Teoría del tornillo

Formulación matemática de pares de vectores utilizados en física (dinámica de cuerpos rígidos)

La teoría de tornillos es el cálculo algebraico de pares de vectores , también conocidos como vectores duales ^[1] –como la velocidad angular y lineal , o las fuerzas y los momentos– que surgen en la cinemática y la dinámica de los cuerpos rígidos . ^{[2] [3]}

La teoría de los tornillos proporciona una formulación matemática para la geometría de las líneas, que es fundamental para la dinámica de cuerpos rígidos , donde las líneas forman los ejes de movimiento espacial de los tornillos y las líneas de acción de las fuerzas. El par de vectores que forman las coordenadas de Plücker de una línea definen un tornillo unitario, y los tornillos generales se obtienen mediante la multiplicación por un par de números reales y la adición de vectores . ^[4]

Los teoremas importantes de la teoría de tornillos incluyen: el principio de transferencia demuestra que los cálculos geométricos para puntos que utilizan vectores tienen cálculos geométricos paralelos para líneas obtenidas al reemplazar vectores con tornillos; ^[1] el teorema de Chasles demuestra que cualquier cambio entre dos poses de objetos rígidos puede realizarse mediante un solo tornillo; el teorema de Poinsot demuestra que las rotaciones sobre los ejes mayor y menor (pero no intermedio) de un objeto rígido son estables.

La teoría de tornillos es una herramienta importante en la mecánica de robots, ^{[5] [6] [7] [8]} el diseño mecánico, la geometría computacional y la dinámica de cuerpos múltiples . Esto se debe en parte a la relación entre tornillos y cuaterniones duales que se han utilizado para interpolar movimientos de cuerpos rígidos . ^[9] Basándose en la teoría de tornillos, también se ha desarrollado un enfoque eficiente para la síntesis de tipos de mecanismos paralelos (manipuladores paralelos o robots paralelos). ^[10]

Conceptos básicos

El paso de un tornillo puro relaciona la rotación alrededor de un eje con la traslación a lo largo de ese eje.

Un desplazamiento espacial de un cuerpo rígido se puede definir mediante una rotación alrededor de una línea y una traslación a lo largo de la misma línea, denominadamovimiento de un tornillo . Esto se conoce comoteorema de Chasles. Los seis parámetros que definen el movimiento de un tornillo son los cuatro componentes independientes del vector de Plücker que define el eje del tornillo, junto con el ángulo de rotación y el deslizamiento lineal a lo largo de esta línea, y forman un par de vectores llamadotornillo. A modo de comparación, los seis parámetros que definen un desplazamiento espacial también pueden estar dados por tresángulos de Eulerque definen la rotación y los tres componentes del vector de traslación.

Tornillo

Un tornillo es un vector de seis dimensiones construido a partir de un par de vectores tridimensionales, como fuerzas y momentos y velocidad lineal y angular, que surgen en el estudio del movimiento espacial de cuerpos rígidos. Los componentes del tornillo definen las coordenadas de Plücker de una línea en el espacio y las magnitudes del vector a lo largo de la línea y el momento respecto de esta línea.

Girar

Un giro es un tornillo que se utiliza para representar la velocidad de un cuerpo rígido como una velocidad angular alrededor de un eje y una velocidad lineal a lo largo de este eje. Todos los puntos del cuerpo tienen el mismo componente de velocidad a lo largo del eje, sin embargo, cuanto mayor sea la distancia desde el eje, mayor será la velocidad en el plano perpendicular a este eje. Por lo tanto, el campo helicoidal formado por los vectores de velocidad en un cuerpo rígido en movimiento se aplana cuanto más alejados estén los puntos radialmente del eje de giro.

Los puntos de un cuerpo sometido a un movimiento de torsión constante trazan hélices en el marco fijo. Si este movimiento helicoidal tiene paso cero, las trayectorias trazan círculos y el movimiento es una rotación pura. Si el movimiento helicoidal tiene paso infinito, las trayectorias son todas líneas rectas en la misma dirección.

Llave inglesa

Los vectores de fuerza y ​​par que surgen al aplicar las leyes de Newton a un cuerpo rígido se pueden ensamblar en un tornillo llamado llave . Una fuerza tiene un punto de aplicación y una línea de acción, por lo tanto define las coordenadas de Plücker de una línea en el espacio y tiene paso cero. Un par, por otro lado, es un momento puro que no está ligado a una línea en el espacio y es un tornillo de paso infinito. La relación de estas dos magnitudes define el paso del tornillo.

Álgebra de tornillos

Sea un tornillo un par ordenado

${\displaystyle {\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),}$

donde S y V son vectores reales tridimensionales. La suma y la diferencia de estos pares ordenados se calculan componente por componente. Los tornillos se denominan a menudo vectores duales .

Ahora, introduzcamos el par ordenado de números reales â = ( a , b ) , llamado escalar dual . Sea la suma y resta de estos números componente por componente, y definamos la multiplicación como La multiplicación de un tornillo S = ( S , V ) por el escalar dual â = ( a , b ) se calcula componente por componente como, $${\displaystyle {\hat {\mathsf {a}}}{\hat {\mathsf {c}}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathsf {a}}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).}$$

Por último, introduzca los productos escalares y vectoriales de tornillos mediante las fórmulas: que es un escalar dual y que es un tornillo. Los productos escalares y vectoriales de tornillos satisfacen las identidades del álgebra vectorial y permiten realizar cálculos que son directamente paralelos a los cálculos del álgebra de vectores. $${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$$ $${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ),}$$

Sea el escalar dual ẑ = ( φ , d ) el que define un ángulo dual , entonces las definiciones de seno y coseno en serie infinita producen las relaciones que también son escalares duales. En general, la función de una variable dual se define como f (ẑ) = ( f ( φ ), df ′( φ )) , donde df ′( φ ) es la derivada de  f ( φ ). $${\displaystyle \sin {\hat {\mathsf {z}}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {\mathsf {z}}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),}$$

Estas definiciones permiten los siguientes resultados:

• Los tornillos unitarios son coordenadas de Plücker de una línea y satisfacen la relación $${\displaystyle |{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;}$$
• Sea ẑ = ( φ , d ) el ángulo dual, donde φ es el ángulo entre los ejes de S y T alrededor de su normal común, y d es la distancia entre estos ejes a lo largo de la normal común, entonces $${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\cos {\hat {\mathsf {z}}};}$$
• Sea N el tornillo unitario que define la normal común a los ejes de S y T, y ẑ = ( φ , d ) es el ángulo dual entre estos ejes, entonces $${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\sin {\hat {\mathsf {z}}}{\mathsf {N}}.}$$

Llave inglesa

Un ejemplo común de un tornillo es la llave asociada a una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido. Sea P el punto de aplicación de la fuerza F y sea P el vector que ubica este punto en un marco fijo. La llave W = ( F , P × F ) es un tornillo. La fuerza y ​​el momento resultantes obtenidos de todas las fuerzas F _i , i = 1, ..., n , que actúan sobre un cuerpo rígido es simplemente la suma de las llaves individuales W _i , es decir

${\displaystyle {\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Nótese que el caso de dos fuerzas iguales pero opuestas F y − F que actúan en los puntos A y B respectivamente, produce la resultante

${\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).}$

Esto demuestra que los tornillos de la forma

${\displaystyle {\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),}$

pueden interpretarse como momentos puros.

Girar

Para definir el giro de un cuerpo rígido, debemos considerar su movimiento definido por el conjunto parametrizado de desplazamientos espaciales, D( t ) = ([A( t )], d ( t )) , donde [A] es una matriz de rotación y d es un vector de traslación. Esto hace que un punto p que está fijo en las coordenadas del cuerpo en movimiento trace una curva P (t) en el marco fijo dado por

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).}$

La velocidad de P es

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}$

donde v es la velocidad del origen del sistema en movimiento, es decir, d d /dt. Ahora sustituimos p  = [ A ^T ]( P  −  d ) en esta ecuación para obtener,

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}$

donde [Ω] = [d A /d t ][ A ^T ] es la matriz de velocidad angular y ω es el vector de velocidad angular.

El tornillo

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!}$

es el giro del cuerpo en movimiento. El vector V  =  v  +  d  ×  ω es la velocidad del punto del cuerpo que corresponde al origen del sistema fijo.

Hay dos casos especiales importantes: (i) cuando d es constante, es decir v  = 0, entonces el giro es una rotación pura alrededor de una línea, entonces el giro es

${\displaystyle {\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),}$

y (ii) cuando [Ω] = 0, es decir el cuerpo no gira sino que sólo se desliza en la dirección v , entonces el giro es un deslizamiento puro dado por

${\displaystyle {\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).}$

Articulaciones revolucionadas

Para una articulación giratoria , deje que el eje de rotación pase por el punto q y esté dirigido a lo largo del vector ω , entonces el giro de la articulación está dado por,

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\q\times {\boldsymbol {\omega }}\end{Bmatrix}}.}$

Articulaciones prismáticas

Para una articulación prismática , sea que el vector v apunte a la dirección del deslizamiento, entonces el giro de la articulación está dado por,

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}0\\v\end{Bmatrix}}.}$

Transformación de coordenadas de tornillos

Las transformaciones de coordenadas para tornillos se entienden fácilmente comenzando con las transformaciones de coordenadas del vector de Plücker de la línea, que a su vez se obtienen a partir de las transformaciones de las coordenadas de los puntos de la línea.

Sea el desplazamiento de un cuerpo definido por D  = ([ A ],  d ), donde [ A ] es la matriz de rotación y d es el vector de traslación. Considérese la línea en el cuerpo definida por los dos puntos p y q , que tiene las coordenadas de Plücker ,

${\displaystyle {\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),}$

Entonces, en el marco fijo tenemos las coordenadas de los puntos transformados P  = [ A ] p  +  d y Q  = [ A ] q  +  d , que dan como resultado.

${\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

Así, un desplazamiento espacial define una transformación para las coordenadas de Plücker de las líneas dadas por

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

La matriz [ D ] es la matriz antisimétrica que realiza la operación de producto vectorial, es decir [ D ] y  =  d  ×  y .

La matriz 6×6 obtenida a partir del desplazamiento espacial D  = ([ A ],  d ) se puede ensamblar en la matriz dual

${\displaystyle [{\hat {\mathsf {A}}}]=([A],[DA]),}$

que actúa sobre un tornillo s  = ( s . v ) para obtener,

${\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {\mathsf {A}}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).}$

La matriz dual [Â] = ([ A ], [ DA ]) tiene determinante 1 y se denomina matriz ortogonal dual .

Los giros como elementos de un álgebra de Lie

Consideremos el movimiento de un cuerpo rígido definido por la transformada homogénea 4x4 parametrizada,

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Esta notación no distingue entre P = ( X , Y , Z , 1) y P = ( X , Y , Z ), lo cual esperamos que quede claro en el contexto.

La velocidad de este movimiento se define calculando la velocidad de las trayectorias de los puntos del cuerpo,

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

El punto denota la derivada con respecto al tiempo y, como p es constante, su derivada es cero.

Sustituya la transformada inversa de p en la ecuación de velocidad para obtener la velocidad de P operando sobre su trayectoria P ( t ), es decir

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}$

dónde

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

Recordemos que [Ω] es la matriz de velocidad angular. La matriz [ S ] es un elemento del álgebra de Lie se(3) del grupo de Lie SE(3) de transformadas homogéneas. Los componentes de [ S ] son ​​los componentes del tornillo de torsión y, por esta razón, a [ S ] también se le suele llamar torsión.

A partir de la definición de la matriz [ S ], podemos formular la ecuación diferencial ordinaria,

${\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],}$

y pide el movimiento [ T ( t )] que tiene una matriz de giro constante [ S ]. La solución es la matriz exponencial

${\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}$

Esta formulación se puede generalizar de modo que, dada una configuración inicial g (0) en SE( n ), y un giro ξ en se( n ), la transformación homogénea a una nueva ubicación y orientación se puede calcular con la fórmula,

${\displaystyle g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),}$

donde θ representa los parámetros de la transformación.

Tornillos por reflexión

En la geometría de transformación , el concepto elemental de transformación es la reflexión (matemáticas) . En las transformaciones planares, una traslación se obtiene por reflexión en líneas paralelas, y la rotación se obtiene por reflexión en un par de líneas que se intersectan. Para producir una transformación de tornillo a partir de conceptos similares, se deben utilizar planos en el espacio : los planos paralelos deben ser perpendiculares al eje del tornillo , que es la línea de intersección de los planos que se intersectan y que generan la rotación del tornillo. Por lo tanto, cuatro reflexiones en planos efectúan una transformación de tornillo. La tradición de la geometría inversa toma prestadas algunas de las ideas de la geometría proyectiva y proporciona un lenguaje de transformación que no depende de la geometría analítica .

Homografía

La combinación de una traslación con una rotación efectuada por un desplazamiento de tornillo se puede ilustrar con el mapeo exponencial .

Como ε ² = 0 para números duales , exp( aε ) = 1 + aε , y todos los demás términos de la serie exponencial se anulan.

Sea F = {1 + εr  : r ∈ H }, ε ² = 0. Nótese que F es estable bajo la rotación q → p ⁻¹ qp y bajo la traslación (1 + εr )(1 + εs ) = 1 + ε ( r + s ) para cualesquiera cuaterniones vectoriales r y  s . F es un 3-plano en el espacio de ocho dimensiones de cuaterniones duales . Este 3-plano F representa el espacio , y la homografía construida, restringida a F , es un desplazamiento helicoidal del espacio.

Sea a la mitad del ángulo de giro deseado sobre el eje r y br la mitad del desplazamiento sobre el eje del tornillo . Entonces, forme z = exp(( a + bε ) r ) y z * = exp(( a − bε ) r ) . Ahora la homografía es

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz:z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz:1].}$

La inversa para z * es

${\displaystyle {\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},}$

Entonces, la homografía envía q a

${\displaystyle (e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

Ahora, para cualquier vector cuaternion p , p * = − p , sea q = 1 + pε ∈ F , donde se efectúan la rotación y la traslación requeridas.

Evidentemente el grupo de unidades del anillo de cuaterniones duales es un grupo de Lie . Un subgrupo tiene álgebra de Lie generada por los parámetros ar y bs , donde a , b ∈ R , y r , s ∈ H . Estos seis parámetros generan un subgrupo de las unidades, la esfera unidad. Por supuesto que incluye F y la 3-esfera de versores .

Trabajo de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido

Considérese el conjunto de fuerzas F ₁ , F ₂ ... F _n que actúan sobre los puntos X ₁ , X ₂ ... X _n en un cuerpo rígido. Las trayectorias de X _i , i  = 1,..., n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido con rotación [ A ( t )] y la traslación d ( t ) de un punto de referencia en el cuerpo, dada por

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}$

donde x _i son coordenadas en el cuerpo en movimiento.

La velocidad de cada punto Xi _es

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,}$

donde ω es el vector de velocidad angular y v es la derivada de d ( t ).

El trabajo de las fuerzas sobre el desplazamiento δ r _i = v _i δt de cada punto está dado por

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

Definir las velocidades de cada punto en función del giro del cuerpo en movimiento para obtener

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.}$

Expande esta ecuación y recopila los coeficientes de ω y v para obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}}$

Introduzca el giro del cuerpo móvil y la llave que actúa sobre él dado por

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

Entonces el trabajo toma la forma

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.}$

La matriz 6×6 [Π] se utiliza para simplificar el cálculo del trabajo mediante tornillos, de modo que

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,}$

dónde

${\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},}$

y [I] es la matriz identidad 3×3.

Tornillos recíprocos

Si el trabajo virtual de una llave al girar es cero, entonces las fuerzas y el par de torsión de la llave son fuerzas de restricción relativas al giro. Se dice que la llave y el giro son recíprocos, es decir, si

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,}$

entonces los tornillos W y T son recíprocos.

Giros en la robótica

En el estudio de sistemas robóticos, los componentes del giro se transponen a menudo para eliminar la necesidad de la matriz 6×6 [Π] en el cálculo del trabajo. ^[1] En este caso, el giro se define como

${\displaystyle {\check {\mathsf {T}}}=(\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} ,{\vec {\omega }}),}$

Así que el cálculo del trabajo toma la forma

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t.}$

En este caso, si

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t=0,}$

entonces la llave W es recíproca al giro T.

Historia

El marco matemático fue desarrollado por Sir Robert Stawell Ball en 1876 para su aplicación en cinemática y estática de mecanismos (mecánica de cuerpos rígidos). ^[4]

Felix Klein consideró la teoría de los tornillos como una aplicación de la geometría elíptica y su Programa de Erlangen . ^[11] También elaboró ​​la geometría elíptica y una nueva visión de la geometría euclidiana, con la métrica de Cayley-Klein . El uso de una matriz simétrica para una cónica y métrica de von Staudt , aplicada a los tornillos, ha sido descrito por Harvey Lipkin. ^[12] Otros contribuyentes destacados incluyen a Julius Plücker , WK Clifford , FM Dimentberg, Kenneth H. Hunt y JR Phillips. ^[13]

La idea de homografía en la geometría de transformación fue propuesta por Sophus Lie hace más de un siglo. Incluso antes, William Rowan Hamilton presentó la forma versor de los cuaterniones unitarios como exp( ar )= cos a + r sen a . La idea también está en la fórmula de Euler que parametriza el círculo unitario en el plano complejo .

William Kingdon Clifford inició el uso de cuaterniones duales para cinemática , seguido por Aleksandr Kotelnikov , Eduard Study ( Geometrie der Dynamen ) y Wilhelm Blaschke . Sin embargo, el punto de vista de Sophus Lie ha vuelto a aparecer. ^[14] En 1940, Julian Coolidge describió el uso de cuaterniones duales para desplazamientos de tornillos en la página 261 de A History of Geometrical Methods . Señala la contribución de 1885 de Arthur Buchheim . ^[15] Coolidge basó su descripción simplemente en las herramientas que Hamilton había utilizado para cuaterniones reales.

Véase también

• Eje de tornillo
• Las ecuaciones de Newton-Euler utilizan tornillos para describir los movimientos y las cargas de los cuerpos rígidos.
• Giro (geometría diferencial)
• Giro (trigonometría racional)

Referencias

1. McCarthy, J. Michael; Soh, Gim Song (2010). Diseño geométrico de enlaces. Springer. ISBN 978-1-4419-7892-9.
2. Dimentberg, FM (1965) El cálculo de tornillos y sus aplicaciones en mecánica, División de Tecnología Extranjera traducción FTD-HT-23-1632-67
3. Yang, AT (1974) "Cálculo de tornillos" en Preguntas básicas de teoría del diseño , William R. Spillers (ed.), Elsevier, págs. 266–281.
4. Ball, RS (1876). La teoría de los tornillos: un estudio de la dinámica de un cuerpo rígido. Hodges, Foster.
5. Featherstone, Roy (1987). Algoritmos de dinámica de robots. Kluwer Academic Pub. ISBN 978-0-89838-230-3.
6. Featherstone, Roy (2008). Algoritmos de dinámica de robots. Springer. ISBN 978-0-387-74315-8.
7. Murray, Richard M.; Li, Zexiang; Sastry, S. Shankar; Sastry, S. Shankara (22 de marzo de 1994). Una introducción matemática a la manipulación robótica. CRC Press. ISBN 978-0-8493-7981-9.
8. Lynch, Kevin M.; Park, Frank C. (25 de mayo de 2017). Robótica moderna. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15630-2.
9. Selig, JM (2011) "Interpolación racional de movimientos de cuerpos rígidos", Avances en la teoría de control, señales y sistemas con modelado físico, Notas de clase en control y ciencias de la información, volumen 407/2011 213–224, doi : 10.1007/978-3-642-16135-3_18 Springer.
10. Kong, Xianwen; Gosselin, Clément (2007). Síntesis de tipos de mecanismos paralelos. Springer. ISBN 978-3-540-71990-8.
11. Felix Klein (1902) (traductor de DH Delphenich) Sobre la teoría de los tornillos de Sir Robert Ball
12. Harvey Lipkin (1983) Geometría métrica Archivado el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine desde Georgia Tech
13. Clifford, William Kingdon (1873), "Bosquejo preliminar de bicuaterniones", Documento XX, Documentos matemáticos , pág. 381.
14. Xiangke Wang, Dapeng Han, Changbin Yu y Zhiqiang Zheng (2012) "La estructura geométrica de cuaterniones duales unitarios con aplicación en el control cinemático", Journal of Mathematical Analysis and Applications 389(2):1352 a 64
15. Buchheim, Arthur (1885). "Una memoria sobre los bicuaterniones". American Journal of Mathematics . 7 (4): 293–326. doi :10.2307/2369176. JSTOR  2369176.

Enlaces externos

• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Departamento de Diseño e Innovación, Universidad Abierta, Londres.
• Notas de Ravi Banavar sobre robótica, geometría y control