En física y matemáticas , una curva braquistócrona (del griego antiguo βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) 'tiempo más corto'), [1] o curva de descenso más rápido, es la que se encuentra en el plano entre un punto A y un punto inferior B , donde B no está directamente debajo de A , sobre el cual una cuenta se desliza sin fricción bajo la influencia de un campo gravitacional uniforme hasta un punto final determinado en el menor tiempo. El problema lo planteó Johann Bernoulli en 1696.
La curva braquistocrona tiene la misma forma que la curva tautocrona ; ambas son cicloides . Sin embargo, la porción de cicloide utilizada para cada uno de los dos varía. Más concretamente, la braquistocrona puede utilizar hasta una rotación completa de la cicloide (en el límite cuando A y B están al mismo nivel), pero siempre comienza en una cúspide . Por el contrario, el problema de la tautocrona sólo se puede utilizar hasta la primera mitad de la rotación y siempre termina en la horizontal. [2] El problema se puede resolver utilizando herramientas del cálculo de variaciones [3] y control óptimo . [4]
La curva es independiente tanto de la masa del cuerpo de prueba como de la fuerza de gravedad local. Solo se elige un parámetro para que la curva se ajuste al punto inicial A y al punto final B. [5] Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A , o si se tiene en cuenta la fricción, entonces la curva que minimiza el tiempo difiere de la curva tautocrona .
Anteriormente, en 1638, Galileo Galilei había intentado resolver un problema similar para la trayectoria del descenso más rápido desde un punto hasta una pared en sus Dos nuevas ciencias . Llega a la conclusión de que el arco de un círculo es más rápido que cualquier número de sus cuerdas, [6]
De lo anterior se puede inferir que el camino más rápido de todos, de un punto a otro, no es el camino más corto, es decir, una línea recta, sino un arco de círculo.
...
En consecuencia, cuanto más se acerca el polígono inscrito a un círculo, menor es el tiempo necesario para descender de A a C. Lo que se ha demostrado para el cuadrante es válido también para arcos más pequeños; el razonamiento es el mismo.
Justo después del Teorema 6 de las Dos Nuevas Ciencias , Galileo advierte de posibles falacias y de la necesidad de una "ciencia superior". En este diálogo Galileo revisa su propio trabajo. Galileo estudió la cicloide y le dio nombre, pero la conexión entre ella y su problema tuvo que esperar a los avances de las matemáticas.
La conjetura de Galileo es que “El tiempo más corto de todos [para un cuerpo móvil] será el de su caída a lo largo del arco ADB [de un cuarto de círculo] y se debe entender que propiedades similares se mantienen para todos los arcos menores tomados hacia arriba desde el punto más bajo. límite B.”
En la figura 1, del “Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales”, Galileo afirma que el cuerpo que se desliza a lo largo del arco circular de un cuarto de círculo, de A a B, llegará a B en menos tiempo que si tomara cualquier otro camino desde De A a B. De manera similar, en la Fig. 2, desde cualquier punto D en el arco AB, afirma que el tiempo a lo largo del arco menor DB será menor que para cualquier otro camino de D a B. De hecho, el camino más rápido de De A a B o de D a B, la braquistocrona, es un arco cicloidal, que se muestra en la Fig. 3 para el camino de A a B, y en la Fig. 4 para el camino de D a B, superpuesto al arco circular respectivo. . [7]
Johann Bernoulli planteó el problema de la braquistocrona a los lectores de Acta Eruditorum en junio de 1696. [8] [9] Dijo:
Yo, Johann Bernoulli, me dirijo a los matemáticos más brillantes del mundo. Nada es más atractivo para las personas inteligentes que un problema honesto y desafiante, cuya posible solución les otorgará fama y permanecerá como un monumento duradero. Siguiendo el ejemplo de Pascal, Fermat, etc., espero ganarme la gratitud de toda la comunidad científica planteando a los mejores matemáticos de nuestro tiempo un problema que pondrá a prueba sus métodos y la fuerza de su intelecto. Si alguien me comunica la solución del problema propuesto, lo declararé públicamente digno de elogio.
Bernoulli escribió el planteamiento del problema como:
Dados dos puntos A y B en un plano vertical, ¿cuál es la curva que traza un punto sobre el que actúa únicamente la gravedad, que comienza en A y llega a B en el menor tiempo ?
Johann y su hermano Jakob Bernoulli derivaron la misma solución, pero la derivación de Johann fue incorrecta y trató de hacer pasar la solución de Jakob como propia. [10] Johann publicó la solución en la revista en mayo del año siguiente y señaló que la solución es la misma curva que la curva tautocrona de Huygens . Después de derivar la ecuación diferencial de la curva mediante el método que se indica a continuación, pasó a demostrar que sí produce una cicloide. [11] [12] Sin embargo, su prueba se ve empañada por el uso de una sola constante en lugar de las tres constantes, v m , 2g y D , a continuación.
Bernoulli concedió seis meses para las soluciones, pero no se recibió ninguna durante este período. A petición de Leibniz, el plazo se prorrogó públicamente por un año y medio. [13] A las 4 de la tarde del 29 de enero de 1697, cuando llegó a casa desde la Royal Mint, Isaac Newton encontró el desafío en una carta de Johann Bernoulli. [14] Newton se quedó despierto toda la noche para resolverlo y envió la solución de forma anónima en la siguiente publicación. Al leer la solución, Bernoulli reconoció inmediatamente a su autor, exclamando que "reconoce un león por la marca de su garra". Esta historia da una idea del poder de Newton, ya que Johann Bernoulli tardó dos semanas en resolverlo. [5] [15] Newton también escribió: "No me gusta que los extranjeros me acosen [molesten] y se burlen de cosas matemáticas...", y Newton ya había resuelto el problema de resistencia mínima de Newton , que se considera el primero de los tipo en cálculo de variaciones .
Al final, cinco matemáticos respondieron con soluciones: Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz , Ehrenfried Walther von Tschirnhaus y Guillaume de l'Hôpital . Cuatro de las soluciones (excluyendo la de l'Hôpital) se publicaron en la misma edición de la revista que la de Johann Bernoulli. En su artículo, Jakob Bernoulli demostró la condición de tiempo mínimo similar a la siguiente antes de demostrar que su solución es una cicloide. [11] Según el erudito newtoniano Tom Whiteside , en un intento de superar a su hermano, Jakob Bernoulli creó una versión más difícil del problema de la braquistocrona. Para resolverlo, desarrolló nuevos métodos que fueron refinados por Leonhard Euler hasta convertirlos en lo que este último llamó (en 1766) cálculo de variaciones . Joseph-Louis Lagrange realizó trabajos adicionales que dieron como resultado el cálculo infinitesimal moderno .
En una carta a L'Hôpital (21/12/1696), Bernoulli afirma que al considerar el problema de la curva de descenso más rápido, después de sólo 2 días notó una curiosa afinidad o conexión con otro problema no menos notable que conduce a una 'método indirecto' de solución. Poco después descubrió un "método directo". [dieciséis]
En una carta a Henri Basnage, conservada en la biblioteca pública de la Universidad de Basilea, fechada el 30 de marzo de 1697, Johann Bernoulli afirmó que había encontrado dos métodos (siempre denominados "directos" e "indirectos") para demostrar que la braquistócrona era la "cicloide común", también llamada "ruleta". Siguiendo el consejo de Leibniz, incluyó sólo el método indirecto en el Acta Eruditorum Lipsidae de mayo de 1697. Escribió que esto se debía en parte a que creía que era suficiente para convencer a cualquiera que dudara de la conclusión, y en parte a que también resolvía dos famosos problemas de óptica. que "el difunto Sr. Huygens" había planteado en su tratado sobre la luz. En la misma carta criticaba a Newton por ocultar su método.
Además de su método indirecto, también publicó las otras cinco respuestas al problema que recibió.
El método directo de Johann Bernoulli es históricamente importante como prueba de que la braquistocrona es la cicloide. El método consiste en determinar la curvatura de la curva en cada punto. Todas las demás pruebas, incluida la de Newton (que no fue revelada en ese momento) se basan en encontrar el gradiente en cada punto.
En 1718, Bernoulli explicó cómo resolvió el problema de la braquistocrona mediante su método directo. [17] [18]
Explicó que no lo había publicado en 1697, por razones que ya no se aplicaban en 1718. Este artículo fue en gran medida ignorado hasta 1904, cuando Constantin Carathéodory apreció por primera vez la profundidad del método , quien afirmó que demuestra que la cicloide es la única curva posible de descenso más rápido. Según él, las otras soluciones implican simplemente que el tiempo de descenso de la cicloide es estacionario, pero no necesariamente el mínimo posible.
Se considera que un cuerpo se desliza a lo largo de cualquier pequeño arco circular Ce entre los radios KC y Ke, con centro K fijo. La primera etapa de la demostración consiste en encontrar el arco circular particular, Mm, que el cuerpo recorre en el mínimo de tiempo.
La línea KNC corta a AL en N, y la línea Kne la corta en n, y forman un pequeño ángulo CKe en K. Sea NK = a, y defina un punto variable, C en KN extendido. De todos los posibles arcos circulares Ce, se requiere encontrar el arco Mm, que requiere el mínimo tiempo para deslizarse entre los 2 radios, KM y Km. Para encontrar al señor Bernoulli se argumenta lo siguiente.
Sea MN = x. Define m de modo que MD = mx, y n de modo que Mm = nx + na y observa que x es la única variable y que m es finito y n es infinitamente pequeño. El pequeño tiempo para recorrer el arco Mm es , que tiene que ser mínimo ('un plus petit'). No explica que debido a que Mm es tan pequeño, se puede suponer que la velocidad a lo largo de ella es la velocidad en M, que es como la raíz cuadrada de MD, la distancia vertical de M debajo de la línea horizontal AL.
De ello se deduce que, cuando se diferencia, esto debe dar
Esta condición define la curva por la que se desliza el cuerpo en el menor tiempo posible. Para cada punto M de la curva, el radio de curvatura MK se corta en 2 partes iguales por su eje AL. Esta propiedad, que según Bernoulli se conoce desde hace mucho tiempo, es exclusiva de la cicloide.
Finalmente, considera el caso más general donde la velocidad es una función arbitraria X(x), por lo que el tiempo a minimizar es . La condición mínima entonces es la que escribe como : y que da MN (=x) en función de NK (= a). A partir de esto se podría obtener la ecuación de la curva a partir del cálculo integral, aunque no lo demuestra.
Luego procede con lo que llamó su Solución Sintética, que era una prueba geométrica clásica de que sólo hay una curva por la que un cuerpo puede deslizarse hacia abajo en el mínimo de tiempo, y esa curva es la cicloide.
El motivo de la demostración sintética, a la manera de los antiguos, es convencer al señor de la Hire. Tiene poco tiempo para nuestro nuevo análisis, describiéndolo como falso (afirma haber encontrado 3 formas de demostrar que la curva es una parábola cúbica) – Carta de Johan Bernoulli a Pierre Varignon del 27 de julio de 1697. [19]
Supongamos que AMmB es la parte de la cicloide que une A con B, por la que el cuerpo se desliza hacia abajo en el mínimo tiempo. Sea ICcJ parte de una curva diferente que une A con B, que puede estar más cerca de AL que de AMmB. Si el arco Mm subtiende el ángulo MKm en su centro de curvatura, K, sea Cc el arco en IJ que subtiende el mismo ángulo. El arco circular que pasa por C con centro K es Ce. El punto D en AL está verticalmente encima de M. Une K con D y el punto H es donde CG cruza KD, extendido si es necesario.
Sean yt los tiempos que tarda el cuerpo en caer a lo largo de Mm y Ce respectivamente.
Extender CG hasta el punto F donde, y desde , se deduce que
Como MN = NK, para la cicloide:
Si Ce está más cerca de K que Mm, entonces
En cualquier caso,
Si el arco, Cc subtendido por el ángulo infinitesimal MKm en IJ no es circular, debe ser mayor que Ce, ya que Cec se convierte en un triángulo rectángulo en el límite cuando el ángulo MKm tiende a cero.
Tenga en cuenta que Bernoulli demuestra que CF > CG mediante un argumento similar pero diferente.
De esto concluye que un cuerpo recorre la cicloide AMB en menos tiempo que cualquier otra curva ACB.
According to Fermat’s principle, the actual path between two points taken by a beam of light is one that takes the least time. In 1697 Johann Bernoulli used this principle to derive the brachistochrone curve by considering the trajectory of a beam of light in a medium where the speed of light increases following a constant vertical acceleration (that of gravity g).[20]
By the conservation of energy, the instantaneous speed of a body v after falling a height y in a uniform gravitational field is given by:
The speed of motion of the body along an arbitrary curve does not depend on the horizontal displacement.
Bernoulli noted that the law of refraction gives a constant of the motion for a beam of light in a medium of variable density:
where vm is the constant and represents the angle of the trajectory with respect to the vertical.
The equations above lead to two conclusions:
Assuming for simplicity that the particle (or the beam) with coordinates (x,y) departs from the point (0,0) and reaches maximum speed after falling a vertical distance D:
Rearranging terms in the law of refraction and squaring gives:
which can be solved for dx in terms of dy:
Substituting from the expressions for v and vm above gives:
which is the differential equation of an inverted cycloid generated by a circle of diameter D=2r, whose parametric equation is:
where φ is a real parameter, corresponding to the angle through which the rolling circle has rotated. For given φ, the circle's centre lies at (x, y) = (rφ, r).
In the brachistochrone problem, the motion of the body is given by the time evolution of the parameter:
where t is the time since the release of the body from the point (0,0).
El hermano de Johann, Jakob, mostró cómo se pueden utilizar los segundos diferenciales para obtener la condición en el menor tiempo posible. Una versión modernizada de la prueba es la siguiente. Si hacemos una desviación insignificante del camino de menor tiempo, entonces, para el triángulo diferencial formado por el desplazamiento a lo largo del camino y los desplazamientos horizontal y vertical,
Al diferenciar con dy fijo obtenemos,
Y finalmente reorganizar los términos da,
donde la última parte es el desplazamiento para un cambio dado en el tiempo para los segundos diferenciales. Ahora considere los cambios a lo largo de los dos caminos vecinos en la figura siguiente para los cuales la separación horizontal entre caminos a lo largo de la línea central es d 2 x (la misma para los triángulos diferenciales superior e inferior). A lo largo de los caminos viejos y nuevos, las partes que difieren son,
Para el camino de tiempos mínimos, estos tiempos son iguales, por lo que por su diferencia obtenemos,
Y la condición para el menor tiempo es,
lo que concuerda con la suposición de Johann basada en la ley de refracción .
En junio de 1696, Johann Bernoulli había utilizado las páginas del Acta Eruditorum Lipsidae para plantear un desafío a la comunidad matemática internacional: encontrar la forma de la curva que une dos puntos fijos para que una masa se deslice a lo largo de ella, bajo la influencia de gravedad sola, en el mínimo de tiempo. Inicialmente, la solución debía presentarse en un plazo de seis meses. Por sugerencia de Leibniz, Bernoulli extendió el desafío hasta la Pascua de 1697, mediante un texto impreso llamado "Programma", publicado en Groningen , Países Bajos.
El Programa está fechado el 1 de enero de 1697, en el Calendario Gregoriano. Era el 22 de diciembre de 1696 en el calendario juliano, utilizado en Gran Bretaña. Según la sobrina de Newton, Catherine Conduitt, Newton se enteró del desafío a las 4 de la tarde del 29 de enero y lo resolvió a las 4 de la mañana del día siguiente. Su solución, comunicada a la Real Sociedad, tiene fecha del 30 de enero. Esta solución, publicada posteriormente de forma anónima en Philosophical Transactions , es correcta pero no indica el método por el cual Newton llegó a su conclusión. Bernoulli, escribiendo a Henri Basnage en marzo de 1697, indicó que aunque su autor, "por exceso de modestia", no había revelado su nombre, incluso por los escasos detalles proporcionados podía reconocerse como obra de Newton, "como el león". por su garra" (en latín, ex ungue Leonem ).
DT Whiteside señala que la carta en francés tiene ex ungue Leonem precedida por la palabra francesa comme . La versión tan citada tanquam ex ungue Leonem se debe al libro de David Brewster de 1855 sobre la vida y obra de Newton. La intención de Bernoulli era, sostiene Whiteside, simplemente indicar que podía decir que la solución anónima era la de Newton, del mismo modo que era posible decir que un animal era un león dada su garra; no pretendía sugerir que Bernoulli considerara a Newton como el león entre los matemáticos, como se ha llegado a interpretar desde entonces. [21]
John Wallis , que tenía 80 años en ese momento, se enteró del problema en septiembre de 1696 a través del hermano menor de Johann Bernoulli, Hieronymus, y pasó tres meses intentando una solución antes de pasárselo en diciembre a David Gregory , quien tampoco logró resolverlo. . Después de que Newton presentó su solución, Gregory le preguntó los detalles y tomó notas de su conversación. Estos se pueden encontrar en la Biblioteca de la Universidad de Edimburgo, manuscrito A , fechado el 7 de marzo de 1697. O Gregory no entendió el argumento de Newton o la explicación de Newton fue muy breve. Sin embargo, es posible, con un alto grado de confianza, construir la prueba de Newton a partir de las notas de Gregory, por analogía con su método para determinar el sólido de mínima resistencia (Principia, Libro 2, Proposición 34, Escolio 2). Una descripción detallada de su solución a este último problema se incluye en el borrador de una carta de 1694, también dirigida a David Gregory. [22] Además del problema de la curva de tiempo mínimo, había un segundo problema que Newton también resolvió al mismo tiempo. Ambas soluciones aparecieron de forma anónima en Philosophical Transactions of the Royal Society, de enero de 1697.
La figura 1 muestra el diagrama de Gregory (excepto que la línea adicional IF está ausente y Z, se ha agregado el punto inicial). La curva ZVA es una cicloide y CHV es su círculo generador. Como parece que el cuerpo se mueve hacia arriba de e a E, se debe suponer que un cuerpo pequeño se suelta de Z y se desliza a lo largo de la curva hacia A, sin fricción, bajo la acción de la gravedad.
Consideremos un pequeño arco eE, por el que el cuerpo asciende. Supongamos que atraviesa la línea recta eL hasta el punto L, desplazada horizontalmente de E una pequeña distancia, o, en lugar del arco eE. Tenga en cuenta que eL no es la tangente en e, y que o es negativa cuando L está entre B y E. Trace la línea que pasa por E paralela a CH, cortando eL en n. Por una propiedad de la cicloide, En es la normal a la tangente en E, y de manera similar la tangente en E es paralela a VH.
Como el desplazamiento EL es pequeño, difiere poco en dirección de la tangente en E, de modo que el ángulo EnL es cercano a un ángulo recto. En el límite, cuando el arco eE se acerca a cero, eL se vuelve paralelo a VH, siempre que o sea pequeño en comparación con eE, lo que hace que los triángulos EnL y CHV sean similares.
También en aproxima la longitud de la cuerda eE, y el aumento de longitud, , ignorando los términos in y superiores, que representan el error debido a la aproximación de que eL y VH son paralelos.
La velocidad a lo largo de eE o eL se puede tomar como la de E, proporcional a , que es CH, ya que
Esto parece ser todo lo que contiene la nota de Gregory.
Sea t el tiempo adicional para llegar a L,
Por lo tanto, el aumento en el tiempo para recorrer un pequeño arco desplazado en un punto final depende sólo del desplazamiento en el punto final y es independiente de la posición del arco. Sin embargo, según el método de Newton, esta es justo la condición requerida para que la curva se recorra en el mínimo tiempo posible. Por tanto, concluye que la curva mínima debe ser la cicloide.
Argumenta lo siguiente.
Suponiendo ahora que la Fig. 1 es la curva mínima aún no determinada, con el eje vertical CV y el círculo CHV eliminado, y la Fig. 2 muestra parte de la curva entre el arco infinitesimal eE y otro arco infinitesimal Ff a una distancia finita a lo largo del curva. El tiempo extra, t, para atravesar eL (en lugar de eE) es nL dividido por la velocidad en E (proporcional a ), ignorando los términos en y superiores:
,
En L, la partícula continúa por una trayectoria LM, paralela a la EF original, hasta algún punto arbitrario M. Como tiene la misma velocidad en L que en E, el tiempo para recorrer LM es el mismo que habría sido a lo largo de la trayectoria original. curva EF. En M regresa a la trayectoria original en el punto f. Por el mismo razonamiento, la reducción de tiempo, T, para llegar a f desde M en lugar de desde F es
La diferencia (t – T) es el tiempo adicional que lleva recorrer el camino eLMf en comparación con el eEFf original:
términos más en y superiores (1)
Como eEFf es la curva mínima, (t – T) debe ser mayor que cero, ya sea que o sea positivo o negativo. De ello se deduce que el coeficiente de o en (1) debe ser cero:
(2) en el límite cuando eE y fF se aproximan a cero. Tenga en cuenta que, dado que eEFf es la curva mínima, se debe suponer que el coeficiente de es mayor que cero.
Claramente tiene que haber 2 desplazamientos iguales y opuestos, o el cuerpo no regresaría al punto final, A, de la curva.
Si e es fijo, y si f se considera un punto variable más arriba en la curva, entonces, para todos esos puntos, f, es constante (igual a ). Al mantener f fija y hacer e variable, queda claro que también es constante.
Pero, dado que los puntos e y f son arbitrarios, la ecuación (2) puede ser verdadera sólo si , en todas partes, y esta condición caracteriza la curva que se busca. Esta es la misma técnica que utiliza para encontrar la forma del sólido de menor resistencia.
Para la cicloide, , de modo que , que se mostró arriba es constante, y la braquistócrona es la cicloide.
Newton no da ninguna indicación de cómo descubrió que la cicloide satisfacía esta última relación. Pudo haber sido por prueba y error, o pudo haber reconocido inmediatamente que implicaba que la curva era la cicloide.
