En física, y más específicamente en mecánica hamiltoniana , una función generadora es, en términos generales, una función cuyas derivadas parciales generan las ecuaciones diferenciales que determinan la dinámica de un sistema. Ejemplos comunes son la función de partición de la mecánica estadística, la hamiltoniana, y la función que actúa como puente entre dos conjuntos de variables canónicas al realizar una transformación canónica .
Hay cuatro funciones generadoras básicas, resumidas en la siguiente tabla: [1]
A veces, un hamiltoniano determinado se puede convertir en uno que se parezca al oscilador armónico hamiltoniano, que es
Por ejemplo, con el hamiltoniano
donde p es el impulso generalizado y q es la coordenada generalizada, una buena transformación canónica para elegir sería
Esto convierte al hamiltoniano en
que tiene la forma de oscilador armónico hamiltoniano.
La función generadora F para esta transformación es del tercer tipo,
Para encontrar F explícitamente, use la ecuación para su derivada de la tabla anterior,
y sustituir la expresión por P de la ecuación ( 1 ), expresada en términos de p y Q :
Integrar esto con respecto a Q da como resultado una ecuación para la función generadora de la transformación dada por la ecuación ( 1 ):
Para confirmar que esta es la función generadora correcta, verifique que coincida ( 1 ):
