En matemáticas , una hipérbola ( / h aɪ ˈ p ɜːr b ə l ə /ⓘ ; pl. hipérbolasohipérbolas /- l iː /ⓘ ; adj. hiperbólico / ˌ h aɪ p ər ˈ b ɒ l ɪ k /ⓘ ) es un tipo desuaveque se encuentra en un plano, definida por sus propiedades geométricas o porecuacionespara las cuales es el conjunto solución. Una hipérbola tiene dos piezas, llamadascomponenteso ramas conectadas, que son imágenes especulares entre sí y se asemejan a dosarcos. La hipérbola es uno de los tres tipos desección cónica, formada por la intersección de unplanoy un doblecono. (Las otras secciones cónicas son laparábolay laelipse. Uncírculoes un caso especial de elipse). Si el plano corta ambas mitades del cono doble pero no pasa por el vértice de los conos, entonces la cónica es una hipérbola. .
Además de ser una sección cónica, una hipérbola puede surgir como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos fijos es constante, como una curva para cada punto cuyos rayos a dos focos fijos son reflejos a través de la línea tangente en ese punto, o como la solución de ciertas ecuaciones cuadráticas bivariadas como la relación recíproca [1] En aplicaciones prácticas, una hipérbola puede surgir como el camino que sigue la sombra de la punta de un gnomon de un reloj de sol , la forma de una órbita abierta como la de un objeto celeste que supera la velocidad de escape del cuerpo gravitacional más cercano, o la trayectoria de dispersión de una partícula subatómica , entre otras.
Cada rama de la hipérbola tiene dos brazos que se vuelven más rectos (curvatura más baja) a medida que se aleja del centro de la hipérbola. Los brazos diagonalmente opuestos, uno de cada rama, tienden en el límite a una recta común, llamada asíntota de esos dos brazos. Entonces hay dos asíntotas, cuya intersección está en el centro de simetría de la hipérbola, que puede considerarse como el punto especular alrededor del cual cada rama se refleja para formar la otra rama. En el caso de la curva las asíntotas son los dos ejes coordenados . [2]
La palabra "hipérbola" deriva del griego ὑπερβολή , que significa "sobrederribado" o "excesivo", del que también deriva el término inglés hipérbole . Las hipérbolas fueron descubiertas por Menecmo en sus investigaciones sobre el problema de duplicar el cubo , pero luego fueron llamadas secciones de conos obtusos. [3] Se cree que el término hipérbola fue acuñado por Apolonio de Perga (c. 262 – c. 190 a. C.) en su obra definitiva sobre las secciones cónicas , las Cónicas . [4]
Los nombres de las otras dos secciones cónicas generales, la elipse y la parábola , derivan de las palabras griegas correspondientes para "deficiente" y "aplicado"; Los tres nombres están tomados de la terminología pitagórica anterior que se refería a una comparación del lado de rectángulos de área fija con un segmento de recta dado. El rectángulo podría "aplicarse" al segmento (es decir, tener la misma longitud), ser más corto que el segmento o exceder el segmento. [5]
Una hipérbola es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto, la diferencia absoluta de las distancias a dos puntos fijos (los focos ) es constante, generalmente denotada por : [6]
El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la hipérbola. [7] La línea que pasa por los focos se llama eje mayor . Contiene los vértices , que tienen distancia al centro. La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal . El cociente es la excentricidad .
La ecuación se puede ver de otra manera (ver diagrama):
si el círculo tiene un punto medio y un radio , entonces la distancia de un punto de la rama derecha al círculo es igual a la distancia al foco :
directriz circular[8] [9]
Hipérbola con ecuación y = A / x
Si el sistema de coordenadas xy se gira alrededor del origen un ángulo y se asignan nuevas coordenadas , entonces .
La hipérbola rectangular (cuyos semiejes son iguales) tiene la nueva ecuación . Resolviendo para los rendimientos
Por tanto, en un sistema de coordenadas xy la gráfica de una función con ecuación
el recto semilatus y el radio de curvatura en los vértices
la excentricidad lineal y la excentricidad
la tangente en el punto
Una rotación de la hipérbola original da como resultado una hipérbola rectangular completamente en el segundo y cuarto cuadrante, con las mismas asíntotas, centro, recto semilato, radio de curvatura en los vértices, excentricidad lineal y excentricidad que en el caso de la rotación . , con ecuación
los semiejes
la línea como eje mayor,
los vértices
Al desplazar la hipérbola con la ecuación para que el nuevo centro sea , se obtiene la nueva ecuación
Por la propiedad de la directriz
Las dos rectas alejadas del centro y paralelas al eje menor se llaman directrices de la hipérbola (ver diagrama).
Para un punto arbitrario de la hipérbola, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad:
La afirmación inversa también es cierta y se puede utilizar para definir una hipérbola (de manera similar a la definición de una parábola):
Para cualquier punto (foco), cualquier recta (directriz) que no pasa por y cualquier número real con el conjunto de puntos (lugar de puntos), para el cual el cociente de las distancias al punto y a la recta es
Supongamos que es un punto de la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones
y
La sustitución produce
elipseparábolahipérbola
Si , introduce nuevos parámetros para que , entonces la ecuación anterior se convierta en
x
Construcción de una directriz.
Porque el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde). Por tanto, el punto se puede construir utilizando el teorema de Tales (no se muestra en el diagrama). La directriz es la perpendicular a la recta que pasa por el punto .
Construcción alternativa de : El cálculo muestra que ese punto es la intersección de la asíntota con su perpendicular (ver diagrama).
Como sección plana de un cono.
La intersección de un cono doble vertical por un plano que no pasa por el vértice con una pendiente mayor que la pendiente de las líneas del cono es una hipérbola (ver diagrama: curva roja). Para demostrar la propiedad definitoria de una hipérbola (ver arriba), se utilizan dos esferas de Dandelin , que son esferas que tocan el cono a lo largo de círculos y el plano de intersección (hipérbola) en los puntos y . Resulta: son los focos de la hipérbola.
Sea un punto arbitrario de la curva de intersección.
La generatriz del cono que contiene intersecta al círculo en un punto y al círculo en un punto .
Los segmentos de recta y son tangenciales a la esfera y, por tanto, tienen la misma longitud.
Los segmentos de recta y son tangenciales a la esfera y, por tanto, tienen la misma longitud.
El resultado es: es independiente del punto de la hipérbola , porque no importa dónde esté el punto, tiene que estar en círculos , y el segmento de línea tiene que cruzar el vértice. Por lo tanto, a medida que el punto se mueve a lo largo de la curva roja (hipérbola), el segmento de línea simplemente gira alrededor del vértice sin cambiar su longitud.
Construcción de pasadores y cuerdas
La definición de una hipérbola por sus focos y sus directrices circulares (ver arriba) se puede utilizar para dibujar un arco con la ayuda de alfileres, una cuerda y una regla: [10]
Elige los focos , los vértices y una de las directrices circulares , por ejemplo (círculo con radio )
Una regla está fijada en un punto libre para girar . El punto está marcado a distancia .
Se prepara una cuerda con longitud .
Un extremo de la cuerda se fija con alfileres en un punto de la regla y el otro extremo se fija con alfileres en el punto .
Tome un bolígrafo y sujete la cuerda contra el borde de la regla.
Al girar la regla, el bolígrafo dibuja un arco de la rama derecha de la hipérbola, debido a (consulte la definición de hipérbola por directrices circulares ).
Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no en perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.
Para la generación de puntos de la hipérbola se utilizan los lápices en los vértices . Sea un punto de la hipérbola y . El segmento de línea se divide en n segmentos equidistantes y esta división se proyecta paralela a la diagonal como dirección sobre el segmento de línea (ver diagrama). La proyección paralela es parte del mapeo proyectivo entre los lápices en y necesarios. Los puntos de intersección de dos rectas relacionadas son puntos de la hipérbola definida de forma única.
Observaciones:
La subdivisión podría extenderse más allá de los puntos y para obtener más puntos, pero la determinación de los puntos de intersección sería más inexacta. Una mejor idea es ampliar los puntos ya construidos por simetría (ver animación).
La generación Steiner también existe para elipses y parábolas.
La generación de Steiner a veces se denomina método del paralelogramo porque se pueden utilizar otros puntos en lugar de los vértices, que comienzan con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.
Ángulos inscritos para hipérbolas y = a /( x − b ) + c y la forma de 3 puntos
Una hipérbola con ecuación está determinada únicamente por tres puntos con diferentes coordenadas xey . Una forma sencilla de determinar los parámetros de la forma utiliza el teorema del ángulo inscrito para hipérbolas:
Para medir un ángulo entre dos rectas con ecuaciones en este contexto se utiliza el cociente
Teorema del ángulo inscrito para hipérbolas [11] [12] — Para cuatro puntos (ver diagrama) la siguiente afirmación es verdadera:
Los cuatro puntos están en una hipérbola con ecuación si y sólo si los ángulos en y son iguales en el sentido de la medida anterior. Eso significa que si
La prueba se puede derivar mediante un cálculo sencillo. Si los puntos están en una hipérbola, se puede asumir que la ecuación de la hipérbola es .
Una consecuencia del teorema del ángulo inscrito para las hipérbolas es la
Forma de 3 puntos de la ecuación de una hipérbola : la ecuación de la hipérbola determinada por 3 puntos es la solución de la ecuación.
para .
Como imagen afín de la hipérbola unitaria x 2 − y 2 = 1
Cualquier hipérbola es la imagen afín de la hipérbola unitaria con ecuación .
Representación paramétrica
Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (su determinante no es 0) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , la hipérbola unitaria se asigna a la hipérbola
es el centro, un punto de la hipérbola y un vector tangente en este punto.
Vértices
En general los vectores no son perpendiculares. Es decir, en general no son los vértices de la hipérbola. Pero señale las direcciones de las asíntotas. El vector tangente en el punto es
Se utilizaron las fórmulas , , y .
Los dos vértices de la hipérbola son
Representación implícita
Resolviendo la representación paramétrica por la regla de Cramer y usando , se obtiene la representación implícita
Hipérbola en el espacio
La definición de hipérbola en esta sección da una representación paramétrica de una hipérbola arbitraria, incluso en el espacio, si se permite que sean vectores en el espacio.
Como imagen afín de la hipérbola y = 1/ x
Debido a que la hipérbola unitaria es afínmente equivalente a la hipérbola , una hipérbola arbitraria puede considerarse como la imagen afín (ver sección anterior) de la hipérbola :
es el centro de la hipérbola, los vectores tienen las direcciones de las asíntotas y es un punto de la hipérbola. El vector tangente es
es equivalente a y son los vértices de la hipérbola.
Las siguientes propiedades de una hipérbola se prueban fácilmente utilizando la representación de una hipérbola presentada en esta sección.
Construcción tangente
El vector tangente se puede reescribir mediante factorización:
la diagonal del paralelogramo es paralela a la tangente en el punto de la hipérbola (ver diagrama).
Esta propiedad proporciona una manera de construir la tangente en un punto de la hipérbola.
Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de 3 puntos del teorema de Pascal . [13]
Área del paralelogramo gris
El área del paralelogramo gris en el diagrama anterior es
Construcción de puntos
Para una hipérbola con representación paramétrica (por simplicidad, el centro es el origen) se cumple lo siguiente:
Para dos puntos cualesquiera, los puntos
son colineales con el centro de la hipérbola (ver diagrama).
La prueba simple es una consecuencia de la ecuación .
Esta propiedad brinda la posibilidad de construir puntos de una hipérbola si se dan las asíntotas y un punto.
Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal . [14]
Triángulo tangente-asíntota
Por simplicidad, el centro de la hipérbola puede ser el origen y los vectores tienen la misma longitud. Si el último supuesto no se cumple, primero se puede aplicar una transformación de parámetros (ver arriba) para que el supuesto sea verdadero. De ahí están los vértices, abarcan el eje menor y se obtiene y .
Para los puntos de intersección de la tangente en el punto con las asíntotas se obtienen los puntos
El área del triángulo es independiente del punto de la hipérbola:
Reciprocidad de un círculo
La reciprocidad de un círculo B en un círculo C siempre produce una sección cónica como una hipérbola. El proceso de "reciprocidad en un círculo C " consiste en sustituir cada línea y punto de una figura geométrica por su correspondiente polo y polar , respectivamente. El polo de una recta es la inversión de su punto más cercano al círculo C , mientras que el polar de un punto es lo contrario, es decir, una recta cuyo punto más cercano a C es la inversión del punto.
La excentricidad de la sección cónica obtenida por reciprocidad es la relación entre las distancias entre los centros de los dos círculos y el radio r del círculo de reciprocidad C. Si B y C representan los puntos en los centros de los círculos correspondientes, entonces
Dado que la excentricidad de una hipérbola es siempre mayor que uno, el centro B debe estar fuera del círculo alternativo C.
Esta definición implica que la hipérbola es tanto el lugar geométrico de los polos de las rectas tangentes al círculo B , como también la envolvente de las rectas polares de los puntos en B. Por el contrario, el círculo B es la envoltura de los polares de los puntos de la hipérbola y el lugar geométrico de los polos de las rectas tangentes a la hipérbola. Dos rectas tangentes a B no tienen polos (finitos) porque pasan por el centro C del círculo alternativo C ; las polares de los puntos tangentes correspondientes a B son las asíntotas de la hipérbola. Las dos ramas de la hipérbola corresponden a las dos partes del círculo B que están separadas por estos puntos tangentes.
Ecuación cuadrática
Una hipérbola también se puede definir como una ecuación de segundo grado en las coordenadas cartesianas en el plano ,
siempre que las constantes y satisfagan la condición determinante
Este determinante se denomina convencionalmente discriminante de la sección cónica. [15]
Un caso especial de hipérbola (la hipérbola degenerada que consta de dos líneas que se cruzan) ocurre cuando otro determinante es cero:
A este determinante a veces se le llama discriminante de la sección cónica. [dieciséis]
Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir de las coordenadas conocidas del centro del semieje mayor y del ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la hipérbola) utilizando las fórmulas:
Estas expresiones se pueden derivar de la ecuación canónica.
A modo de comparación, la ecuación correspondiente para una hipérbola degenerada (que consta de dos líneas que se cruzan) es
La recta tangente a un punto dado de la hipérbola está definida por la ecuación
donde y están definidos por
La recta normal a la hipérbola en el mismo punto viene dada por la ecuación
La recta normal es perpendicular a la tangente y ambas pasan por el mismo punto.
De la ecuación
el foco izquierdo es y el foco derecho es donde está la excentricidad. Denota las distancias desde un punto a los focos izquierdo y derecho como y Para un punto en la rama derecha,
y por un punto en la rama izquierda,
Esto se puede probar de la siguiente manera:
Si es un punto en la hipérbola, la distancia al punto focal izquierdo es
Hasta el punto focal derecho la distancia es
Si es un punto en la rama derecha de la hipérbola entonces y
Restando estas ecuaciones se obtiene
Si es un punto en la rama izquierda de la hipérbola entonces y
Restando estas ecuaciones se obtiene
En coordenadas cartesianas
Ecuación
Si se introducen coordenadas cartesianas de manera que el origen es el centro de la hipérbola y el eje x es el eje mayor, entonces la hipérbola se llama apertura este-oeste y
los focos son los puntos , [17]
los vértices son . [18]
Para un punto arbitrario la distancia al foco es y al segundo foco . Por tanto el punto está en la hipérbola si se cumple la siguiente condición
Esta ecuación se llama forma canónica de hipérbola, porque cualquier hipérbola, independientemente de su orientación relativa a los ejes cartesianos y de la ubicación de su centro, puede transformarse a esta forma mediante un cambio de variables, dando una hipérbola que es congruente con el original (ver más abajo).
Los ejes de simetría o ejes principales son el eje transversal (que contiene el segmento de longitud 2 a con extremos en los vértices) y el eje conjugado (que contiene el segmento de longitud 2 b perpendicular al eje transversal y con punto medio en el centro de la hipérbola) . [19] A diferencia de una elipse, una hipérbola tiene sólo dos vértices: . Los dos puntos de los ejes conjugados no están en la hipérbola.
De la ecuación se deduce que la hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y, por tanto, simétrica con respecto al origen.
Excentricidad
Para una hipérbola en la forma canónica anterior, la excentricidad viene dada por
Resolver la ecuación (arriba) de la hipérbola para obtener rendimientos
asíntotas[20]
Con la ayuda de la segunda figura se puede ver que
La distancia perpendicular desde un foco a cualquiera de las asíntotas es (el semieje menor).
De la forma normal de Hesse de las asíntotas y la ecuación de la hipérbola se obtiene: [21]
El producto de las distancias desde un punto de la hipérbola hasta ambas asíntotas es la constante que también se puede escribir en términos de la excentricidad e como
De la ecuación de la hipérbola (arriba) se puede derivar:
El producto de las pendientes de las rectas desde un punto P hasta los dos vértices es la constante
Además, de (2) arriba se puede demostrar que [21]
El producto de las distancias desde un punto de la hipérbola a las asíntotas a lo largo de líneas paralelas a las asíntotas es la constante
Recto semilato
La longitud de la cuerda que pasa por uno de los focos, perpendicular al eje mayor de la hipérbola, se denomina latus recto . La mitad es el recto semilatus . Un cálculo muestra
La forma más sencilla de determinar la ecuación de la tangente en un punto es derivar implícitamente la ecuación de la hipérbola. Denotando dy/dx como y′ , esto produce
Una línea tangente particular distingue la hipérbola de las otras secciones cónicas. [22] Sea f la distancia desde el vértice V (tanto en la hipérbola como en su eje que pasa por los dos focos) hasta el foco más cercano. Entonces la distancia, a lo largo de una línea perpendicular a ese eje, desde ese foco hasta un punto P en la hipérbola es mayor que 2 f . La tangente a la hipérbola en P interseca ese eje en el punto Q en un ángulo ∠PQV mayor que 45°.
Hipérbola rectangular
En el caso de la hipérbola se llama rectangular (o equilátera ), porque sus asíntotas se cortan en ángulos rectos. Para este caso, la excentricidad lineal es , la excentricidad y el recto semi-latus . La gráfica de la ecuación es una hipérbola rectangular.
Representación paramétrica con seno/coseno hiperbólico
Utilizando las funciones hiperbólicas seno y coseno , se puede obtener una representación paramétrica de la hipérbola , que es similar a la representación paramétrica de una elipse:
Se proporcionan más representaciones paramétricas en la sección Ecuaciones paramétricas a continuación.
Hipérbola conjugada
Intercambia y para obtener la ecuación de la hipérbola conjugada (ver diagrama):
Una hipérbola y su conjugado pueden tener diámetros conjugados . En la teoría de la relatividad especial , tales diámetros pueden representar ejes de tiempo y espacio, donde una hipérbola representa eventos a una distancia espacial determinada del centro , y la otra representa eventos a una distancia temporal correspondiente del centro.
En coordenadas polares
Origen en el foco
Las coordenadas polares utilizadas más comúnmente para la hipérbola se definen en relación con el sistema de coordenadas cartesianas que tiene su origen en un foco y su eje x apunta hacia el origen del "sistema de coordenadas canónico", como se ilustra en el primer diagrama.
En este caso el ángulo se llama verdadera anomalía .
En relación con este sistema de coordenadas se tiene que
y
Origen en el centro
Con coordenadas polares relativas al "sistema de coordenadas canónico" (ver segundo diagrama), se tiene que
Para la rama derecha de la hipérbola el rango de es
Ecuaciones paramétricas
Una hipérbola con ecuación se puede describir mediante varias ecuaciones paramétricas:
A través de funciones trigonométricas hiperbólicas
Como representación racional
A través de funciones trigonométricas circulares.
Con la pendiente tangente como parámetro:Una representación paramétrica, que utiliza la pendiente de la tangente en un punto de la hipérbola, se puede obtener de manera análoga al caso de la elipse: reemplace en el caso de la elipse por y use fórmulas para las funciones hiperbólicas . uno consigue
Aquí está la mitad superior e inferior de la hipérbola. Los puntos con tangentes verticales (vértices ) no están cubiertos por la representación.La ecuación de la tangente en el punto es
Esta descripción de las tangentes de una hipérbola es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una hipérbola.
Sea el doble del área entre el eje y un rayo que pasa por el origen que corta la hipérbola unitaria y define como las coordenadas del punto de intersección. Entonces el área del sector hiperbólico es el área del triángulo menos la región curva que pasa por el vértice en :
La tangente en un punto biseca el ángulo entre las líneas. Esto se llama propiedad óptica o propiedad de reflexión de una hipérbola. [23]
Prueba
Sea el punto en la línea con la distancia al foco (ver diagrama, es el semieje mayor de la hipérbola). La recta es la bisectriz del ángulo entre las rectas . Para demostrar que es la recta tangente en el punto , se comprueba que cualquier punto de la recta que sea diferente de no puede estar en la hipérbola. Por tanto, sólo tiene un punto en común con la hipérbola y, por tanto, es la tangente en el punto .
Del diagrama y de la desigualdad del triángulo se reconoce que se cumple, lo que significa: . Pero si es un punto de la hipérbola, la diferencia debería ser .
Puntos medios de cuerdas paralelas
Los puntos medios de las cuerdas paralelas de una hipérbola se encuentran en una línea que pasa por el centro (ver diagrama).
Los puntos de cualquier cuerda pueden estar en diferentes ramas de la hipérbola.
La prueba de la propiedad en puntos medios se realiza mejor para la hipérbola . Debido a que cualquier hipérbola es una imagen afín de la hipérbola (ver la sección a continuación) y una transformación afín preserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, la propiedad es cierta para todas las hipérbolas:
Para dos puntos de la hipérbola
el punto medio del acorde es
la pendiente de la cuerda es
Para cuerdas paralelas la pendiente es constante y los puntos medios de las cuerdas paralelas se encuentran en la recta
Consecuencia: para cualquier par de puntos de una cuerda existe una reflexión oblicua con un eje (conjunto de puntos fijos) que pasa por el centro de la hipérbola, que intercambia los puntos y deja la hipérbola (en su conjunto) fija. Una reflexión sesgada es una generalización de una reflexión ordinaria a través de una línea , donde todos los pares punto-imagen están en una línea perpendicular a .
Debido a que una reflexión sesgada deja fija la hipérbola, el par de asíntotas también lo es. Por lo tanto, el punto medio de una cuerda también divide en mitades el segmento de línea relacionado entre las asíntotas. Esto significa que . Esta propiedad se puede utilizar para la construcción de otros puntos de la hipérbola si se dan un punto y las asíntotas.
Si la cuerda degenera en tangente , entonces el punto de contacto divide el segmento de recta entre las asíntotas en dos mitades.
Tangentes ortogonales - ortópticas
Para una hipérbola, los puntos de intersección de tangentes ortogonales se encuentran en el círculo .
Este círculo se llama ortóptico de la hipérbola dada.
Las tangentes pueden pertenecer a puntos de diferentes ramas de la hipérbola.
En caso de que no existan pares de tangentes ortogonales.
Relación polo-polar para una hipérbola
Cualquier hipérbola se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto de la hipérbola es Si se permite que el punto sea un punto arbitrario diferente del origen, entonces
El punto se asigna a la línea , no a través del centro de la hipérbola.
Esta relación entre puntos y rectas es una biyección .
Esta relación entre puntos y líneas generadas por una cónica se llama relación polo-polar o simplemente polaridad . El polo es el punto, el polar la recta. Véase Polo y polar .
Mediante cálculo se comprueban las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la hipérbola:
Para un punto (polo) en la hipérbola, la polar es la tangente en este punto (ver diagrama: ).
Para un polo fuera de la hipérbola, los puntos de intersección de su polar con la hipérbola son los puntos de tangencia de las dos tangentes que pasan (ver diagrama: ).
Para un punto dentro de la hipérbola, el polar no tiene ningún punto en común con la hipérbola. (ver diagrama: ).
Observaciones:
El punto de intersección de dos polares (por ejemplo: ) es el polo de la línea que pasa por sus polos (aquí: ).
Los focos y respectivamente y las directrices y respectivamente pertenecen a pares de polo y polar.
También existen relaciones polo-polar para elipses y parábolas.
Otras propiedades
Los siguientes son concurrentes : (1) un círculo que pasa por los focos de la hipérbola y tiene su centro en el centro de la hipérbola; (2) cualquiera de las rectas que son tangentes a la hipérbola en los vértices; y (3) cualquiera de las asíntotas de la hipérbola. [24] [25]
También son concurrentes: (1) el círculo que tiene su centro en el centro de la hipérbola y que pasa por los vértices de la hipérbola; (2) cualquier directriz; y (3) cualquiera de las asíntotas. [25]
Longitud de arco
La longitud del arco de una hipérbola no tiene una expresión elemental . La mitad superior de una hipérbola se puede parametrizar como
Entonces la integral que da la longitud del arco desde hasta se puede calcular como:
A partir de la hipérbola se pueden derivar varias otras curvas mediante inversión , las llamadas curvas inversas de la hipérbola. Si se elige el centro de inversión como centro propio de la hipérbola, la curva inversa es la lemniscata de Bernoulli ; la lemniscata es también la envolvente de círculos centrados en una hipérbola rectangular y que pasa por el origen. Si el centro de inversión se elige en un foco o un vértice de la hipérbola, las curvas inversas resultantes son un limaçon o una estrofoide , respectivamente.
Coordenadas elípticas
Una familia de hipérbolas confocales es la base del sistema de coordenadas elípticas en dos dimensiones. Estas hipérbolas se describen mediante la ecuación
donde los focos están ubicados a una distancia c del origen en el eje x , y donde θ es el ángulo de las asíntotas con el eje x . Cada hipérbola de esta familia es ortogonal a cada elipse que comparte los mismos focos. Esta ortogonalidad se puede mostrar mediante un mapa conforme del sistema de coordenadas cartesiano w = z + 1/ z , donde z = x + iy son las coordenadas cartesianas originales y w = u + iv son las posteriores a la transformación.
Se pueden obtener otros sistemas de coordenadas bidimensionales ortogonales que involucran hipérbolas mediante otras asignaciones conformes. Por ejemplo, el mapeo w = z 2 transforma el sistema de coordenadas cartesiano en dos familias de hipérbolas ortogonales.
Análisis de la sección cónica de la apariencia hiperbólica de círculos.
Además de proporcionar una descripción uniforme de círculos, elipses, parábolas e hipérbolas, las secciones cónicas también pueden entenderse como un modelo natural de la geometría de la perspectiva en el caso en que la escena que se ve consta de círculos o, más generalmente, de una elipse. El espectador suele ser una cámara o el ojo humano y la imagen de la escena es una proyección central sobre un plano de la imagen, es decir, todos los rayos de proyección pasan por un punto fijo O , el centro. El plano de la lente es un plano paralelo al plano de la imagen en la lente O.
La imagen de un círculo c es
un círculo , si el círculo c está en una posición especial, por ejemplo paralelo al plano de la imagen y otras (ver proyección estereográfica),
una elipse , si c no tiene ningún punto en común con el plano de la lente,
una parábola , si c tiene un punto en común con el plano de la lente y
una hipérbola , si c tiene dos puntos con el plano de la lente en común.
(Se omiten las posiciones especiales donde el plano circular contiene el punto O. )
Estos resultados se pueden entender si se reconoce que el proceso de proyección se puede ver en dos pasos: 1) el círculo c y el punto O generan un cono que es 2) cortado por el plano de la imagen, para generar la imagen.
Uno ve una hipérbola cada vez que ve una porción de un círculo cortado por el plano de la lente. La incapacidad de ver gran parte de los brazos de la rama visible, combinada con la ausencia total de la segunda rama, hace prácticamente imposible que el sistema visual humano reconozca la conexión con las hipérbolas.
Aplicaciones
Relojes de sol
Se pueden ver hipérbolas en muchos relojes de sol . En un día cualquiera, el sol gira en un círculo sobre la esfera celeste , y sus rayos que inciden en el punto de un reloj de sol trazan un cono de luz. La intersección de este cono con el plano horizontal del suelo forma una sección cónica. En la mayoría de las latitudes pobladas y en la mayoría de las épocas del año, esta sección cónica es una hipérbola. En la práctica, la sombra de la punta de un poste traza una hipérbola en el suelo a lo largo de un día (este recorrido se llama línea de declinación ). La forma de esta hipérbola varía con la latitud geográfica y con la época del año, ya que esos factores afectan el cono de los rayos del sol con respecto al horizonte. Los griegos llamaban pelekinon a la colección de hipérbolas de este tipo durante todo un año en un lugar determinado , ya que se asemeja a un hacha de doble hoja.
Multilateración
Una hipérbola es la base para resolver problemas de multilateración , la tarea de localizar un punto a partir de las diferencias en sus distancias a puntos dados o, de manera equivalente, la diferencia en los tiempos de llegada de señales sincronizadas entre el punto y los puntos dados. Estos problemas son importantes en la navegación, especialmente en el agua; un barco puede localizar su posición a partir de la diferencia en los tiempos de llegada de las señales de un transmisor LORAN o GPS . Por el contrario, se puede localizar una baliza de localización o cualquier transmisor comparando los tiempos de llegada de sus señales a dos estaciones receptoras separadas; Estas técnicas pueden utilizarse para rastrear objetos y personas. En particular, el conjunto de posibles posiciones de un punto que tiene una diferencia de distancia de 2 a desde dos puntos dados es una hipérbola de separación de vértices 2 a cuyos focos son los dos puntos dados.
Camino seguido por una partícula
La trayectoria que sigue cualquier partícula en el problema clásico de Kepler es una sección cónica . En particular, si la energía total E de la partícula es mayor que cero (es decir, si la partícula no está unida), la trayectoria de dicha partícula es una hipérbola. Esta propiedad es útil para estudiar las fuerzas atómicas y subatómicas mediante la dispersión de partículas de alta energía; por ejemplo, el experimento de Rutherford demostró la existencia de un núcleo atómico examinando la dispersión de partículas alfa de los átomos de oro . Si se ignoran las interacciones nucleares de corto alcance, el núcleo atómico y la partícula alfa interactúan sólo mediante una fuerza repulsiva de Coulomb , que satisface el requisito de la ley del cuadrado inverso para un problema de Kepler.
Ecuación de Korteweg-de Vries
La función trigonométrica hiperbólica aparece como una solución a la ecuación de Korteweg-de Vries que describe el movimiento de una onda de solitón en un canal.
Trisección de ángulos
Como demostró por primera vez Apolonio de Perga , una hipérbola se puede utilizar para trisecar cualquier ángulo , un problema de geometría bien estudiado. Dado un ángulo, primero dibuja un círculo centrado en su vértice O , que corte los lados del ángulo en los puntos A y B. Luego dibuja el segmento de recta con los puntos extremos A y B y su bisectriz perpendicular . Construya una hipérbola de excentricidad e =2 con como directriz y B como foco. Sea P la intersección (superior) de la hipérbola con el círculo. El ángulo POB triseca al ángulo AOB .
Para probar esto, refleja el segmento OP alrededor de la recta obteniendo el punto P' como imagen de P . El segmento AP' tiene la misma longitud que el segmento BP debido a la reflexión, mientras que el segmento PP' tiene la misma longitud que el segmento BP debido a la excentricidad de la hipérbola. Como OA , OP' , OP y OB son todos radios del mismo círculo (y por lo tanto tienen la misma longitud), los triángulos OAP' , OPP' y OPB son todos congruentes. Por lo tanto, el ángulo ha sido trisecado, ya que 3× POB = AOB . [27]
Frontera de cartera eficiente
En teoría de carteras , el lugar geométrico de las carteras eficientes de varianza media (llamada frontera eficiente) es la mitad superior de la rama que se abre hacia el este de una hipérbola dibujada con la desviación estándar del rendimiento de la cartera trazada horizontalmente y su valor esperado trazado verticalmente; Según esta teoría, todos los inversores racionales elegirían una cartera caracterizada por algún punto en este locus.
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^ El término alemán para este círculo es Leitkreis , que puede traducirse como "Círculo de directores", pero ese término tiene un significado diferente en la literatura inglesa (ver Círculo de directores ).
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