Ecuaciones de Newton-Euler

En la mecánica clásica , las ecuaciones de Newton-Euler describen la dinámica traslacional y rotacional combinada de un cuerpo rígido . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Tradicionalmente, las ecuaciones de Newton-Euler son la agrupación de las dos leyes de Euler del movimiento de un cuerpo rígido en una única ecuación con 6 componentes, utilizando vectores columna y matrices . Estas leyes relacionan el movimiento del centro de gravedad de un cuerpo rígido con la suma de fuerzas y pares (o momentos ) que actúan sobre el cuerpo rígido.

Marco del centro de masa

Con respecto a un marco de coordenadas cuyo origen coincide con el centro de masas del cuerpo para τ ( torque ) y un marco de referencia inercial para F ( fuerza ), se pueden expresar en forma matricial como:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}$

dónde

F = fuerza total que actúa sobre el centro de masa

m = masa del cuerpo

I _{3 = la} matriz identidad 3×3

a _cm = aceleración del centro de masa

v _cm = velocidad del centro de masa

τ = par total que actúa sobre el centro de masa

I _cm = momento de inercia alrededor del centro de masa

ω = velocidad angular del cuerpo

α = aceleración angular del cuerpo

Cualquier marco de referencia

Con respecto a un marco de coordenadas ubicado en el punto P que está fijo en el cuerpo y no coincide con el centro de masas, las ecuaciones asumen la forma más compleja:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}$

donde c es el vector desde P hasta el centro de masa del cuerpo expresado en el marco fijo del cuerpo, y

${\displaystyle [\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)}$

denotan matrices de productos cruzados antisimétricos .

El lado izquierdo de la ecuación, que incluye la suma de las fuerzas externas y la suma de los momentos externos alrededor de P , describe una llave espacial , véase teoría del tornillo .

Los términos inerciales están contenidos en la matriz de inercia espacial .

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),}$

Mientras que las fuerzas ficticias están contenidas en el término: ^[6]

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).}$

Cuando el centro de masa no coincide con el marco de coordenadas (es decir, cuando c es distinto de cero), las aceleraciones traslacional y angular ( a y α ) están acopladas, de modo que cada una está asociada con componentes de fuerza y ​​torque.

Aplicaciones

Las ecuaciones de Newton-Euler se utilizan como base para formulaciones más complejas de "cuerpos múltiples" ( teoría de tornillos ) que describen la dinámica de sistemas de cuerpos rígidos conectados por articulaciones y otras restricciones. Los problemas de cuerpos múltiples se pueden resolver mediante una variedad de algoritmos numéricos. ^{[2] [6] [7]}

Véase también

• Leyes de Euler del movimiento de un cuerpo rígido.
• Ángulos de Euler
• Dinámica inversa
• Fuerza centrífuga
• Ejes principales
• Aceleración espacial
• Teoría del tornillo del movimiento del cuerpo rígido.

Referencias

1. Hubert Hahn (2002). Dinámica de cuerpos rígidos de mecanismos. Springer. pág. 143. ISBN 3-540-42373-7.
2. Ahmed A. Shabana (2001). Dinámica computacional. Wiley-Interscience. pág. 379. ISBN 978-0-471-37144-1.
3. Haruhiko Asada, Jean-Jacques E. Slotine (1986). Análisis y Control de Robots. Wiley/IEEE. págs. §5.1.1, pág. 94.ISBN​ 0-471-83029-1.
4. Robert H. Bishop (2007). Sistemas mecatrónicos, sensores y actuadores: fundamentos y modelado. CRC Press. pp. §7.4.1, §7.4.2. ISBN 978-0-8493-9258-0.
5. Miguel A. Otaduy, Ming C. Lin (2006). Representación háptica de alta fidelidad. Morgan and Claypool Publishers. pág. 24. ISBN 1-59829-114-9.
6. Roy Featherstone (2008). Algoritmos de dinámica de cuerpos rígidos. Springer. ISBN 978-0-387-74314-1.
7. Constantinos A. Balafoutis, Rajnikant V. Patel (1991). Análisis dinámico de manipuladores robóticos: un enfoque tensorial cartesiano. Springer. Capítulo 5. ISBN 0-7923-9145-4.