En geometría , el principio de Cavalieri , una implementación moderna del método de los indivisibles , que lleva el nombre de Bonaventura Cavalieri , es el siguiente: [1]
Hoy en día, el principio de Cavalieri se considera un primer paso hacia el cálculo integral , y si bien se utiliza en algunas formas, como su generalización en el teorema de Fubini y la representación de la torta de capas , los resultados que utilizan el principio de Cavalieri a menudo se pueden mostrar más directamente a través de la integración. En la otra dirección, el principio de Cavalieri surgió del antiguo método griego de agotamiento , que utilizaba límites pero no utilizaba infinitesimales .
El principio de Cavalieri se llamó originalmente método de los indivisibles, nombre con el que se le conocía en la Europa del Renacimiento . [2] Cavalieri desarrolló una teoría completa de los indivisibles, elaborada en su Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota ( Geometría, avanzada de una manera nueva por los indivisibles de los continuos , 1635) y sus Exercitationes geométricaae sex ( Seis ejercicios geométricos , 1647) . [3] Si bien el trabajo de Cavalieri estableció el principio, en sus publicaciones negó que el continuo estuviera compuesto de indivisibles en un esfuerzo por evitar las paradojas y controversias religiosas asociadas, y no lo utilizó para encontrar resultados previamente desconocidos. [4]
En el siglo III a. C., Arquímedes , utilizando un método parecido al principio de Cavalieri, [5] pudo encontrar el volumen de una esfera dados los volúmenes de un cono y un cilindro en su obra El método de los teoremas mecánicos . En el siglo V d.C., Zu Chongzhi y su hijo Zu Gengzhi establecieron un método similar para encontrar el volumen de una esfera. [2] Sin embargo, ninguno de los enfoques era conocido en la Europa moderna temprana.
La transición de los indivisibles de Cavalieri a los infinitesimales de Evangelista Torricelli y John Wallis fue un avance importante en la historia del cálculo . Los indivisibles eran entidades de codimensión 1, de modo que se pensaba que una figura plana estaba hecha de un número infinito de líneas unidimensionales. Mientras tanto, los infinitesimales eran entidades de la misma dimensión que la figura que conforman; así, una figura plana estaría formada por "paralelogramos" de ancho infinitesimal. Aplicando la fórmula para la suma de una progresión aritmética, Wallis calculó el área de un triángulo dividiéndolo en paralelogramos infinitesimales de ancho 1/∞.
N. Reed ha demostrado [6] cómo encontrar el área delimitada por una cicloide utilizando el principio de Cavalieri. Un círculo de radio r puede rodar en el sentido de las agujas del reloj sobre una línea debajo de él, o en el sentido contrario a las agujas del reloj sobre una línea encima de él. De este modo, un punto del círculo traza dos cicloides. Cuando el círculo ha recorrido una distancia determinada, el ángulo en el que habría girado en el sentido de las agujas del reloj y el ángulo en el que habría girado en el sentido contrario a las agujas del reloj son los mismos. Por tanto, los dos puntos que trazan las cicloides están a la misma altura. La línea que los atraviesa es, por tanto, horizontal (es decir, paralela a las dos líneas sobre las que rueda el círculo). En consecuencia, cada sección transversal horizontal del círculo tiene la misma longitud que la sección transversal horizontal correspondiente de la región delimitada por los dos arcos de cicloides. Por tanto, según el principio de Cavalieri, el círculo tiene la misma área que esa región.
Considere el rectángulo que delimita un único arco cicloide. Según la definición de cicloide, tiene un ancho 2π r y una altura 2 r , por lo que su área es cuatro veces el área del círculo. Calcule el área dentro de este rectángulo que se encuentra sobre el arco cicloide dividiendo el rectángulo en el punto medio donde el arco se encuentra con el rectángulo, gire una pieza 180° y superponga la otra mitad del rectángulo con ella. El nuevo rectángulo, con un área dos veces mayor que la del círculo, consta de la región de la "lente" entre dos cicloides, cuyo área se calculó anteriormente como la misma que la del círculo, y las dos regiones que formaron la región sobre el arco cicloide. en el rectángulo original. Por lo tanto, el área delimitada por un rectángulo sobre un único arco completo de la cicloide tiene un área igual al área del círculo y, por tanto, el área delimitada por el arco es tres veces el área del círculo.
El hecho de que el volumen de cualquier pirámide , independientemente de la forma de la base, incluidos los conos (base circular), sea (1/3) × base × altura, puede establecerse mediante el principio de Cavalieri si sólo se sabe que es cierto en Un caso. Inicialmente se puede establecer en un solo caso dividiendo el interior de un prisma triangular en tres componentes piramidales de volúmenes iguales. Se puede demostrar la igualdad de esos tres volúmenes mediante el principio de Cavalieri.
De hecho, el principio de Cavalieri o un argumento infinitesimal similar es necesario para calcular el volumen de los conos e incluso de las pirámides, que es esencialmente el contenido del tercer problema de Hilbert : las pirámides y los conos poliédricos no se pueden cortar y reorganizar en una forma estándar, sino que se deben comparar. por medios infinitos (infinitesimales). Los antiguos griegos utilizaron varias técnicas precursoras, como los argumentos mecánicos de Arquímedes o el método de agotamiento, para calcular estos volúmenes.
Considere un cilindro de radio y altura , que circunscribe un paraboloide cuyo vértice está en el centro de la base inferior del cilindro y cuya base es la base superior del cilindro.
Consideremos también el paraboloide , de iguales dimensiones pero con el vértice y la base invertidos.
Para cada altura , el área de la sección transversal en forma de disco del paraboloide invertido es igual al área de la sección transversal en forma de anillo de la parte cilíndrica fuera del paraboloide inscrito.
Por lo tanto, el volumen del paraboloide invertido es igual al volumen de la parte del cilindro fuera del paraboloide inscrito. En otras palabras, el volumen del paraboloide es , la mitad del volumen de su cilindro circunscripto.
Si se sabe que el volumen de un cono es , entonces se puede utilizar el principio de Cavalieri para derivar el hecho de que el volumen de una esfera es , donde está el radio.
Eso se hace de la siguiente manera: Considere una esfera de radio y un cilindro de radio y altura . Dentro del cilindro está el cono cuyo vértice está en el centro de una base del cilindro y cuya base es la otra base del cilindro. Según el teorema de Pitágoras , el plano situado unidades por encima del "ecuador" corta a la esfera en un círculo de radio y área . El área de intersección del plano con la parte del cilindro que está fuera del cono también es . Como se puede observar, el área del círculo definido por la intersección con la esfera de un plano horizontal ubicado a cualquier altura es igual al área de la intersección de ese plano con la parte del cilindro que está "fuera" del cono; así, aplicando el principio de Cavalieri, se podría decir que el volumen de la semiesfera es igual al volumen de la parte del cilindro que está "fuera" del cono. El volumen del cono antes mencionado es el volumen del cilindro, por lo tanto el volumen fuera del cono es el volumen del cilindro. Por tanto el volumen de la mitad superior de la esfera es el volumen del cilindro. El volumen del cilindro es
("Base" está en unidades de área ; "altura" está en unidades de distancia . Área × distancia = volumen ).
Por tanto, el volumen de la semiesfera superior es y el de toda la esfera es .
En lo que se llama el problema del servilletero , se demuestra mediante el principio de Cavalieri que cuando se perfora un agujero directamente a través del centro de una esfera donde la banda restante tiene altura , el volumen del material restante sorprendentemente no depende del tamaño de la esfera. . La sección transversal del anillo restante es un anillo plano, cuya área es la diferencia entre las áreas de dos círculos. Según el teorema de Pitágoras, el área de uno de los dos círculos es , donde es el radio de la esfera y es la distancia desde el plano del ecuador al plano cortante, y la del otro es . Cuando estos se restan, se cancela; de ahí la falta de dependencia de la respuesta final .
