:

La α -isóptica de la hipérbola con la ecuaciónx2^​/un ²⁠ − ⁠y ²/el segundo ²⁠ = 1 son las dos partes de la curva de grado 4 $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}\right)^{2}\tan ^{2}\alpha =4\left(a^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}+a^{2}b^{2}\right).}$$

Pruebas

Parábola:

Una parábola y = ax ² puede parametrizarse por la pendiente de sus tangentes m = 2 ax : $${\displaystyle \mathbf {c} (m)=\left({\frac {m}{2a}},{\frac {m^{2}}{4a}}\right),\quad m\in \mathbb {R} .}$$

La tangente con pendiente m tiene la ecuación $${\displaystyle y=mx-{\frac {m^{2}}{4a}}.}$$

El punto ( x ₀ , y ₀ ) está en la tangente si y sólo si $${\displaystyle y_{0}=mx_{0}-{\frac {m^{2}}{4a}}.}$$

Esto significa que las pendientes m ₁ , m ₂ de las dos tangentes que contienen ( x ₀ , y ₀ ) cumplen la ecuación cuadrática $${\displaystyle m^{2}-4ax_{0}m+4ay_{0}=0.}$$

Si las tangentes se encuentran en un ángulo α o 180° − α , la ecuación $${\displaystyle \tan ^{2}\alpha =\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right)^{2}}$$

debe cumplirse. Resolviendo la ecuación cuadrática para m e insertando m ₁ , m ₂ en la última ecuación, se obtiene $${\displaystyle x_{0}^{2}-\tan ^{2}\alpha \left(y_{0}+{\frac {1}{4a}}\right)^{2}-{\frac {y_{0}}{a}}=0.}$$

Ésta es la ecuación de la hipérbola anterior. Sus ramas tienen las dos isópticas de la parábola para los dos ángulos α y 180° − α .

Elipse:

En el caso de una elipsex2^​/un ²⁠ + ⁠y ²/el segundo ²⁠ = 1 se puede adoptar la idea de la ortóptica para la ecuación cuadrática $${\displaystyle m^{2}-{\frac {2x_{0}y_{0}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}m+{\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}=0.}$$

Ahora, como en el caso de una parábola, hay que resolver la ecuación cuadrática y deben insertarse en la ecuación las dos soluciones m ₁ , m ₂ $${\displaystyle \tan ^{2}\alpha =\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right)^{2}.}$$

La reorganización muestra que las isópticas son partes de la curva de grado 4: $${\displaystyle \left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-a^{2}-b^{2}\right)^{2}\tan ^{2}\alpha =4\left(a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}b^{2}\right).}$$

Hipérbola:

La solución para el caso de una hipérbola se puede adoptar del caso de la elipse reemplazando b ² por − b ² (como en el caso de la ortóptica, ver arriba).

Para visualizar las isópticas, ver curva implícita .

Enlaces externos

• Curvas planas especiales.
• Mundo matemático
• Las curvas de Jan Wassenaar
• "Curva isóptica" en MathCurve
• "Curva ortóptica" en MathCurve

Notas

Referencias

• Lawrence, J. Dennis (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. Págs. 58-59. ISBN. 0-486-60288-5.
• Odehnal, Boris (2010). "Curvas equiópticas de secciones cónicas" (PDF) . Revista de geometría y gráficos . 14 (1): 29–43.
• Schaal, Hermann (1977). Álgebra lineal y geometría analítica . vol. III. Vereg. pag. 220.ISBN​ 3-528-03058-5.
• Steiner, Jacob (1867). Vorlesungen über synthetische Geometrie. Leipzig: BG Teubner. Parte 2, pág. 186.
• Ternullo, Maurizio (2009). "Dos nuevos conjuntos de puntos concíclicos relacionados con elipses". Journal of Geometry . 94 (1–2): 159–173. doi :10.1007/s00022-009-0005-7. S2CID  120011519.