El sistema multicuerpo es el estudio del comportamiento dinámico de cuerpos rígidos o flexibles interconectados, cada uno de los cuales puede sufrir grandes desplazamientos traslacionales y rotacionales .
El tratamiento sistemático del comportamiento dinámico de cuerpos interconectados ha dado lugar a un gran número de formalismos multicuerpo importantes en el campo de la mecánica . Los cuerpos o elementos más simples de un sistema multicuerpo fueron tratados por Newton (partícula libre) y Euler (cuerpo rígido). Euler introdujo las fuerzas de reacción entre cuerpos. Posteriormente se derivaron una serie de formalismos, sólo para mencionar los formalismos de Lagrange basados en coordenadas mínimas y una segunda formulación que introduce restricciones.
Básicamente, el movimiento de los cuerpos se describe por su comportamiento cinemático . El comportamiento dinámico resulta del equilibrio de las fuerzas aplicadas y la tasa de cambio del impulso. Hoy en día, el término sistema multicuerpo está relacionado con un gran número de campos de investigación de la ingeniería, especialmente en robótica y dinámica de vehículos. Como característica importante, los formalismos de sistemas multicuerpo suelen ofrecer una forma algorítmica asistida por computadora de modelar, analizar, simular y optimizar el movimiento arbitrario de posiblemente miles de cuerpos interconectados.
Mientras que los cuerpos individuales o partes de un sistema mecánico se estudian en detalle con métodos de elementos finitos, el comportamiento de todo el sistema multicuerpo generalmente se estudia con métodos de sistemas multicuerpo dentro de las siguientes áreas:
El siguiente ejemplo muestra un sistema multicuerpo típico. Por lo general, se denomina mecanismo de manivela deslizante. El mecanismo se utiliza para transformar el movimiento de rotación en movimiento de traslación por medio de una viga impulsora giratoria, una biela y un cuerpo deslizante. En el presente ejemplo, se utiliza un cuerpo flexible para la varilla de conexión. No se permite que la masa deslizante gire y se utilizan tres juntas de revolución para conectar los cuerpos. Si bien cada cuerpo tiene seis grados de libertad en el espacio, las condiciones cinemáticas conducen a un grado de libertad para todo el sistema.
El movimiento del mecanismo se puede ver en la siguiente animación gif:
Generalmente se considera que un cuerpo es una parte rígida o flexible de un sistema mecánico (no debe confundirse con el cuerpo humano). Un ejemplo de cuerpo es el brazo de un robot, una rueda o eje de un automóvil o el antebrazo humano. Un vínculo es la conexión de dos o más cuerpos, o de un cuerpo con el suelo. El vínculo está definido por ciertas restricciones (cinemáticas) que restringen el movimiento relativo de los cuerpos. Las restricciones típicas son:
Hay dos términos importantes en los sistemas multicuerpo: grado de libertad y condición de restricción.
Los grados de libertad denotan el número de posibilidades cinemáticas independientes para moverse. En otras palabras, los grados de libertad son el número mínimo de parámetros necesarios para definir completamente la posición de una entidad en el espacio.
Un cuerpo rígido tiene seis grados de libertad en el caso de un movimiento espacial general, tres de ellos grados de libertad traslacionales y tres grados de libertad rotacionales. En el caso del movimiento plano, un cuerpo tiene sólo tres grados de libertad con sólo un grado de libertad de rotación y dos de traslación.
Los grados de libertad en el movimiento plano se pueden demostrar fácilmente con el ratón de una computadora. Los grados de libertad son: izquierda-derecha, adelante-atrás y la rotación alrededor del eje vertical.
Una condición de restricción implica una restricción en los grados de libertad cinemática de uno o más cuerpos. La restricción clásica suele ser una ecuación algebraica que define la traslación o rotación relativa entre dos cuerpos. Además, existen posibilidades de limitar la velocidad relativa entre dos cuerpos o un cuerpo y el suelo. Este es, por ejemplo, el caso de un disco rodante, donde el punto del disco que hace contacto con el suelo tiene siempre una velocidad relativa cero con respecto al suelo. En el caso de que la condición de restricción de velocidad no pueda integrarse en el tiempo para formar una restricción de posición, se denomina no holonómica . Este es el caso de la restricción rodante general.
Además de eso, existen restricciones no clásicas que podrían incluso introducir una nueva coordenada desconocida, como una junta deslizante, donde se permite que un punto de un cuerpo se mueva a lo largo de la superficie de otro cuerpo. En el caso del contacto, la condición de restricción se basa en desigualdades y, por lo tanto, dicha restricción no restringe permanentemente los grados de libertad de los cuerpos.
Las ecuaciones de movimiento se utilizan para describir el comportamiento dinámico de un sistema multicuerpo. Cada formulación de sistema multicuerpo puede conducir a una apariencia matemática diferente de las ecuaciones de movimiento, mientras que la física detrás es la misma. El movimiento de los cuerpos constreñidos se describe mediante ecuaciones que resultan básicamente de la segunda ley de Newton. Las ecuaciones están escritas para el movimiento general de cuerpos individuales con la adición de condiciones de restricción. Normalmente las ecuaciones de movimientos se derivan de las ecuaciones de Newton-Euler o de las ecuaciones de Lagrange .
El movimiento de cuerpos rígidos se describe mediante
Estos tipos de ecuaciones de movimiento se basan en las llamadas coordenadas redundantes, porque las ecuaciones utilizan más coordenadas que grados de libertad del sistema subyacente. Las coordenadas generalizadas se denotan por , la matriz de masa se representa mediante la cual puede depender de las coordenadas generalizadas. representa las condiciones de restricción y la matriz (a veces denominada jacobiana ) es la derivada de las condiciones de restricción con respecto a las coordenadas. Esta matriz se utiliza para aplicar fuerzas de restricción a las ecuaciones correspondientes de los cuerpos. Los componentes del vector también se denominan multiplicadores de Lagrange. En un cuerpo rígido, las posibles coordenadas podrían dividirse en dos partes,
donde representa traslaciones y describe las rotaciones.
En el caso de cuerpos rígidos, el llamado vector de velocidad cuadrático se utiliza para describir términos de Coriolis y centrífugos en las ecuaciones de movimiento. El nombre se debe a que incluye términos cuadráticos de velocidades y resulta de derivadas parciales de la energía cinética del cuerpo.
El multiplicador de Lagrange está relacionado con una condición de restricción y generalmente representa una fuerza o un momento que actúa en la “dirección” del grado de libertad de la restricción. Los multiplicadores de Lagrange no "trabajan" en comparación con las fuerzas externas que cambian la energía potencial de un cuerpo.
Las ecuaciones de movimiento (1,2) se representan mediante coordenadas redundantes, es decir, las coordenadas no son independientes. Esto puede ejemplificarse con el mecanismo de manivela deslizante que se muestra arriba, donde cada cuerpo tiene seis grados de libertad mientras que la mayoría de las coordenadas dependen del movimiento de los otros cuerpos. Por ejemplo, se podrían usar 18 coordenadas y 17 restricciones para describir el movimiento de la manivela deslizante con cuerpos rígidos. Sin embargo, como sólo hay un grado de libertad, la ecuación de movimiento también podría representarse mediante una ecuación y un grado de libertad, utilizando, por ejemplo, el ángulo del eslabón motriz como grado de libertad. Esta última formulación tiene entonces el número mínimo de coordenadas para describir el movimiento del sistema y, por tanto, puede denominarse formulación de coordenadas mínimas. La transformación de coordenadas redundantes en coordenadas mínimas es a veces engorrosa y sólo es posible en el caso de restricciones holonómicas y sin bucles cinemáticos. Se han desarrollado varios algoritmos para la derivación de ecuaciones de movimiento de coordenadas mínimas, por mencionar sólo la llamada formulación recursiva. Las ecuaciones resultantes son más fáciles de resolver porque, en ausencia de condiciones de restricción, se pueden utilizar métodos estándar de integración temporal para integrar las ecuaciones de movimiento en el tiempo. Si bien el sistema reducido podría resolverse de manera más eficiente, la transformación de las coordenadas podría resultar computacionalmente costosa. En formulaciones de sistemas multicuerpo y sistemas de software muy generales, se utilizan coordenadas redundantes para que los sistemas sean fáciles de usar y flexibles.
Hay varios casos en los que es necesario considerar la flexibilidad de los órganos. Por ejemplo, en los casos en los que la flexibilidad juega un papel fundamental tanto en la cinemática como en los mecanismos dóciles.
La flexibilidad podría tenerse en cuenta de diferentes maneras. Hay tres enfoques principales:
![{\displaystyle \mathbf {q} =\left[\mathbf {u} \quad \mathbf {\Psi } \right]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20d6dbee4375da4b6ffc3e0df78921b00d47139)
