En geometría , un polo y una polar son respectivamente un punto y una línea que tienen una relación recíproca única con respecto a una sección cónica dada .
La reciprocidad polar en un círculo dado es la transformación de cada punto del plano en su línea polar y de cada línea del plano en su polo.
Polo y polar tienen varias propiedades útiles:
El polo de una recta L en un círculo C es un punto Q que es la inversión en C del punto P en L que está más cerca del centro del círculo. Por el contrario, la recta polar (o polar ) de un punto Q en un círculo C es la recta L tal que su punto P más cercano al centro del círculo es la inversión de Q en C .
La relación entre polos y polares es recíproca. Por lo tanto, si un punto A se encuentra sobre la línea polar q de un punto Q , entonces el punto Q debe encontrarse sobre la línea polar a del punto A. Las dos líneas polares a y q no necesitan ser paralelas.
Existe otra descripción de la línea polar de un punto P en el caso de que se encuentre fuera del círculo C. En este caso, hay dos líneas a través de P que son tangentes al círculo , y la polar de P es la línea que une los dos puntos de tangencia (no se muestra aquí). Esto demuestra que el polo y la línea polar son conceptos en la geometría proyectiva del plano y se generalizan con cualquier cónica no singular en el lugar del círculo C.
Los conceptos de polo y su línea polar se han desarrollado en la geometría proyectiva . Por ejemplo, la línea polar puede considerarse como el conjunto de conjugados armónicos proyectivos de un punto dado, el polo, con respecto a una cónica. La operación de reemplazar cada punto por su polar y viceversa se conoce como polaridad.
Una polaridad es una correlación que también es una involución .
Para un punto P y su polar p , cualquier otro punto Q en p es el polo de una línea q que pasa por P . Esto constituye una relación recíproca, y es una en la que se conservan las incidencias. [1]
Los conceptos de polo, polar y reciprocidad pueden generalizarse de los círculos a otras secciones cónicas , como la elipse , la hipérbola y la parábola . Esta generalización es posible porque las secciones cónicas resultan de una reciprocidad de un círculo en otro círculo, y las propiedades involucradas, como la incidencia y la razón cruzada , se conservan bajo todas las transformaciones proyectivas .
Una sección cónica general puede escribirse como una ecuación de segundo grado en las coordenadas cartesianas ( x , y ) del plano
donde A xx , A xy , A yy , B x , B y y C son las constantes que definen la ecuación. Para una sección cónica de este tipo, la línea polar hasta un punto polar dado ( ξ , η ) se define mediante la ecuación
donde D , E y F son también constantes que dependen de las coordenadas polares ( ξ , η )
El polo de la línea , relativo a la sección cónica no degenerada, se puede calcular en dos pasos.
Primero, calcula los números x, y y z de
Ahora, el polo es el punto con coordenadas
En geometría proyectiva , dos líneas en un plano siempre se cortan. Por lo tanto, dados cuatro puntos que forman un cuadrángulo completo , las líneas que unen los puntos se cruzan en tres puntos diagonales adicionales .
Dado un punto Z que no está en la cónica C , traza dos secantes desde Z a C que se crucen en los puntos A , B , D y E . Entonces estos cuatro puntos forman un cuadrángulo completo y Z está en uno de los puntos diagonales. La línea que une los otros dos puntos diagonales es el polar de Z , y Z es el polo de esta línea. [2]
Los polos y polares fueron definidos por Joseph Díaz Gergonne y juegan un papel importante en su solución del problema de Apolonio . [3]
En dinámica planar, un polo es un centro de rotación, el polar es la línea de acción de la fuerza y la cónica es la matriz de masa-inercia. [4] La relación polo-polar se utiliza para definir el centro de percusión de un cuerpo rígido planar. Si el polo es el punto de articulación, entonces el polar es la línea de acción de percusión como se describe en la teoría del tornillo planar .
