Los polinomios de Hermite fueron definidos por Pierre-Simon Laplace en 1810, [1] [2] aunque en una forma apenas reconocible, y estudiados en detalle por Pafnuty Chebyshev en 1859. [3] El trabajo de Chebyshev fue pasado por alto y más tarde recibieron el nombre de Charles Hermite. , quien escribió sobre los polinomios en 1864, describiéndolos como nuevos. [4] En consecuencia, no eran nuevos, aunque Hermite fue el primero en definir los polinomios multidimensionales.
Definición
Al igual que los otros polinomios ortogonales clásicos , los polinomios de Hermite se pueden definir desde varios puntos de partida diferentes. Teniendo en cuenta desde el principio que existen dos estandarizaciones diferentes de uso común, un método conveniente es el siguiente:
Los "polinomios de Hermite del probabilista" están dados por
mientras que los "polinomios de Hermite del físico" están dados por
Estas ecuaciones tienen la forma de una fórmula de Rodrigues y también se pueden escribir como,
Las dos definiciones no son exactamente idénticas; cada uno es una reescalada del otro:
Estas son secuencias polinómicas de Hermite de diferentes varianzas; consulte el material sobre variaciones a continuación.
Los primeros once polinomios de Hermite del probabilismo son:
Los primeros once polinomios de Hermite del físico son:
Propiedades
El polinomio de Hermite de orden n es un polinomio de grado n . La versión del probabilista He n tiene un coeficiente principal 1, mientras que la versión del físico H n tiene un coeficiente principal 2 n .
Simetría
De las fórmulas de Rodrigues dadas anteriormente, podemos ver que H n ( x ) y He n ( x ) son funciones pares o impares dependiendo de n :
Ortogonalidad
H n ( x ) y He n ( x ) sonpolinomios de n ésimo grado para n = 0, 1, 2, 3,... . Estos polinomios son ortogonales con respecto a la función de peso ( medida )
o
es decir, tenemos
Los polinomios probabilistas son, por tanto, ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal estándar.
Lo completo
Los polinomios de Hermite (probabilistas o físicos) forman una base ortogonal del espacio de funciones de Hilbert que satisfacen
el cual el producto interno está dado por la integral
que incluye la función de peso gaussiana w ( x ) definida en la sección anterior.
Una base ortogonal para L 2 ( R , w ( x ) dx ) es un sistema ortogonal completo . Para un sistema ortogonal, la completitud es equivalente al hecho de que la función 0 es la única función f ∈ L 2 ( R , w ( x ) dx ) ortogonal a todas las funciones del sistema.
Dado que el tramo lineal de los polinomios de Hermite es el espacio de todos los polinomios, hay que demostrar (en el caso físico) que si f satisface
para cada n ≥ 0 , entonces f = 0 .
Una posible forma de hacer esto es apreciar que toda la función
desaparece de manera idéntica. Entonces, el hecho de que F ( it ) = 0 para cada t real significa que la transformada de Fourier de f ( x ) e − x 2 es 0, por lo tanto, f es 0 en casi todas partes. Las variantes de la prueba de integridad anterior se aplican a otros pesos con decaimiento exponencial.
En el caso de Hermite, también es posible probar una identidad explícita que implica integridad (ver la sección sobre la relación de integridad a continuación).
Una formulación equivalente del hecho de que los polinomios de Hermite son una base ortogonal para L 2 ( R , w ( x ) dx ) consiste en introducir funciones de Hermite (ver más abajo) y decir que las funciones de Hermite son una base ortonormal para L 2 ( R ) .
Ecuación diferencial de Hermite
Los polinomios de Hermite del probabilista son soluciones de la ecuación diferencial
donde λ es una constante. Al imponer la condición de frontera de que u debe estar acotado polinomialmente en el infinito, la ecuación tiene soluciones sólo si λ es un entero no negativo, y la solución está dada únicamente por , donde denota una constante.
Al reescribir la ecuación diferencial como un problema de valores propios,
los polinomios de Hermite pueden entenderse como funciones propias del operador diferencial . Este problema de valores propios se llama ecuación de Hermite , aunque el término también se usa para la ecuación estrechamente relacionada
cuya solución se da únicamente en términos de polinomios de Hermite de los físicos en la forma , donde denota una constante, después de imponer la condición de frontera de que u debe ser polinomial. acotado al infinito.
Las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden anteriores son, de hecho, combinaciones lineales de polinomios de Hermite y funciones hipergeométricas confluentes del primer tipo. Por ejemplo, para la ecuación de Hermite del físico,
la solución general toma la forma
donde y son constantes, son polinomios de Hermite del físico (del primer tipo) y son funciones de Hermite del físico (del segundo tipo). Las últimas funciones se representan de forma compacta como donde están las funciones hipergeométricas confluentes del primer tipo . Los polinomios de Hermite convencionales también se pueden expresar en términos de funciones hipergeométricas confluentes, ver más abajo.
La secuencia de polinomios de Hermite del probabilismo también satisface la relación de recurrencia
. Los coeficientes individuales están relacionados mediante la siguiente fórmula de recursión:
y a 0,0 = 1 , a 1,0 = 0 , a 1,1 = 1 .
Para los polinomios del físico, suponiendo que
tengamos
coeficientes individuales, están relacionados mediante la siguiente fórmula de recursividad:
y a 0,0 = 1 , a 1,0 = 0 , a 1,1 = 2 .
Los polinomios de Hermite constituyen una secuencia de Appell , es decir, son una secuencia polinomial que satisface la identidad
Una recurrencia integral que se deduce y demuestra en [6] es la siguiente:
De manera equivalente, mediante la expansión de Taylor ,
estas identidades umbral son evidentes por sí mismas y se incluyen en la representación del operador diferencial que se detalla a continuación,
En consecuencia, para las derivadas m -ésimas se cumplen las siguientes relaciones:
De ello se deduce que los polinomios de Hermite también satisfacen la relación de recurrencia
Estas últimas relaciones, junto con los polinomios iniciales H 0 ( x ) y H 1 ( x ) , se pueden utilizar en la práctica para calcular los polinomios rápidamente.
Los polinomios de Hermite del físico se pueden escribir explícitamente como
Estas dos ecuaciones se pueden combinar en una usando la función suelo :
Los polinomios de Hermite del probabilista tienen fórmulas similares, que se pueden obtener a partir de éstas reemplazando la potencia de 2 x con la potencia correspondiente de √ 2 x y multiplicando la suma completa por 2 − norte/2 :
Expresión explícita inversa
La inversa de las expresiones explícitas anteriores, es decir, aquellas para monomios en términos de polinomios de Hermite probabilísticos , son
Las expresiones correspondientes para los polinomios de Hermite H del físico siguen directamente escalando adecuadamente esto: [7]
Esta igualdad es válida para todos los valores complejos de x y t , y se puede obtener escribiendo la expansión de Taylor en x de toda la función z → e − z 2 (en el caso del físico). También se puede derivar la función generadora (del físico) utilizando la fórmula integral de Cauchy para escribir los polinomios de Hermite como
Usando esto en la suma
se puede evaluar la integral restante usando el cálculo de residuos y llegar a la función generadora deseada.
Los momentos de la normal estándar (con valor esperado cero) se pueden leer directamente de la relación para índices pares:
donde (2 n − 1)!! es el doble factorial . Tenga en cuenta que la expresión anterior es un caso especial de la representación de los polinomios de Hermite del probabilista como momentos:
Expansión asintótica
Asintóticamente, como n → ∞ , la expansión [8]
es cierta. Para ciertos casos que involucran un rango de evaluación más amplio, es necesario incluir un factor para cambiar la amplitud:
que, usando la aproximación de Stirling , puede simplificarse aún más, en el límite, a
Una mejor aproximación, que tiene en cuenta la variación de la frecuencia, viene dada por
Una aproximación más fina, [9] que tiene en cuenta el espaciado desigual de los ceros cerca de los bordes, hace uso de la sustitución
con la que se tiene la aproximación uniforme
Aproximaciones similares son válidas para las regiones monótonas y de transición. Específicamente, si
entonces
while for con t complejo y acotado, la aproximación es
donde Ai es la función de Airy de primer tipo.
Valores especiales
Los polinomios de Hermite del físico evaluados con argumento cero H n (0) se denominan números de Hermite .
que satisfacen la relación de recursividad H n (0) = −2( n − 1) H n − 2 (0) .
En términos de los polinomios del probabilista, esto se traduce en
Relaciones con otras funciones
Polinomios de Laguerre
Los polinomios de Hermite se pueden expresar como un caso especial de los polinomios de Laguerre :
Relación con funciones hipergeométricas confluentes
De manera similar a la expansión de Taylor, algunas funciones se pueden expresar como una suma infinita de polinomios de Hermite. Específicamente, si , entonces tiene una expansión en los polinomios de Hermite del físico. [10]
Dado esto , las sumas parciales de la expansión de Hermite convergen en la norma si y sólo si . [11]
Representación del operador diferencial
Los polinomios de Hermite del probabilista satisfacen la identidad donde D representa la diferenciación con respecto a x , y la exponencial se interpreta expandiéndola como una serie de potencias . No hay cuestiones delicadas de convergencia de esta serie cuando opera con polinomios, ya que todos los términos, excepto un número finito, desaparecen.
Dado que los coeficientes de la serie de potencias del exponencial son bien conocidos y las derivadas de orden superior del monomio x n pueden escribirse explícitamente, esta representación del operador diferencial da lugar a una fórmula concreta para los coeficientes de H n que puede usarse para calcular rápidamente estos polinomios.
Dado que la expresión formal para la transformada de Weierstrass W es e D 2 , vemos que la transformada de Weierstrass de ( √ 2 ) n He n ( X/√ 2 ) es xn . Básicamente, la transformada de Weierstrass convierte una serie de polinomios de Hermite en una serie de Maclaurin correspondiente .
La existencia de alguna serie de potencias formal g ( D ) con coeficiente constante distinto de cero, tal que He n ( x ) = g ( D ) x n , es otro equivalente a la afirmación de que estos polinomios forman una secuencia de Appell . Dado que son una secuencia de Appell, son a fortiori una secuencia de Sheffer .
Representación integral del contorno
De la representación de la función generadora anterior, vemos que los polinomios de Hermite tienen una representación en términos de una integral de contorno , como
ocurre con el contorno que rodea el origen.
Generalizaciones
Los polinomios de Hermite del probabilista definidos anteriormente son ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal estándar, cuya función de densidad es
la que tiene valor esperado 0 y varianza 1.
Al escalar, se puede hablar de forma análoga de polinomios de Hermite generalizados [12]
de varianza α , donde α es cualquier número positivo. Estos son entonces ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal cuya función de densidad es.
Están dados por
Ahora bien, si
entonces la secuencia polinómica cuyo enésimo término es
se llama composición umbral de las dos secuencias polinómicas. Se puede demostrar que satisface las identidades
y
La última identidad se expresa diciendo que esta familia parametrizada de secuencias polinomiales se conoce como secuencia cruzada. (Consulte la sección anterior sobre secuencias de Appell y sobre la representación del operador diferencial, que conduce a una derivación fácil de la misma. Esta identidad de tipo binomial , para α = β = 1/2 , ya se ha encontrado en la sección anterior sobre relaciones #Recursion.)
"Varianza negativa"
Dado que las secuencias polinómicas forman un grupo bajo la operación de composición umbral , se puede denotar por
la secuencia que es inversa a la denotada de manera similar, pero sin el signo menos, y así hablar de polinomios de Hermite de varianza negativa. Para α > 0 , los coeficientes de son solo los valores absolutos de los coeficientes correspondientes de .
Estos surgen como momentos de distribuciones de probabilidad normales: el enésimo momento de la distribución normal con valor esperado μ y varianza σ 2 es
donde X es una variable aleatoria con la distribución normal especificada. Un caso especial de identidad de secuencia cruzada dice entonces que
Funciones de Hermite
Definición
Se pueden definir las funciones de Hermite (a menudo llamadas funciones de Hermite-Gaussianas) a partir de los polinomios del físico:
Así,
Dado que estas funciones contienen la raíz cuadrada de la función de peso y se han escalado adecuadamente, son ortonormales y
forman una base ortonormal de L 2 ( R ) . Este hecho es equivalente a la declaración correspondiente para los polinomios de Hermite (ver arriba).
Las funciones de Hermite satisfacen la ecuación diferencial.
Esta ecuación es equivalente a la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico en mecánica cuántica, por lo que estas funciones son las funciones propias .
Relación recursiva
Siguiendo las relaciones de recursividad de los polinomios de Hermite, las funciones de Hermite obedecen
y
Extender la primera relación a las m -ésimas derivadas arbitrarias para cualquier entero positivo m conduce a
Esta fórmula se puede utilizar en relación con las relaciones de recurrencia de He n y ψ n para calcular cualquier derivada de las funciones de Hermite de manera eficiente.
La desigualdad de Cramér
Para x real , las funciones de Hermite satisfacen la siguiente cota debido a Harald Cramér [13] [14] y Jack Indritz: [15]
Funciones de Hermite como funciones propias de la transformada de Fourier
Las funciones de Hermite ψ n ( x ) son un conjunto de funciones propias de la transformada continua de Fourier F . Para ver esto, tome la versión física de la función generadora y multiplíquela por e − 1/2 x 2 . Esto da
La transformada de Fourier del lado izquierdo viene dada por
La transformada de Fourier del lado derecho viene dada por
Al equiparar potencias semejantes de t en las versiones transformadas de los lados izquierdo y derecho, finalmente se obtiene
Las funciones de Hermite ψ n ( x ) son, por tanto, una base ortonormal de L 2 ( R ) , que diagonaliza el operador de transformada de Fourier . [dieciséis]
Distribuciones de Wigner de funciones de Hermite
La función de distribución de Wigner de la función de Hermite de orden n está relacionada con el polinomio de Laguerre de orden n . Los polinomios de Laguerre
conducen a las funciones de Laguerre del oscilador.
Para todos los enteros naturales n , es sencillo ver [17] que
donde la distribución de Wigner de una función x ∈ L 2 ( R , C ) se define como
Este es un resultado fundamental para el oscilador armónico cuántico descubierto por Hip Groenewold en 1946 en su tesis doctoral. [18] Es el paradigma estándar de la mecánica cuántica en el espacio de fases .
Existen más relaciones entre las dos familias de polinomios.
Interpretación combinatoria de coeficientes.
En el polinomio de Hermite He n ( x ) de varianza 1, el valor absoluto del coeficiente de x k es el número de particiones (desordenadas) de un n -elemento conjunto en k singletons y norte - k/2 pares (desordenados). De manera equivalente, es el número de involuciones de un conjunto de n elementos con precisamente k puntos fijos, o en otras palabras, el número de coincidencias en el gráfico completo en n vértices que dejan k vértices descubiertos (de hecho, los polinomios de Hermite son los polinomios de Hermite) . polinomios de estas gráficas). La suma de los valores absolutos de los coeficientes da el número total de particiones en singletons y pares, los llamados números de teléfono .
1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (secuencia A000085 en el OEIS ).
Esta interpretación combinatoria se puede relacionar con polinomios de Bell exponenciales completos como
donde x i = 0 para todo i > 2 .
Estos números también pueden expresarse como un valor especial de los polinomios de Hermite: [19]
Además, la siguiente identidad de completitud para las funciones de Hermite anteriores se cumple en el sentido de distribuciones :
donde δ es la función delta de Dirac , ψ n las funciones de Hermite y δ ( x − y ) representa la medida de Lebesgue en la recta y = x en R 2 , normalizado para que su proyección sobre el eje horizontal sea la medida habitual de Lebesgue.
Esta identidad distribucional sigue a Wiener (1958) al tomar u → 1 en la fórmula de Mehler , válida cuando −1 < u < 1 :
que a menudo se expresa de manera equivalente como un núcleo separable, [20] [21]
La función ( x , y ) → E ( x , y ; u ) es la densidad de probabilidad gaussiana bivariada en R 2 , que es, cuando u está cerca de 1, muy concentrada alrededor de la recta y = x , y muy dispersa en esa linea. De ello se deduce que
cuando f y g son continuos y están apoyados de forma compacta.
Esto produce que f puede expresarse en funciones de Hermite como la suma de una serie de vectores en L 2 ( R ) , es decir,
El polinomio de Hermite se representa entonces como
Con esta representación para H n ( x ) y H n ( y ) , es evidente que
y esto produce la resolución deseada del resultado de identidad, utilizando nuevamente la transformada de Fourier de los núcleos gaussianos bajo la sustitución
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