teoría del tornillo

Formulación matemática de pares de vectores utilizados en física (dinámica de cuerpos rígidos)

La teoría del tornillo es el cálculo algebraico de pares de vectores , como la velocidad angular y lineal , o fuerzas y momentos , que surgen en la cinemática y dinámica de cuerpos rígidos . ^{[1] [2]}

La teoría de los tornillos proporciona una formulación matemática para la geometría de las líneas que es fundamental para la dinámica de los cuerpos rígidos , donde las líneas forman los ejes de los tornillos del movimiento espacial y las líneas de acción de las fuerzas. El par de vectores que forman las coordenadas de Plücker de una recta definen un tornillo unitario, y los tornillos generales se obtienen multiplicando por un par de números reales y suma de vectores . ^[3]

Los teoremas importantes de la teoría de tornillos incluyen: El principio de transferencia demuestra que los cálculos geométricos para puntos que utilizan vectores tienen cálculos geométricos paralelos para líneas obtenidas al reemplazar vectores con tornillos. ^[4] El teorema de Chasles demuestra que cualquier cambio entre dos posturas de objetos rígidos se puede realizar mediante un solo tornillo. El teorema de Poinsot demuestra que las rotaciones alrededor de los ejes mayor y menor de un objeto rígido, pero no intermedio, son estables.

La teoría de tornillos es una herramienta importante en la mecánica de robots, ^{[5] [6] [7] [8]} diseño mecánico, geometría computacional y dinámica multicuerpo . Esto se debe en parte a la relación entre tornillos y cuaterniones duales que se han utilizado para interpolar movimientos de cuerpos rígidos . ^[9] Basado en la teoría del tornillo, también se ha desarrollado un enfoque eficiente para la síntesis de tipos de mecanismos paralelos (manipuladores paralelos o robots paralelos). ^[10]

Conceptos básicos

El paso de un tornillo puro relaciona la rotación alrededor de un eje con la traslación a lo largo de ese eje.

Un desplazamiento espacial de un cuerpo rígido se puede definir mediante una rotación alrededor de una línea y una traslación a lo largo de la misma línea, llamadamovimiento del tornillo . Esto se conoce comoteorema de Chasles. Los seis parámetros que definen el movimiento de un tornillo son los cuatro componentes independientes del vector de Plücker que define el eje del tornillo, junto con el ángulo de rotación y el deslizamiento lineal a lo largo de esta línea, y forman un par de vectores llamadostornillo. A modo de comparación, los seis parámetros que definen un desplazamiento espacial también pueden venir dados por tresángulos de Eulerque definen la rotación y las tres componentes del vector de traslación.

Tornillo

Un tornillo es un vector de seis dimensiones construido a partir de un par de vectores tridimensionales, como fuerzas, pares y velocidad lineal y angular, que surgen en el estudio del movimiento espacial de cuerpos rígidos. Los componentes del tornillo definen las coordenadas de Plücker de una línea en el espacio y las magnitudes del vector a lo largo de la línea y el momento alrededor de esta línea.

Girar

Un giro es un tornillo que se utiliza para representar la velocidad de un cuerpo rígido como una velocidad angular alrededor de un eje y una velocidad lineal a lo largo de este eje. Todos los puntos del cuerpo tienen la misma componente de velocidad a lo largo del eje, sin embargo, cuanto mayor es la distancia al eje, mayor es la velocidad en el plano perpendicular a este eje. Por lo tanto, el campo helicoidal formado por los vectores de velocidad en un cuerpo rígido en movimiento se aplana cuanto más lejos están los puntos radialmente del eje de torsión.

Los puntos de un cuerpo que experimenta un movimiento de torsión constante trazan hélices en el marco fijo. Si este movimiento de tornillo tiene paso cero, entonces las trayectorias trazan círculos y el movimiento es pura rotación. Si el movimiento del tornillo tiene un paso infinito, entonces todas las trayectorias son líneas rectas en la misma dirección.

Llave inglesa

Los vectores de fuerza y ​​torsión que surgen al aplicar las leyes de Newton a un cuerpo rígido se pueden ensamblar en un tornillo llamado llave . Una fuerza tiene un punto de aplicación y una línea de acción, por lo tanto define las coordenadas de Plücker de una línea en el espacio y tiene paso cero. Un par, por otro lado, es un momento puro que no está ligado a una línea en el espacio y es un tornillo de paso infinito. La relación entre estas dos magnitudes define el paso del tornillo.

álgebra de tornillos

Sea un tornillo un par ordenado

${\displaystyle {\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),}$

donde S y V son vectores reales tridimensionales. La suma y la diferencia de estos pares ordenados se calculan por componentes. Los tornillos a menudo se denominan vectores duales .

Ahora, introduzca el par ordenado de números reales â = ( a ,  b ) llamado escalar dual . Sea la suma y resta de estos números por componentes y defina la multiplicación como

$${\displaystyle {\hat {a}}{\hat {c}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).}$$

SSVab

$${\displaystyle {\hat {a}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).}$$

Finalmente, introduzca los productos punto y cruz de los tornillos mediante las fórmulas:

$${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$$

$${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).}$$

Deje que el escalar dual ẑ = ( φ ,  d ) defina un ángulo dual , entonces las definiciones de series infinitas de seno y coseno producen las relaciones

$${\displaystyle \sin {\hat {z}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {z}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),}$$

ffφdfφdfφfφ

Estas definiciones permiten los siguientes resultados:

• Los tornillos unitarios son coordenadas de Plücker de una línea y satisfacen la relación
  $${\displaystyle |{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;}$$
• Sea ẑ = ( φ ,  d ) el ángulo dual, donde φ es el ángulo entre los ejes de S y T alrededor de su normal común, y d es la distancia entre estos ejes a lo largo de la normal común, entonces
  $${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\cos {\hat {z}};}$$
• Sea N el tornillo unitario que define la normal común a los ejes de S y T , y ẑ = ( φ ,  d ) es el ángulo dual entre estos ejes, entonces
  $${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\sin {\hat {z}}{\mathsf {N}}.}$$

Llave inglesa

Un ejemplo común de tornillo es la llave asociada con una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido. Sea P el punto de aplicación de la fuerza F y sea P el vector que ubica este punto en un marco fijo. La llave W = ( F , P × F ) es un tornillo. La fuerza y ​​el momento resultantes obtenidos de todas las fuerzas F _i , i  = 1,..., n , que actúan sobre un cuerpo rígido es simplemente la suma de las llaves individuales Wi _, es decir

${\displaystyle {\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Observe que el caso de dos fuerzas iguales pero opuestas F y − F que actúan en los puntos A y B respectivamente, produce la resultante

${\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).}$

Esto muestra que los tornillos de la forma

${\displaystyle {\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),}$

pueden interpretarse como momentos puros.

Girar

Para definir la torsión de un cuerpo rígido, debemos considerar su movimiento definido por el conjunto parametrizado de desplazamientos espaciales, D(t)=([A(t)], d (t)), donde [A] es un matriz de rotación y d es un vector de traslación. Esto hace que un punto p que está fijo en las coordenadas del cuerpo en movimiento trace una curva P (t) en el marco fijo dado por,

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).}$

La velocidad de P es

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}$

donde v es la velocidad del origen del marco móvil, es decir d d /dt. Ahora sustituya p  = [ A ^T ]( P  −  d ) en esta ecuación para obtener,

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}$

donde [Ω] = [d A /d t ][ A ^T ] es la matriz de velocidad angular y ω es el vector de velocidad angular.

El tornillo

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!}$

es la torsión del cuerpo en movimiento. El vector V  =  v  +  d  ×  ω es la velocidad del punto del cuerpo que corresponde con el origen del sistema fijo.

Hay dos casos especiales importantes: (i) cuando d es constante, es decir v  = 0, entonces el giro es una rotación pura alrededor de una línea, entonces el giro es

${\displaystyle {\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),}$

y (ii) cuando [Ω] = 0, es decir, el cuerpo no gira sino que solo se desliza en la dirección v , entonces el giro es un deslizamiento puro dado por

${\displaystyle {\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).}$

articulaciones revolucionarias

Para una articulación de revolución , deje que el eje de rotación pase por el punto q y se dirija a lo largo del vector ω , entonces el giro de la articulación viene dado por,

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}\omega \\q\times \omega \end{Bmatrix}}.}$

Juntas prismáticas

Para una articulación prismática , deje que el vector v que apunta defina la dirección del deslizamiento, luego el giro de la articulación viene dado por,

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}0\\v\end{Bmatrix}}.}$

Transformación coordinada de tornillos.

Las transformaciones de coordenadas para tornillos se entienden fácilmente comenzando con las transformaciones de coordenadas del vector de línea de Plücker, que a su vez se obtienen a partir de las transformaciones de coordenadas de puntos en la línea.

Sea el desplazamiento de un cuerpo definido por D  = ([ A ],  d ), donde [ A ] es la matriz de rotación y d es el vector de traslación. Considere la línea en el cuerpo definida por los dos puntos p y q , que tiene las coordenadas de Plücker ,

${\displaystyle {\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),}$

luego, en el marco fijo tenemos las coordenadas del punto transformado P  = [ A ] p  +  d y Q  = [ A ] q  +  d , que producen.

${\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

Por lo tanto, un desplazamiento espacial define una transformación para las coordenadas de Plücker de líneas dadas por

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

La matriz [ D ] es la matriz simétrica sesgada que realiza la operación del producto cruzado, es decir, [ D ] y  =  d  ×  y .

La matriz de 6 × 6 obtenida del desplazamiento espacial D  = ([ A ],  d ) se puede ensamblar en la matriz dual

${\displaystyle [{\hat {A}}]=([A],[DA]),}$

que opera sobre un tornillo s  = ( s . v ) para obtener,

${\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {A}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).}$

La matriz dual [ Â ] = ([ A ], [ DA ]) tiene determinante 1 y se llama matriz ortogonal dual .

Giros como elementos de un álgebra de Lie

Considere el movimiento de un cuerpo rígido definido por la transformada homogénea 4x4 parametrizada,

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Esta notación no distingue entre P = ( X , Y , Z , 1) y P = ( X , Y , Z ), lo cual, con suerte, quedará claro en el contexto.

La velocidad de este movimiento se define calculando la velocidad de las trayectorias de los puntos del cuerpo,

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

El punto denota la derivada con respecto al tiempo y, como p es constante, su derivada es cero.

Sustituya la transformada inversa de p en la ecuación de velocidad para obtener la velocidad de P operando en su trayectoria P ( t ), es decir

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}$

dónde

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

Recuerde que [Ω] es la matriz de velocidad angular. La matriz [ S ] es un elemento del álgebra de Lie se(3) del grupo de Lie SE(3) de transformadas homogéneas. Los componentes de [ S ] son ​​los componentes del tornillo giratorio y, por esta razón, a [ S ] también se le suele llamar giro.

A partir de la definición de la matriz [ S ], podemos formular la ecuación diferencial ordinaria,

${\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],}$

y pregunta por el movimiento [ T ( t )] que tiene una matriz de torsión constante [ S ]. La solución es la matriz exponencial.

${\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}$

Esta formulación se puede generalizar de modo que dada una configuración inicial g (0) en SE ( n ) y un giro ξ en se( n ), la transformación homogénea a una nueva ubicación y orientación se puede calcular con la fórmula,

${\displaystyle g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),}$

donde θ representa los parámetros de la transformación.

Tornillos por reflexión

En geometría de transformación , el concepto elemental de transformación es la reflexión (matemáticas) . En transformaciones planas, una traslación se obtiene por reflexión en líneas paralelas y la rotación se obtiene por reflexión en un par de líneas que se cruzan. Para producir una transformación de tornillo a partir de conceptos similares se deben utilizar planos en el espacio : los planos paralelos deben ser perpendiculares al eje del tornillo , que es la línea de intersección de los planos que se cruzan y que generan la rotación del tornillo. Así, cuatro reflexiones en planos provocan una transformación helicoidal. La tradición de la geometría inversiva toma prestadas algunas de las ideas de la geometría proyectiva y proporciona un lenguaje de transformación que no depende de la geometría analítica .

Homografía

La combinación de una traslación con una rotación efectuada por un desplazamiento de tornillo se puede ilustrar con el mapeo exponencial .

Dado que ε ² = 0 para números duales , exp( aε ) = 1 + aε , todos los demás términos de la serie exponencial desaparecen.

Sea F = {1 + εr  : r ∈ H }, ε ² = 0. Tenga en cuenta que F es estable bajo la rotación q → p ⁻¹ qp y bajo la traslación (1 + εr )(1 + εs ) = 1 + ε ( r + s ) para cualquier cuaternión vectorial r y s .F es un 3-plano en el espacio de ocho dimensiones de cuaterniones duales . Esta F triplana representa el espacio , y la homografía construida, restringida a F , es un desplazamiento del espacio en forma de tornillo.

Sea a la mitad del ángulo de giro deseado alrededor del eje r , y br la mitad del desplazamiento sobre el eje del tornillo . Luego forme z = exp(( a + bε ) r ) y z* = exp(( a − bε ) r ). Ahora la homografía es

${\displaystyle [q\ :\ 1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz\ :\ z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz\ :\ 1].}$

La inversa para z * es

${\displaystyle {\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},}$

entonces, la homografía envía q a

${\displaystyle (e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

Ahora, para cualquier vector cuaternión p , p * = − p , sea q = 1 + pε ∈ F  donde se efectúa la rotación y traslación requeridas.

Evidentemente el grupo de unidades del anillo de cuaterniones duales es un grupo de Lie . Un subgrupo tiene álgebra de Lie generada por los parámetros ar y bs , donde a , b ∈ R y r , s ∈ H. Estos seis parámetros generan un subgrupo de unidades, la esfera unitaria. Por supuesto, incluye F y las 3 esferas de versores .

Trabajo de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido.

Considere el conjunto de fuerzas F ₁ , F ₂ ... F _n que actúan sobre los puntos X ₁ , X ₂ ... X _n en un cuerpo rígido. Las trayectorias de X _i , i  = 1,..., n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido con rotación [ A ( t )] y la traslación d ( t ) de un punto de referencia en el cuerpo, dada por

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}$

donde x _i son coordenadas en el cuerpo en movimiento.

La velocidad de cada punto X _i es

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,}$

donde ω es el vector de velocidad angular y v es la derivada de d ( t ).

El trabajo de las fuerzas sobre el desplazamiento δ r _i = v _i δt de cada punto viene dado por

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

Defina las velocidades de cada punto en términos de la torsión del cuerpo en movimiento para obtener

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.}$

Expanda esta ecuación y recopile los coeficientes de ω y v para obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}}$

Introducir el giro del cuerpo móvil y la llave que actúa sobre él dada por

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

entonces el trabajo toma la forma

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.}$

La matriz 6×6 [Π] se utiliza para simplificar el cálculo del trabajo mediante tornillos, de modo que

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,}$

dónde

${\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},}$

y [I] es la matriz identidad de 3×3.

Tornillos recíprocos

Si el trabajo virtual de una llave en una torsión es cero, entonces las fuerzas y el torque de la llave son fuerzas de restricción relativas a la torsión. Se dice que la llave y el giro son recíprocos, es decir, si

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,}$

entonces los tornillos W y T son recíprocos.

Giros en robótica

En el estudio de sistemas robóticos, los componentes del giro a menudo se transponen para eliminar la necesidad de la matriz 6×6 [Π] en el cálculo del trabajo. ^[4] En este caso el giro se define como

${\displaystyle {\check {\mathsf {T}}}=(\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} ,{\vec {\omega }}),}$

entonces el cálculo del trabajo toma la forma

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t.}$

En este caso, si

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t=0,}$

entonces la llave W es recíproca al giro T.

Historia

El marco matemático fue desarrollado por Sir Robert Stawell Ball en 1876 para su aplicación en cinemática y estática de mecanismos (mecánica de cuerpos rígidos). ^[3]

Felix Klein vio la teoría de los tornillos como una aplicación de la geometría elíptica y su Programa de Erlangen . ^[11] También desarrolló la geometría elíptica y una nueva visión de la geometría euclidiana, con la métrica de Cayley-Klein . Harvey Lipkin ha descrito el uso de una matriz simétrica para una cónica y métrica de von Staudt , aplicada a tornillos. ^[12] Otros contribuyentes destacados incluyen a Julius Plücker , WK Clifford , FM Dimentberg, Kenneth H. Hunt , JR Phillips. ^[13]

La idea de la homografía en geometría de transformación fue propuesta por Sophus Lie hace más de un siglo. Incluso antes, William Rowan Hamilton mostró la forma versor de los cuaterniones unitarios como exp( ar )= cos a + r sin a . La idea también está en la fórmula de Euler que parametriza el círculo unitario en el plano complejo .

William Kingdon Clifford inició el uso de cuaterniones duales para la cinemática , seguido por Aleksandr Kotelnikov , Eduard Study ( Geometrie der Dynamen ) y Wilhelm Blaschke . Sin embargo, el punto de vista de Sophus Lie ha vuelto a aparecer. ^[14] En 1940, Julian Coolidge describió el uso de cuaterniones duales para desplazamientos de tornillos en la página 261 de Una historia de métodos geométricos . Toma nota de la contribución de Arthur Buchheim en 1885 . ^[15] Coolidge basó su descripción simplemente en las herramientas que Hamilton había utilizado para los cuaterniones reales.

Ver también

• Eje de tornillo
• Las ecuaciones de Newton-Euler utilizan tornillos para describir cargas y movimientos de cuerpos rígidos.
• Giro (matemáticas)
• Giro (trigonometría racional)

Referencias

1. Dimentberg, FM (1965) El cálculo de tornillos y sus aplicaciones en mecánica, traducción de la División de Tecnología Extranjera FTD-HT-23-1632-67
2. Yang, AT (1974) "Cálculo de tornillos" en Preguntas básicas de la teoría del diseño , William R. Spillers (ed.), Elsevier, págs.
3. Ball, RS (1876). La teoría de los tornillos: un estudio de la dinámica de un cuerpo rígido. Hodges, Foster.
4. McCarthy, J. Michael; Entonces, Gim Song (2010). Diseño Geométrico de Enlaces. Saltador. ISBN 978-1-4419-7892-9.
5. Plumas, Roy (1987). Algoritmos de dinámica de robots. Pub académico Kluwer. ISBN 978-0-89838-230-3.
6. Plumas, Roy (2008). Algoritmos de dinámica de robots. Saltador. ISBN 978-0-387-74315-8.
7. Murray, Richard M.; Li, Zexiang; Sastry, S. Shankar; Sastry, S. Shankara (22 de marzo de 1994). Una introducción matemática a la manipulación robótica. Prensa CRC. ISBN 978-0-8493-7981-9.
8. Lynch, Kevin M.; Parque, Frank C. (25 de mayo de 2017). Robótica moderna. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-15630-2.
9. Selig, JM (2011) "Interpolación racional de movimientos de cuerpos rígidos", Avances en la teoría del control, señales y sistemas con modelado físico, Apuntes de conferencias sobre ciencias de la información y el control, volumen 407/2011 213–224, doi : 10.1007/ 978-3-642-16135-3_18 Saltador.
10. Kong, Xianwen; Gosselin, Clément (2007). Tipo Síntesis de Mecanismos Paralelos. Saltador. ISBN 978-3-540-71990-8.
11. Felix Klein (1902) (traductor de DH Delphenich) Sobre la teoría de los tornillos de Sir Robert Ball
12. Harvey Lipkin (1983) Geometría métrica Archivado el 5 de marzo de 2016 en la Wayback Machine de Georgia Tech
13. Clifford, William Kingdon (1873), "Bosquejo preliminar de bicuaterniones", artículo XX, artículos matemáticos , p. 381.
14. Xiangke Wang, Dapeng Han, Changbin Yu y Zhiqiang Zheng (2012) "La estructura geométrica de cuaterniones duales unitarios con aplicación en control cinemático", Journal of Mathematical Analysis and Applications 389(2):1352 a 64
15. Buchheim, Arturo (1885). "Una memoria sobre bicuaterniones". Revista Estadounidense de Matemáticas . 7 (4): 293–326. doi :10.2307/2369176. JSTOR  2369176.

enlaces externos

• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Departamento de Diseño e Innovación, Open University, Londres.
• Ravi Banavar notas sobre robótica, geometría y control