Mecánica analítica

Descripción general de la mecánica basada en el principio de mínima acción.

En física teórica y física matemática , la mecánica analítica o mecánica teórica es una colección de formulaciones estrechamente relacionadas de la mecánica clásica . La mecánica analítica utiliza propiedades escalares del movimiento que representan el sistema como un todo, generalmente su energía cinética y su energía potencial . Las ecuaciones de movimiento se derivan de la cantidad escalar mediante algún principio subyacente sobre la variación del escalar .

La mecánica analítica fue desarrollada por muchos científicos y matemáticos durante el siglo XVIII en adelante, después de la mecánica newtoniana . La mecánica newtoniana considera cantidades vectoriales de movimiento, particularmente aceleraciones , momentos y fuerzas , de los constituyentes del sistema; también puede denominarse mecánica vectorial . ^[1] Un escalar es una cantidad, mientras que un vector está representado por cantidad y dirección. Los resultados de estos dos enfoques diferentes son equivalentes, pero el enfoque de la mecánica analítica tiene muchas ventajas para problemas complejos.

La mecánica analítica aprovecha las limitaciones de un sistema para resolver problemas. Las restricciones limitan los grados de libertad que puede tener el sistema y pueden usarse para reducir la cantidad de coordenadas necesarias para resolver el movimiento. El formalismo se adapta bien a elecciones arbitrarias de coordenadas, conocidas en el contexto como coordenadas generalizadas . Las energías cinética y potencial del sistema se expresan utilizando estas coordenadas o momentos generalizados, y las ecuaciones de movimiento se pueden establecer fácilmente, por lo que la mecánica analítica permite resolver numerosos problemas mecánicos con mayor eficiencia que los métodos totalmente vectoriales. No siempre funciona para fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas como la fricción , en cuyo caso se puede volver a la mecánica newtoniana.

Dos ramas dominantes de la mecánica analítica son la mecánica lagrangiana (que utiliza coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas correspondientes en el espacio de configuración ) y la mecánica hamiltoniana (que utiliza coordenadas y momentos correspondientes en el espacio de fase ). Ambas formulaciones son equivalentes mediante una transformación de Legendre en las coordenadas, velocidades y momentos generalizados; por lo tanto, ambos contienen la misma información para describir la dinámica de un sistema. Existen otras formulaciones como la teoría de Hamilton-Jacobi , la mecánica de Routh y la ecuación de movimiento de Appell . Todas las ecuaciones de movimiento para partículas y campos, en cualquier formalismo, pueden derivarse del resultado ampliamente aplicable llamado principio de mínima acción . Un resultado es el teorema de Noether , una afirmación que conecta las leyes de conservación con sus simetrías asociadas .

La mecánica analítica no introduce nueva física y no es más general que la mecánica newtoniana. Más bien es una colección de formalismos equivalentes que tienen una amplia aplicación. De hecho, los mismos principios y formalismos pueden usarse en la mecánica relativista y la relatividad general , y con algunas modificaciones, en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos .

La mecánica analítica se utiliza ampliamente, desde la física fundamental hasta las matemáticas aplicadas , particularmente la teoría del caos .

Los métodos de la mecánica analítica se aplican a partículas discretas, cada una con un número finito de grados de libertad. Se pueden modificar para describir campos o fluidos continuos, que tienen infinitos grados de libertad. Las definiciones y ecuaciones tienen una estrecha analogía con las de la mecánica.

Motivación para la mecánica analítica.

El objetivo de la teoría mecánica es resolver problemas mecánicos, como los que surgen en física e ingeniería. A partir de un sistema físico, como un mecanismo o un sistema estelar, se desarrolla un modelo matemático en forma de ecuación diferencial. El modelo se puede resolver numérica o analíticamente para determinar el movimiento del sistema.

El enfoque vectorial de Newton a la mecánica describe el movimiento con la ayuda de cantidades vectoriales como fuerza , velocidad y aceleración . Estas cantidades caracterizan el movimiento de un cuerpo idealizado como un "punto de masa" o una " partícula " entendida como un punto único al que está unida una masa. El método de Newton se ha aplicado con éxito a una amplia gama de problemas físicos, incluido el movimiento de una partícula en el campo gravitacional de la Tierra y el movimiento de los planetas alrededor del Sol. En este enfoque, las leyes de Newton describen el movimiento mediante una ecuación diferencial y luego el problema se reduce a resolver esa ecuación.

Sin embargo, cuando un sistema mecánico contiene muchas partículas (como un mecanismo complejo o un fluido ), el enfoque de Newton es difícil de aplicar. Es posible utilizar un enfoque newtoniano, con las precauciones adecuadas, es decir, aislar cada partícula de las demás y determinar todas las fuerzas que actúan sobre ella. Este análisis es engorroso incluso en sistemas relativamente simples. Newton pensó que su tercera ley "acción es igual a reacción" solucionaría todas las complicaciones. ^{[ cita necesaria ]} Esto es falso incluso para sistemas tan simples como las rotaciones de un cuerpo sólido . ^{[ se necesita aclaración ]} En sistemas más complicados, el enfoque vectorial no puede dar una descripción adecuada.

El enfoque analítico simplifica los problemas al tratar los sistemas mecánicos como conjuntos de partículas que interactúan entre sí, en lugar de considerar cada partícula como una unidad aislada. En el enfoque vectorial, las fuerzas deben determinarse individualmente para cada partícula, mientras que en el enfoque analítico basta con conocer una única función que contiene implícitamente todas las fuerzas que actúan sobre y dentro del sistema. Esta simplificación se realiza a menudo utilizando ciertas condiciones cinemáticas que se establecen a priori . Sin embargo, el tratamiento analítico no requiere el conocimiento de estas fuerzas y da por sentadas estas condiciones cinemáticas. ^{[ cita necesaria ]}

Aún así, derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico complicado requiere una base unificadora de la cual se derivan. ^{[ se necesita aclaración ]} Esto lo proporcionan varios principios variacionales : detrás de cada conjunto de ecuaciones hay un principio que expresa el significado de todo el conjunto. Dada una cantidad fundamental y universal llamada acción , el principio de que esta acción sea estacionaria bajo una pequeña variación de alguna otra cantidad mecánica genera el conjunto requerido de ecuaciones diferenciales. La declaración del principio no requiere ningún sistema de coordenadas especial y todos los resultados se expresan en coordenadas generalizadas . Esto significa que las ecuaciones analíticas de movimiento no cambian tras una transformación de coordenadas , una propiedad de invariancia que falta en las ecuaciones vectoriales de movimiento. ^[2]

No está del todo claro qué se entiende por "resolver" un conjunto de ecuaciones diferenciales. Un problema se considera resuelto cuando las coordenadas de las partículas en el tiempo t se expresan como funciones simples de t y de parámetros que definen las posiciones y velocidades iniciales. Sin embargo, "función simple" no es un concepto bien definido : hoy en día, una función f ( t ) no se considera una expresión formal en t ( función elemental ) como en la época de Newton, sino más generalmente como una cantidad determinada por t. , y no es posible trazar una línea clara entre funciones "simples" y "no simples". Si se habla simplemente de "funciones", entonces todo problema mecánico se resuelve tan pronto como se ha planteado bien en ecuaciones diferenciales, porque dadas las condiciones iniciales yt se determinan las coordenadas en t . Esto es un hecho especialmente en la actualidad con los métodos modernos de modelado por computadora que proporcionan soluciones aritméticas a problemas mecánicos con cualquier grado de precisión deseado, siendo reemplazadas las ecuaciones diferenciales por ecuaciones en diferencias .

Aun así, aunque faltan definiciones precisas, es obvio que el problema de los dos cuerpos tiene una solución sencilla, mientras que el problema de los tres cuerpos no la tiene. El problema de los dos cuerpos se resuelve mediante fórmulas que implican parámetros; sus valores se pueden cambiar para estudiar la clase de todas las soluciones, es decir, la estructura matemática del problema. Además, se puede hacer una imagen mental o dibujada precisa del movimiento de dos cuerpos, y puede ser tan real y precisa como los cuerpos reales que se mueven e interactúan. En el problema de los tres cuerpos, a los parámetros también se les pueden asignar valores específicos; sin embargo, la solución a estos valores asignados o una colección de tales soluciones no revela la estructura matemática del problema. Como en muchos otros problemas, la estructura matemática sólo puede dilucidarse examinando las propias ecuaciones diferenciales.

La mecánica analítica aspira a algo aún más: no comprender la estructura matemática de un único problema mecánico, sino la de una clase de problemas tan amplia que abarcan la mayor parte de la mecánica. Se concentra en sistemas a los que son aplicables las ecuaciones de movimiento lagrangianas o hamiltonianas y que, de hecho, incluyen una gama muy amplia de problemas. ^[3]

El desarrollo de la mecánica analítica tiene dos objetivos: (i) aumentar la gama de problemas solucionables mediante el desarrollo de técnicas estándar con una amplia gama de aplicabilidad, y (ii) comprender la estructura matemática de la mecánica. Sin embargo, a largo plazo, (ii) puede ayudar a (i) algo más que concentrarse en problemas específicos para los cuales ya se han diseñado métodos.

movimiento intrínseco

Coordenadas y restricciones generalizadas.

En la mecánica newtoniana , se suelen utilizar las tres coordenadas cartesianas , u otro sistema de coordenadas 3D, para referirse a la posición de un cuerpo durante su movimiento. Sin embargo, en los sistemas físicos, alguna estructura u otro sistema generalmente impide que el movimiento del cuerpo tome ciertas direcciones y caminos. Por lo tanto, a menudo no es necesario un conjunto completo de coordenadas cartesianas, ya que las restricciones determinan las relaciones en evolución entre las coordenadas, relaciones que pueden modelarse mediante ecuaciones correspondientes a las restricciones. En los formalismos lagrangiano y hamiltoniano, las restricciones se incorporan a la geometría del movimiento, reduciendo el número de coordenadas al mínimo necesario para modelar el movimiento. Éstas se conocen como coordenadas generalizadas , denotadas q _i ( i = 1, 2, 3...). ^{[4] : 231}

Diferencia entre coordenadas curvilíneas y generalizadas

Las coordenadas generalizadas incorporan restricciones al sistema. Hay una coordenada generalizada q _i para cada grado de libertad (por conveniencia etiquetada por un índice i = 1, 2... N ), es decir, en cada sentido el sistema puede cambiar su configuración ; como longitudes curvilíneas o ángulos de rotación. Las coordenadas generalizadas no son lo mismo que las coordenadas curvilíneas. El número de coordenadas curvilíneas es igual a la dimensión del espacio de posición en cuestión (normalmente 3 para el espacio 3d), mientras que el número de coordenadas generalizadas no es necesariamente igual a esta dimensión; Las restricciones pueden reducir el número de grados de libertad (de ahí el número de coordenadas generalizadas necesarias para definir la configuración del sistema), siguiendo la regla general: ^{[5] [ dudoso ]}

[ dimensión del espacio de posiciones (normalmente 3)] × [número de constituyentes del sistema ("partículas")] − (número de restricciones )

= (número de grados de libertad ) = (número de coordenadas generalizadas )

Para un sistema con N grados de libertad, las coordenadas generalizadas se pueden recopilar en una N - tupla :

$${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$$

derivada temporalvelocidades generalizadas

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\left({\frac {dq_{1}}{dt}},{\frac {dq_{2}}{dt}},\dots ,{\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N}).}$$

El principio de trabajo virtual de D'Alembert

El principio de D'Alembert establece que el trabajo virtual infinitesimal realizado por una fuerza a través de desplazamientos reversibles es cero, que es el trabajo realizado por una fuerza consistente con las restricciones ideales del sistema. La idea de una restricción es útil, ya que limita lo que el sistema puede hacer y puede proporcionar pasos para resolver el movimiento del sistema. La ecuación del principio de D'Alembert es: ^{[6] : 265}

$${\displaystyle \delta W={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\cdot \delta \mathbf {q} =0\,,}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}=({\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2},\dots ,{\mathcal {Q}}_{N})}$$

fuerzas generalizadasqlas leyes de Newton

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)-{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$$

donde T es la energía cinética total del sistema y la notación

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}=\left({\frac {\partial }{\partial q_{1}}},{\frac {\partial }{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial q_{N}}}\right)}$$

cálculo matricial

Restricciones

Si el sistema de coordenadas curvilíneo está definido por el vector de posición estándar r , y si el vector de posición se puede escribir en términos de las coordenadas generalizadas q y el tiempo t en la forma:

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (\mathbf {q} (t),t)}$$

tqrestricciones holonómicas^[7]rtq ( t )escleronómicasreonómicas^[5]

Mecánica lagrangiana

La introducción de coordenadas generalizadas y la función lagrangiana fundamental:

${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

donde T es la energía cinética total y V es la energía potencial total de todo el sistema, luego, siguiendo el cálculo de variaciones o usando la fórmula anterior, se llega a las ecuaciones de Euler-Lagrange ;

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

que son un conjunto de N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden , una para cada q _i ( t ).

Esta formulación identifica la trayectoria real seguida por el movimiento como una selección de la trayectoria en la que la integral de tiempo de la energía cinética es menor, suponiendo que la energía total sea fija y no imponiendo condiciones sobre el tiempo de tránsito.

La formulación lagrangiana utiliza el espacio de configuración del sistema, el conjunto de todas las coordenadas generalizadas posibles:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,,}$

donde es el espacio real N -dimensional (ver también notación de constructor de conjuntos ). La solución particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange se denomina camino o trayectoria (de configuración) , es decir, un q ( t ) particular sujeto a las condiciones iniciales requeridas . Las soluciones generales forman un conjunto de configuraciones posibles en función del tiempo: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$

${\displaystyle \{\mathbf {q} (t)\in \mathbb {R} ^{N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,}$

El espacio de configuración se puede definir de manera más general, y de hecho más profunda, en términos de variedades topológicas y el paquete tangente .

Mecánica hamiltoniana

La transformación de Legendre del Lagrangiano reemplaza las coordenadas y velocidades generalizadas ( q , q̇ ) con ( q , p ); las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados se conjugan con las coordenadas generalizadas:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}},{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{2}}},\cdots {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,}$

e introduce el hamiltoniano (que es en términos de coordenadas y momentos generalizados):

${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

donde denota el producto escalar , lo que también conduce a las ecuaciones de Hamilton : ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,}$

que ahora son un conjunto de 2 N ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, una para cada q _i ( t ) y p _i ( t ). Otro resultado de la transformación de Legendre relaciona las derivadas temporales del lagrangiano y el hamiltoniano:

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,}$

que a menudo se considera una de las ecuaciones de movimiento de Hamilton además de las demás. Los momentos generalizados se pueden escribir en términos de fuerzas generalizadas de la misma manera que la segunda ley de Newton:

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} ={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\,.}$

De manera análoga al espacio de configuración, el conjunto de todos los momentos es el espacio de momentos generalizado :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,.}$

("Espacio de momento" también se refiere al " espacio k "; el conjunto de todos los vectores de onda (dados por las relaciones de De Broglie ) tal como se usa en la mecánica cuántica y la teoría de ondas )

El conjunto de todas las posiciones y momentos forman el espacio de fase :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\times {\mathcal {M}}=\{(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2N}\}\,,}$

es decir, el producto cartesiano del espacio de configuración y el espacio de momento generalizado.

Una solución particular de las ecuaciones de Hamilton se llama trayectoria de fase , una curva particular ( q ( t ), p ( t )) sujeta a las condiciones iniciales requeridas. El conjunto de todos los caminos de fase, la solución general de las ecuaciones diferenciales, es el retrato de fase :

${\displaystyle \{(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,}$

El soporte de Poisson

Todas las variables dinámicas pueden derivarse de la posición q , el impulso p y el tiempo t , y escribirse en función de estos: A = A ( q , p , t ). Si A ( q , p , t ) y B ( q , p , t ) son dos variables dinámicas con valores escalares, el corchete de Poisson está definido por las coordenadas generalizadas y los momentos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\{A,B\}\equiv \{A,B\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&={\frac {\partial A}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial A}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {q} }}\\&\equiv \sum _{k}{\frac {\partial A}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{k}}}\,,\end{aligned}}}$

Calcular la derivada total de uno de estos, digamos A , y sustituir las ecuaciones de Hamilton en el resultado conduce a la evolución temporal de A :

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\,.}$

Esta ecuación en A está estrechamente relacionada con la ecuación de movimiento en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica , en la que las variables dinámicas clásicas se convierten en operadores cuánticos (indicados por sombreros (^)), y el corchete de Poisson se reemplaza por el conmutador de operadores a través de Dirac. cuantización canónica :

${\displaystyle \{A,B\}\rightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]\,.}$

Propiedades del lagrangiano y el hamiltoniano

A continuación se muestran propiedades superpuestas entre las funciones lagrangiana y hamiltoniana. ^{[5] [8]}

• Todas las coordenadas generalizadas individuales q _i ( t ), velocidades q̇ _i ( t ) y momentos p _i ( t ) para cada grado de libertad son mutuamente independientes. La dependencia temporal explícita de una función significa que la función en realidad incluye el tiempo t como una variable además de q ( t ), p ( t ), no simplemente como un parámetro a través de q ( t ) y p ( t ), lo que significaría independencia temporal explícita.
• El Lagrangiano es invariante bajo la suma de la derivada total del tiempo de cualquier función de q' y t , es decir:
  $${\displaystyle L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,}$$
  entonces cada Lagrangiano L y L describen exactamente el mismo movimiento . En otras palabras, el lagrangiano de un sistema no es único.
• De manera análoga, el hamiltoniano es invariante bajo la suma de la derivada temporal parcial de cualquier función de q , p y t , es decir:
  $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\,,}$$
  ( K es una letra de uso frecuente en este caso). Esta propiedad se utiliza en transformaciones canónicas (ver más abajo).
• Si el lagrangiano es independiente de algunas coordenadas generalizadas, entonces los momentos generalizados conjugados con esas coordenadas son constantes del movimiento , es decir, se conservan , esto se deduce inmediatamente de las ecuaciones de Lagrange:
  $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0}$$
  Estas coordenadas son " cíclicas " o "ignorables". Se puede demostrar que el hamiltoniano también es cíclico exactamente en las mismas coordenadas generalizadas.
• Si el lagrangiano es independiente del tiempo, el hamiltoniano también lo es (es decir, ambos son constantes en el tiempo).
• Si la energía cinética es una función homogénea de grado 2 de las velocidades generalizadas, y el lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo, entonces:
  $${\displaystyle T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q}}_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )\,,}$$
  donde λ es una constante, entonces el hamiltoniano será la energía total conservada , igual a las energías cinética y potencial totales del sistema:
  $${\displaystyle H=T+V=E\,.}$$
  Esta es la base de la ecuación de Schrödinger , insertando operadores cuánticos se obtiene directamente.

Principio de mínima acción

A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (sólo se muestran algunas). El camino tomado por el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria (δ S = 0) ante pequeños cambios en la configuración del sistema (δ q ). ^[9]

La acción es otra cantidad en mecánica analítica definida como funcional del lagrangiano:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt\,.}$

Una forma general de encontrar las ecuaciones de movimiento a partir de la acción es el principio de acción mínima : ^[10]

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0\,,}$

donde los tiempos de salida t ₁ y llegada t ₂ son fijos. ^[1] El término "camino" o "trayectoria" se refiere a la evolución temporal del sistema como un camino a través del espacio de configuración , en otras palabras q ( t ) trazando un camino en . El camino para el cual la acción es menor es el camino tomado por el sistema. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

A partir de este principio se pueden derivar todas las ecuaciones de movimiento de la mecánica clásica. Este enfoque puede extenderse a campos en lugar de a un sistema de partículas (ver más abajo), y subyace a la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica , ^{[11] [12]} y se utiliza para calcular el movimiento geodésico en la relatividad general . ^[13]

Mecánica hamiltoniana-jacobi

Transformaciones canónicas

La invariancia del hamiltoniano (sumando la derivada temporal parcial de una función arbitraria de p , q y t ) permite que el hamiltoniano en un conjunto de coordenadas q y momentos p se transforme en un nuevo conjunto Q = Q ( q , p , t ) y P = P ( q , p , t ), de cuatro formas posibles:

${\displaystyle {\begin{aligned}&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)\\\end{aligned}}}$

Con la restricción de P y Q tal que el sistema hamiltoniano transformado es:

${\displaystyle \mathbf {\dot {P}} =-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\,,}$

las transformaciones anteriores se denominan transformaciones canónicas , cada función G _n se denomina función generadora del " nésimo tipo" o "tipo- n ". La transformación de coordenadas y momentos puede permitir la simplificación para resolver las ecuaciones de Hamilton para un problema determinado.

La elección de Q y P es completamente arbitraria, pero no toda elección conduce a una transformación canónica. Un criterio simple para que una transformación q → Q y p → P sea canónica es que el corchete de Poisson sea la unidad,

${\displaystyle \{Q_{i},P_{i}\}=1}$

para todo i = 1, 2,... N . Si esto no se cumple, entonces la transformación no es canónica. ^[5]

La ecuación de Hamilton-Jacobi

Al establecer el hamiltoniano canónicamente transformado K = 0, y la función generadora de tipo 2 igual a la función principal de Hamilton (también la acción ) más una constante arbitraria C : ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+C\,,}$

los momentos generalizados se convierten en:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}}$

y P es constante, entonces la ecuación hamiltoniana-Jacobi (HJE) se puede derivar de la transformación canónica tipo 2:

${\displaystyle H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}}$

donde H es el hamiltoniano como antes:

${\displaystyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}$

Otra función relacionada es la función característica de Hamilton.

${\displaystyle W(\mathbf {q} )={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+Et}$

utilizado para resolver el HJE mediante separación aditiva de variables para un hamiltoniano H independiente del tiempo .

El estudio de las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi conduce naturalmente al estudio de variedades simplécticas y topología simpléctica . ^{[14] [15]} En esta formulación, las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son las curvas integrales de los campos vectoriales hamiltonianos .

Mecánica rutina

La mecánica de Routh es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, que no se utiliza con frecuencia pero que es especialmente útil para eliminar coordenadas cíclicas. ^{[ cita necesaria ]} Si el lagrangiano de un sistema tiene s coordenadas cíclicas q = q ₁ , q ₂ , ... q _s con momentos conjugados p = p ₁ , p ₂ , ... p _s , con el resto de coordenadas no cíclicos y denotados ζ = ζ ₁ , ζ ₁ , ..., ζ _{N − s} , se pueden eliminar introduciendo el Routhiano :

${\displaystyle R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}})\,,}$

lo que conduce a un conjunto de ecuaciones hamiltonianas de 2 s para las coordenadas cíclicas q ,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=+{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {p} }}\,,\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

y N − s ecuaciones lagrangianas en las coordenadas no cíclicas ζ .

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\boldsymbol {\zeta }}}}}={\frac {\partial R}{\partial {\boldsymbol {\zeta }}}}\,.}$

Planteado de esta manera, aunque el Routhiano tiene la forma del Hamiltoniano, se puede pensar en un Lagrangiano con N − s grados de libertad.

Las coordenadas q no tienen por qué ser cíclicas, la partición entre las coordenadas que entran en las ecuaciones hamiltonianas y las que entran en las ecuaciones lagrangianas es arbitraria. Es simplemente conveniente dejar que las ecuaciones hamiltonianas eliminen las coordenadas cíclicas, dejando las coordenadas no cíclicas a las ecuaciones lagrangianas de movimiento.

Mecánica apeliana

La ecuación de movimiento de Appell implica aceleraciones generalizadas, las segundas derivadas de las coordenadas generalizadas:

${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}={\frac {d^{2}q_{r}}{dt^{2}}}\,,}$

así como las fuerzas generalizadas mencionadas anteriormente en el principio de D'Alembert. Las ecuaciones son

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

es la aceleración de la partícula k , la segunda derivada temporal de su vector de posición. Cada aceleración a _k se expresa en términos de las aceleraciones generalizadas α _r , así mismo cada r _k se expresa en términos de las coordenadas generalizadas q _r .

Teoría clásica de campos

Teoría de campos lagrangiana

Las coordenadas generalizadas se aplican a partículas discretas. Para N campos escalares φ _i ( r , t ) donde i = 1, 2, ... N , la densidad lagrangiana es una función de estos campos y sus derivadas de espacio y tiempo, y posiblemente de las propias coordenadas de espacio y tiempo:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\dots ,\partial _{t}\phi _{1},\partial _{t}\phi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)\,.}$$

$${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}\,,}$$

∂ _μgradiente 4convención de sumaNN

Esta formulación de campo escalar se puede extender a campos vectoriales , campos tensoriales y campos espinores .

El lagrangiano es la integral de volumen de la densidad lagrangiana: ^{[12] [16]}

$${\displaystyle L=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {L}}\,dV\,.}$$

Desarrollada originalmente para campos clásicos, la formulación anterior es aplicable a todos los campos físicos en situaciones clásicas, cuánticas y relativistas: como la gravedad newtoniana , el electromagnetismo clásico , la relatividad general y la teoría cuántica de campos . Se trata de determinar la densidad lagrangiana correcta para generar la ecuación de campo correcta.

Teoría de campos hamiltonianos

Las densidades de campo de "momento" correspondientes conjugadas con los N campos escalares φ _i ( r , t ) son: ^[12]

$${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {r} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,\quad {\dot {\phi }}_{i}\equiv {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}$$

densidad hamiltoniana ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\phi }}_{i}(\mathbf {r} ,t)\pi _{i}(\mathbf {r} ,t)-{\mathcal {L}}\,.}$$

Las ecuaciones de movimiento son:

$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$$

derivada variacional

$${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}}$$

NN

Nuevamente, la integral de volumen de la densidad hamiltoniana es la hamiltoniana

$${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {H}}\,dV\,.}$$

Simetría, conservación y teorema de Noether

Transformaciones de simetría en el espacio y el tiempo clásicos.

Cada transformación puede ser descrita por un operador (es decir, una función que actúa sobre las variables de posición r o momento p para cambiarlas). Los siguientes son los casos en los que el operador no cambia r o p , es decir, simetrías. ^[11]

donde R ( n̂ , θ ) es la matriz de rotación alrededor de un eje definido por el vector unitario n̂ y el ángulo θ.

teorema de noether

El teorema de Noether establece que una transformación de simetría continua de la acción corresponde a una ley de conservación , es decir, la acción (y por tanto la lagrangiana) no cambia bajo una transformación parametrizada por un parámetro s :

$${\displaystyle L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]}$$

sq . ^[5]

Ver también

• Mecánica lagrangiana
• Mecánica hamiltoniana
• Mecánica teórica
• Mecanica clasica
• Dinámica
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• principio de hamilton
• Cinemática
• Cinética (física)
• Mecánica no autónoma
• Ecuación de Udwadia-Kalaba ^{[ la neutralidad está en disputa ]}

Referencias y notas

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3. Synge, JL (1960). "Dinámica clásica". En Flügge, S. (ed.). Principios de la mecánica clásica y teoría de campos / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie. Enciclopedia de Física / Handbuch der Physik. vol. 2 / 3 / 1. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-45943-6. ISBN 978-3-540-02547-4. OCLC  165699220.
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