Derivada funcional

Concepto en cálculo de variación

En el cálculo de variaciones , un campo del análisis matemático , la derivada funcional (o derivada variacional ) ^[1] relaciona un cambio en un funcional (un funcional en este sentido es una función que actúa sobre funciones) con un cambio en una función de la que depende el funcional.

En el cálculo de variaciones, los funcionales se expresan habitualmente en términos de una integral de funciones, sus argumentos y sus derivadas . En un integrando L de un funcional, si se varía una función f añadiéndole otra función δf arbitrariamente pequeña, y el integrando resultante se desarrolla en potencias de δf , el coeficiente de δf en el término de primer orden se denomina derivada funcional.

Por ejemplo, considere la función donde f ′( x ) ≡ df / dx . Si f se varía añadiéndole una función δf , y el integrando resultante L ( x , f + δf , f ′+ δf ′) se desarrolla en potencias de δf , entonces el cambio en el valor de J a primer orden en δf se puede expresar de la siguiente manera: ^{[1] [Nota 1]} donde la variación en la derivada, δf ′ se reescribió como la derivada de la variación ( δf ) ′ , y se utilizó la integración por partes en estas derivadas. $${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f'{(x)}\,)\,dx\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta J&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{\partial f'}}{\frac {d}{dx}}\delta f(x)\right)\,dx\,\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\delta f(x)\,dx\,+\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(b)\delta f(b)\,-\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)\end{aligned}}}$$

Definición

En esta sección se define la diferencial funcional (o variación o primera variación) ^{[Nota 2] . A continuación, se define la derivada funcional en términos de la diferencial funcional.}

Diferencial funcional

Supóngase que es un espacio de Banach y es una funcional definida en . La diferencial de en un punto es la funcional lineal en definida ^[2] por la condición de que, para todo , donde es un número real que depende de de tal manera que como . Esto significa que es la derivada de Fréchet de en . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho \in B}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi \in B}$ $${\displaystyle F[\rho +\phi ]-F[\rho ]=\delta F[\rho ;\phi ]+\varepsilon \left\|\phi \right\|}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \|\phi \|}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle \|\phi \|\to 0}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$

Sin embargo, esta noción de diferencial funcional es tan fuerte que puede no existir, ^[3] y en esos casos se prefiere una noción más débil, como la derivada de Gateaux . En muchos casos prácticos, la diferencial funcional se define ^[4] como la derivada direccional. Nótese que esta noción de diferencial funcional puede incluso definirse sin una norma. $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\rho ,\phi ]&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\[1ex]&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}}$$

Derivada funcional

En muchas aplicaciones, el dominio del funcional es un espacio de funciones diferenciables definidas en algún espacio y es de la forma para alguna función que puede depender de , el valor y la derivada . Si este es el caso y, además, puede escribirse como la integral de multiplicado por otra función (denotada δF / δρ ), entonces esta función δF / δρ se denomina derivada funcional de F en ρ . ^{[5] [6]} Si está restringida solo a ciertas funciones (por ejemplo, si hay algunas condiciones de contorno impuestas), entonces está restringida a funciones tales que continúa satisfaciendo estas condiciones. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F[\rho ]=\int _{\Omega }L(x,\rho (x),D\rho (x))\,dx}$$ ${\displaystyle L(x,\rho (x),D\rho (x))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle D\rho (x)}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]=\int _{\Omega }{\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rho +\varepsilon \phi }$

Heurísticamente, es el cambio en , por lo que 'formalmente' tenemos , y entonces esto es similar en forma a la diferencial total de una función , donde son variables independientes. Comparando las dos últimas ecuaciones, la derivada funcional tiene un papel similar al de la derivada parcial , donde la variable de integración es como una versión continua del índice de sumatoria . ^[7] Uno piensa en δF / δρ como el gradiente de F en el punto ρ , por lo que el valor δF / δρ(x) mide cuánto cambiará la F funcional si la función ρ cambia en el punto x . Por lo tanto, la fórmula se considera como la derivada direccional en el punto en la dirección de . Esto es análogo al cálculo vectorial, donde el producto interno de un vector con el gradiente da la derivada direccional en la dirección de . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi =\delta \rho }$ ${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}$ $${\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i},}$$ ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}$ ${\displaystyle \delta F/\delta \rho (x)}$ ${\displaystyle \partial F/\partial \rho _{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$

Propiedades

Al igual que la derivada de una función, la derivada funcional satisface las siguientes propiedades, donde F [ ρ ] y G [ ρ ] son ​​funcionales: ^{[Nota 3]}

• Linealidad: ^[8] donde λ , μ son constantes. $${\displaystyle {\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},}$$
• Regla del producto: ^[9] $${\displaystyle {\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,}$$
• Reglas de la cadena:
  • Si F es un funcional y G otro funcional, entonces ^[10] $${\displaystyle {\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .}$$
  • Si G es una función diferenciable ordinaria (funcional local) g , entonces esto se reduce a ^[11] $${\displaystyle {\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .}$$

Determinación de derivadas funcionales

Una fórmula para determinar las derivadas funcionales de una clase común de funcionales puede escribirse como la integral de una función y sus derivadas. Esta es una generalización de la ecuación de Euler-Lagrange : de hecho, la derivada funcional se introdujo en física dentro de la derivación de la ecuación de Lagrange de segundo tipo a partir del principio de mínima acción en la mecánica de Lagrange (siglo XVIII). Los primeros tres ejemplos a continuación se toman de la teoría de los funcionales de la densidad (siglo XX), el cuarto de la mecánica estadística (siglo XIX).

Fórmula

Dado un funcional y una función que se desvanece en el límite de la región de integración, de una sección anterior Definición, $${\displaystyle F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$ ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$

La segunda línea se obtiene utilizando la derivada total , donde ∂f / ∂∇ρ es una derivada de un escalar con respecto a un vector . ^{[Nota 4]}

La tercera línea se obtuvo mediante el uso de una regla del producto para la divergencia . La cuarta línea se obtuvo utilizando el teorema de la divergencia y la condición de que en el límite de la región de integración. Como también es una función arbitraria, al aplicar el lema fundamental del cálculo de variaciones a la última línea, la derivada funcional es ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}$$

donde ρ = ρ ( r ) y f = f ( r , ρ , ∇ ρ ) . Esta fórmula es para el caso de la forma funcional dada por F [ ρ ] al comienzo de esta sección. Para otras formas funcionales, la definición de la derivada funcional puede usarse como punto de partida para su determinación. (Véase el ejemplo de la función de energía potencial de Coulomb).

La ecuación anterior para la derivada funcional se puede generalizar al caso que incluye dimensiones superiores y derivadas de orden superior. La función sería: $${\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$

donde el vector r ∈ R ⁿ , y ∇ ^{( i )} es un tensor cuyos n ⁱ componentes son operadores de derivadas parciales de orden i , ^{[Nota 5]} $${\displaystyle \left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{i}=1,2,\dots ,n\ .}$$

Una aplicación análoga de la definición de la derivada funcional produce $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}$$

En las dos últimas ecuaciones, los n ⁱ componentes del tensor son derivadas parciales de f con respecto a las derivadas parciales de ρ , donde , y el producto escalar del tensor es, ^{[Nota 6]} ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}}$ $${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}}$$ ${\displaystyle \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}}$ $${\displaystyle \nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .}$$

Ejemplos

Funcional de energía cinética de Thomas-Fermi

El modelo de Thomas-Fermi de 1927 utilizó una energía cinética funcional para un gas de electrones uniforme no interactuante en un primer intento de teoría funcional de la densidad de la estructura electrónica: Dado que el integrando de T _TF [ ρ ] no involucra derivadas de ρ ( r ) , la derivada funcional de T _TF [ ρ ] es, ^[12] $${\displaystyle T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.}$$

Funcional de energía potencial de Coulomb

Para el potencial electrón-núcleo , Thomas y Fermi emplearon la función de energía potencial de Coulomb . $${\displaystyle V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.}$$

Aplicando la definición de derivada funcional, entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\[1ex]&{}=\int {\frac {\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .}$$

Para la parte clásica de la interacción electrón-electrón , Thomas y Fermi emplearon la energía potencial funcional de Coulomb De la definición de la derivada funcional, Los términos primero y segundo en el lado derecho de la última ecuación son iguales, ya que r y r′ en el segundo término pueden intercambiarse sin cambiar el valor de la integral. Por lo tanto, y la derivada funcional de la energía potencial funcional de Coulomb electrón-electrón J [ ρ ] es, ^[13] $${\displaystyle J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\varepsilon }}\,J[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\varepsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\varepsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\,.}$$

La segunda derivada funcional es $${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

Energía cinética funcional de Weizsäcker.

En 1935, von Weizsäcker propuso agregar una corrección de gradiente a la energía cinética funcional de Thomas-Fermi para que se adaptara mejor a una nube de electrones moleculares: donde Usando una fórmula derivada previamente para la derivada funcional, y el resultado es, ^[14] $${\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,}$$ $${\displaystyle t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .}$$

Entropía

La entropía de una variable aleatoria discreta es una función de la función de masa de probabilidad .

$${\displaystyle H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)}$$Así, Así, $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}H[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=-\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).}$$

Exponencial

Dejar $${\displaystyle F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.}$$

Usando la función delta como función de prueba, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}}$$

De este modo, $${\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].}$$

Esto es particularmente útil para calcular las funciones de correlación a partir de la función de partición en la teoría cuántica de campos .

Derivada funcional de una función

Una función se puede escribir en forma de integral como si fuera una funcional. Por ejemplo, dado que el integrando no depende de las derivadas de ρ , la derivada funcional de ρ ( r ) es, $${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').}$$

Derivada funcional de una función iterada

La derivada funcional de la función iterada viene dada por: y ${\displaystyle f(f(x))}$ $${\displaystyle {\frac {\delta f(f(x))}{\delta f(y)}}=f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y)}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y))+\delta (f(f(x))-y)}$$

En general: $${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}$$

Poniendo N = 0 obtenemos: $${\displaystyle {\frac {\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y)}}=-{\frac {\delta (f^{-1}(x)-y)}{f'(f^{-1}(x))}}}$$

Utilizando la función delta como función de prueba

En física, es común utilizar la función delta de Dirac en lugar de una función de prueba genérica , para obtener la derivada funcional en el punto (este es un punto de la derivada funcional completa, ya que una derivada parcial es un componente del gradiente): ^[15] ${\displaystyle \delta (x-y)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.}$$

Esto funciona en casos en los que formalmente se puede expandir como una serie (o al menos hasta el primer orden) en . Sin embargo, la fórmula no es matemáticamente rigurosa, ya que por lo general ni siquiera está definida. ${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]}$

La definición dada en una sección anterior se basa en una relación que se cumple para todas las funciones de prueba , por lo que se podría pensar que también debería cumplirse cuando se elige que sea una función específica, como la función delta . Sin embargo, esta última no es una función de prueba válida (ni siquiera es una función propiamente dicha). ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

En la definición, la derivada funcional describe cómo cambia la función como resultado de un pequeño cambio en toda la función . La forma particular del cambio en no se especifica, pero debe extenderse por todo el intervalo en el que se define. El empleo de la forma particular de la perturbación dada por la función delta tiene el significado de que se varía solo en el punto . Excepto en este punto, no hay variación en . ${\displaystyle F[\rho (x)]}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \rho (x)}$

Notas

1. Según Giaquinta & Hildebrandt (1996), p. 18, esta notación es habitual en la literatura física .
2. Llamada primera variación en (Giaquinta & Hildebrandt 1996, p. 3), variación o primera variación en (Courant & Hilbert 1953, p. 186), variación o diferencial en (Gelfand & Fomin 2000, p. 11, § 3.2) y diferencial en (Parr & Yang 1989, p. 246).
3. Aquí se introduce la notación . $${\displaystyle {\frac {\delta {F}}{\delta \rho }}(x)\equiv {\frac {\delta {F}}{\delta \rho (x)}}}$$
4. Para un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, donde y , , son vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y, z. $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{x}}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{y}}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{z}}}\mathbf {\hat {k}} \,,}$$ ${\displaystyle \rho _{x}={\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,,\ \rho _{y}={\frac {\partial \rho }{\partial y}}\,,\ \rho _{z}={\frac {\partial \rho }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$
5. Por ejemplo, para el caso de tres dimensiones ( n = 3 ) y derivadas de segundo orden ( i = 2 ), el tensor ∇ ⁽²⁾ tiene componentes, donde y pueden ser . $${\displaystyle \left[\nabla ^{(2)}\right]_{\alpha \beta }={\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1,2,3}$
6. Por ejemplo, para el caso n = 3 e i = 2 , el producto escalar tensorial es, donde . $${\displaystyle \nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\ {\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\,{\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha \beta }}},}$$ ${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }\equiv {\frac {\partial ^{\,2}\rho }{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}}$

Notas al pie

1. Giaquinta y Hildebrandt (1996), pág. 18
2. Gelfand y Fomin (2000), pág. 11.
3. Giaquinta y Hildebrandt (1996), pág. 10.
4. Giaquinta y Hildebrandt (1996), pág. 10.
5. Parr y Yang (1989), pág. 246, ecuación. A.2.
6. Greiner y Reinhardt (1996), págs. 36,37.
7. Parr y Yang (1989), pág. 246.
8. Parr y Yang (1989), pág. 247, ecuación. A.3.
9. Parr y Yang (1989), pág. 247, ecuación. A.4.
10. Greiner y Reinhardt (1996), pág. 38, ecuación 6.
11. Greiner y Reinhardt (1996), pág. 38, ecuación 7.
12. Parr y Yang (1989), pág. 247, ecuación. A.6.
13. Parr y Yang (1989), pág. 248, ecuación. A.11.
14. Parr y Yang (1989), pág. 247, ecuación. A.9.
15. Greiner y Reinhardt (1996), pág. 37

Referencias

• Courant, Richard ; Hilbert, David (1953). "Capítulo IV. El cálculo de variaciones". Métodos de física matemática . Vol. I (Primera edición en inglés). Nueva York, Nueva York: Interscience Publishers , Inc. pp. 164–274. ISBN 978-0471504474.MR  0065391.Zbl 0001.00501  .​.
• Frigyik, Béla A.; Srivastava, Santosh; Gupta, Maya R. (enero de 2008), Introducción a las derivadas funcionales (PDF) , UWEE Tech Report, vol. UWEETR-2008-0001, Seattle, WA: Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Washington, pág. 7, archivado desde el original (PDF) el 17 de febrero de 2017 , consultado el 23 de octubre de 2013.
• Gelfand, IM ; Fomin, SV (2000) [1963], Cálculo de variaciones, traducido y editado por Richard A. Silverman (edición revisada en inglés), Mineola, NY: Dover Publications , ISBN 978-0486414485, MR  0160139, Zbl  0127.05402.
• Giaquinta, Mariano ; Hildebrandt, Stefan (1996), Cálculo de variaciones 1. El formalismo lagrangiano , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 310 (1.ª ed.), Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-50625-X, MR  1368401, Zbl  0853.49001.
• Greiner, Walter ; Reinhardt, Joachim (1996), "Sección 2.3 – Derivadas funcionales", Cuantización de campo , con prólogo de DA Bromley, Berlín–Heidelberg–Nueva York: Springer-Verlag, págs. 36–38, ISBN 3-540-59179-6, MR  1383589, Zbl  0844.00006.
• Parr, RG; Yang, W. (1989). "Apéndice A, Funcionales". Teoría funcional de la densidad de átomos y moléculas. Nueva York: Oxford University Press. págs. 246–254. ISBN 978-0195042795.

Enlaces externos

• "Derivada funcional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]