Vector (matemáticas y física)

Elemento de un espacio vectorial

En matemáticas y física , vector es un término que hace referencia coloquialmente a algunas cantidades que no pueden expresarse mediante un solo número (un escalar ), o a elementos de algunos espacios vectoriales .

Históricamente, los vectores se introdujeron en geometría y física (típicamente en mecánica ) para cantidades que tienen tanto una magnitud como una dirección, como desplazamientos , fuerzas y velocidades . Tales cantidades se representan mediante vectores geométricos de la misma manera que las distancias , las masas y el tiempo se representan mediante números reales .

El término vector también se utiliza, en algunos contextos, para tuplas , que son secuencias finitas de números de longitud fija.

Tanto los vectores geométricos como las tuplas se pueden sumar y escalar, y estas operaciones vectoriales llevaron al concepto de espacio vectorial, que es un conjunto equipado con una suma de vectores y una multiplicación escalar que satisfacen algunos axiomas que generalizan las propiedades principales de las operaciones anteriores. tipos de vectores. Un espacio vectorial formado por vectores geométricos se denomina espacio vectorial euclidiano , y un espacio vectorial formado por tuplas se denomina espacio vectorial de coordenadas .

En matemáticas se consideran muchos espacios vectoriales, como el campo de extensión , los anillos polinomiales , las álgebras y los espacios funcionales . El término vector generalmente no se usa para elementos de estos espacios vectoriales y generalmente se reserva para vectores geométricos, tuplas y elementos de espacios vectoriales no especificados (por ejemplo, cuando se analizan las propiedades generales de los espacios vectoriales).

Vectores en geometría euclidiana

Un vector que apunta de A a B

En matemáticas , física e ingeniería , un vector euclidiano o simplemente un vector (a veces llamado vector geométrico ^[1] o vector espacial ^[2] ) es un objeto geométrico que tiene magnitud (o longitud ) y dirección . Los vectores se pueden sumar a otros vectores según el álgebra vectorial . Un vector euclidiano se representa frecuentemente mediante un segmento de línea dirigido , o gráficamente como una flecha que conecta un punto inicial A con un punto terminal B , ^[3] y se denota por ${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

Un vector es lo que se necesita para "llevar" el punto A al punto B ; la palabra latina vector significa "portador". ^[4] Fue utilizado por primera vez por astrónomos del siglo XVIII que investigaban la revolución planetaria alrededor del Sol. [ ^5] La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos, y la dirección se refiere a la dirección de desplazamiento de A a B. Muchas operaciones algebraicas con números reales , como la suma , la resta , la multiplicación y la negación , tienen analogías cercanas con los vectores, ^[6] operaciones que obedecen las familiares leyes algebraicas de conmutatividad , asociatividad y distributividad . Estas operaciones y leyes asociadas califican a los vectores euclidianos como un ejemplo del concepto más generalizado de vectores definidos simplemente como elementos de un espacio vectorial .

Los vectores juegan un papel importante en física : la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento y las fuerzas que actúan sobre él se pueden describir con vectores. ^[7] Muchas otras cantidades físicas pueden considerarse útiles como vectores. Aunque la mayoría de ellos no representan distancias (excepto, por ejemplo, posición o desplazamiento ), su magnitud y dirección aún pueden representarse mediante la longitud y dirección de una flecha. La representación matemática de un vector físico depende del sistema de coordenadas utilizado para describirlo. Otros objetos similares a vectores que describen cantidades físicas y se transforman de manera similar bajo cambios del sistema de coordenadas incluyen pseudovectores y tensores . ^[8]

Espacios vectoriales

Suma de vectores y multiplicación escalar: un vector v (azul) se suma a otro vector w (rojo, ilustración superior). A continuación, w se estira por un factor de 2, lo que produce la suma v + 2w .

En matemáticas y física , un espacio vectorial (también llamado espacio lineal) es un conjunto cuyos elementos, a menudo llamados vectores , pueden sumarse y multiplicarse ("escalarse") por números llamados escalares . Los escalares suelen ser números reales , pero pueden ser números complejos o, más generalmente, elementos de cualquier campo . Las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar deben satisfacer ciertos requisitos, llamados axiomas vectoriales . El espacio vectorial real y el espacio vectorial complejo son tipos de espacios vectoriales basados ​​en diferentes tipos de escalares: espacio de coordenadas real o espacio de coordenadas complejo .

Los espacios vectoriales generalizan los vectores euclidianos , que permiten modelar cantidades físicas , como fuerzas y velocidades , que no sólo tienen una magnitud , sino también una dirección . El concepto de espacios vectoriales es fundamental para el álgebra lineal , junto con el concepto de matrices , que permite calcular en espacios vectoriales. Esto proporciona una forma concisa y sintética de manipular y estudiar sistemas de ecuaciones lineales .

Los espacios vectoriales se caracterizan por su dimensión , que, en términos generales, especifica el número de direcciones independientes en el espacio. Esto significa que, para dos espacios vectoriales sobre un campo dado y con la misma dimensión, las propiedades que dependen sólo de la estructura del espacio vectorial son exactamente las mismas (técnicamente los espacios vectoriales son isomorfos ). Un espacio vectorial es de dimensión finita si su dimensión es un número natural . De lo contrario, es de dimensión infinita y su dimensión es un cardinal infinito . Los espacios vectoriales de dimensión finita ocurren naturalmente en geometría y áreas relacionadas. Los espacios vectoriales de dimensión infinita ocurren en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, los anillos polinomiales son espacios vectoriales contablemente de dimensión infinita, y muchos espacios funcionales tienen la cardinalidad del continuo como dimensión.

Muchos espacios vectoriales que se consideran en matemáticas también están dotados de otras estructuras . Es el caso de las álgebras , que incluyen extensiones de campo , anillos polinómicos, álgebras asociativas y álgebras de Lie . Este es también el caso de los espacios vectoriales topológicos , que incluyen espacios funcionales, espacios de productos internos , espacios normados , espacios de Hilbert y espacios de Banach .

Vectores en álgebra

Todo álgebra sobre un campo es un espacio vectorial, pero los elementos de un álgebra generalmente no se llaman vectores. Sin embargo, en algunos casos, se les llama vectores , principalmente por razones históricas.

• Cuaternión vectorial , un cuaternión con parte real cero
• Multivector o p -vector , un elemento del álgebra exterior de un espacio vectorial.
• Los espinores , también llamados vectores de espín , se han introducido para ampliar la noción de vector de rotación . De hecho, los vectores de rotación representan bien las rotaciones localmente , pero no globalmente, porque un bucle cerrado en el espacio de los vectores de rotación puede inducir una curva en el espacio de rotaciones que no es un bucle. Además, la variedad de vectores de rotación es orientable , mientras que la variedad de rotaciones no lo es. Los espinores son elementos de un subespacio vectorial de algo de álgebra de Clifford .
• Vector de Witt , una secuencia infinita de elementos de un anillo conmutativo, que pertenece a un álgebra sobre este anillo , y se ha introducido para manejar la propagación del acarreo en las operaciones con números p-ádicos .

Datos representados por vectores

El conjunto de tuplas de n números reales tiene una estructura natural de espacio vectorial definida por la suma por componentes y la multiplicación escalar . Es común llamar vectores a estas tuplas , incluso en contextos donde las operaciones en el espacio vectorial no se aplican. De manera más general, cuando algunos datos pueden representarse naturalmente mediante vectores, a menudo se les llama vectores incluso cuando la suma y la multiplicación escalar de vectores no son operaciones válidas con estos datos. ^{[ disputado ]} Aquí hay algunos ejemplos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Vector de rotación , vector euclidiano cuya dirección es la del eje de rotación y magnitud es el ángulo de rotación.
• Vector de hamburguesas , un vector que representa la magnitud y dirección de la distorsión reticular de la dislocación en una red cristalina.
• Vector de intervalo , en teoría de conjuntos musicales, una matriz que expresa el contenido interválico de un conjunto de clases de tono
• Vector de probabilidad , en estadística, un vector con entradas no negativas que suman uno.
• Vector aleatorio o variable aleatoria multivariada , en estadística , conjunto de variables aleatorias de valor real que pueden estar correlacionadas . Sin embargo, un vector aleatorio también puede referirse a una variable aleatoria que toma sus valores en un espacio vectorial.
• Vector lógico , un vector de 0 y 1 ( booleanos ).

Vectores en cálculo

El cálculo sirve como herramienta matemática fundamental en el ámbito de los vectores, ofreciendo un marco para el análisis y manipulación de cantidades vectoriales en diversas disciplinas científicas, en particular la física y la ingeniería . Las funciones vectoriales, donde la salida es un vector, se examinan mediante cálculo para obtener información esencial sobre el movimiento dentro del espacio tridimensional. El cálculo vectorial extiende los principios del cálculo tradicional a campos vectoriales, introduciendo operaciones como gradiente , divergencia y curvatura , que encuentran aplicaciones en contextos de física e ingeniería. Las integrales de línea , cruciales para calcular el trabajo a lo largo de una trayectoria dentro de campos de fuerza, y las integrales de superficie , empleadas para determinar cantidades como el flujo , ilustran la utilidad práctica del cálculo en el análisis vectorial. Las integrales de volumen , esenciales para cálculos que involucran campos escalares o vectoriales en regiones tridimensionales, contribuyen a comprender la distribución de masa , la densidad de carga y los caudales de fluidos. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Vector (desambiguación)

Espacios vectoriales con más estructura

• Espacio vectorial graduado , un tipo de espacio vectorial que incluye la estructura adicional de gradación.
• Espacio vectorial normado , un espacio vectorial en el que se define una norma
• Espacio de Hilbert
• Espacio vectorial ordenado , un espacio vectorial equipado con un orden parcial
• Súper espacio vectorial , nombre de un espacio vectorial graduado Z ₂
• Espacio vectorial simpléctico , un espacio vectorial V equipado con una forma bilineal no degenerada, simétrica sesgada
• Espacio vectorial topológico , una mezcla de estructura topológica con el concepto algebraico de espacio vectorial.

Campos vectoriales

Un campo vectorial es una función con valores vectoriales que, generalmente, tiene un dominio de la misma dimensión (como una variedad ) que su codominio,

• Campo vectorial conservador , un campo vectorial que es el gradiente de un campo de potencial escalar
• Campo vectorial hamiltoniano , un campo vectorial definido para cualquier función de energía o hamiltoniano
• Matando el campo vectorial , un campo vectorial en una variedad de Riemann
• Campo vectorial solenoide , un campo vectorial con divergencia cero
• Potencial vectorial , un campo vectorial cuyo rizo es un campo vectorial dado
• Flujo vectorial , un conjunto de conceptos estrechamente relacionados del flujo determinado por un campo vectorial

Misceláneas

• cálculo de ricci
• Análisis vectorial , un libro de texto sobre cálculo vectorial de Wilson , publicado por primera vez en 1901, que contribuyó en gran medida a estandarizar la notación y el vocabulario del álgebra lineal tridimensional y el cálculo vectorial.
• Paquete vectorial , una construcción topológica que precisa la idea de una familia de espacios vectoriales parametrizados por otro espacio
• Cálculo vectorial , una rama de las matemáticas que se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales.
• Diferencial vectorial , o del , un operador diferencial vectorial representado por el símbolo nabla ${\displaystyle \nabla }$
• Vector Laplaciano , el operador vectorial de Laplace, denotado por , es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial ${\displaystyle \nabla ^{2}}$
• Notación vectorial , notación común utilizada cuando se trabaja con vectores.
• Operador vectorial , un tipo de operador diferencial utilizado en cálculo vectorial
• Producto vectorial , o producto cruzado, una operación sobre dos vectores en un espacio euclidiano tridimensional, que produce un tercer vector euclidiano tridimensional.
• Proyección vectorial , también conocida como vector resuelto o componente vectorial , un mapeo lineal que produce un vector paralelo a un segundo vector
• Función con valores vectoriales , una función que tiene un espacio vectorial como codominio
• Vectorización (matemáticas) , una transformación lineal que convierte una matriz en un vector columna
• Autoregresión vectorial , un modelo econométrico utilizado para capturar la evolución y las interdependencias entre múltiples series de tiempo.
• Bosón vectorial , un bosón con el número cuántico de espín igual a 1
• Medida vectorial , una función definida en una familia de conjuntos y que toma valores vectoriales que satisfacen ciertas propiedades
• Mesón vectorial , un mesón con espín total 1 y paridad impar.
• Cuantización vectorial , una técnica de cuantificación utilizada en el procesamiento de señales
• Solitón vectorial , una onda solitaria con múltiples componentes acoplados que mantiene su forma durante la propagación.
• Síntesis vectorial , un tipo de síntesis de audio
• Vector de fase

Notas

1. Ivánov 2001 harvnb error: no target: CITEREFIvanov2001 (help)
2. Heinbockel 2001
3. Itô 1993, pag. 1678; Pedóe 1988
4. Latín: vectus, participio perfecto de vehere, "llevar"/ veho = "yo llevo". Para conocer el desarrollo histórico de la palabra vector , consulte "vector n". . Diccionario de inglés Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford . (Se requiere suscripción o membresía en una institución participante) y Jeff Miller. "Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas" . Consultado el 25 de mayo de 2007 .
5. Diccionario de ingles Oxford (2ª ed.). Londres: Clarendon Press. 2001.ISBN _ 9780195219425.
6. "vector | Definición y hechos". Enciclopedia Británica . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
7. "Vectores". www.mathsisfun.com . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
8. Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de agosto de 2020 .

Referencias

• Heinbockel, JH (2001). Introducción al cálculo tensorial y a la mecánica del continuo. Publicación de Trafford. ISBN 1-55369-133-4.
• Itô, Kiyosi (1993). Diccionario enciclopédico de matemáticas (2ª ed.). Prensa del MIT . ISBN 978-0-262-59020-4.
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Vector", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Pedoe, Daniel (1988). Geometría: un curso completo . Dover. ISBN 0-486-65812-0.