En matemáticas , una transformación rígida (también llamada transformación euclidiana o isometría euclidiana ) es una transformación geométrica de un espacio euclidiano que preserva la distancia euclidiana entre cada par de puntos. [1] [ fuente autoeditada ] [2] [3]
Las transformaciones rígidas incluyen rotaciones , traslaciones , reflexiones o cualquier secuencia de estas. A veces, las reflexiones se excluyen de la definición de una transformación rígida al exigir que la transformación también preserve la lateralidad de los objetos en el espacio euclidiano. (Un reflejo no preservaría la lateralidad; por ejemplo, transformaría una mano izquierda en una mano derecha). Para evitar ambigüedades, una transformación que preserva la lateralidad se conoce como movimiento rígido , movimiento euclidiano o transformación rígida adecuada .
En la dimensión dos, un movimiento rígido es una traslación o una rotación . En la dimensión tres, cada movimiento rígido se puede descomponer como la composición de una rotación y una traslación, por lo que a veces se le llama rototraslación . En la dimensión tres, todos los movimientos rígidos también son movimientos de tornillo (este es el teorema de Chasles )
En dimensión como máximo tres, cualquier transformación rígida impropia se puede descomponer en una rotación impropia seguida de una traslación, o en una secuencia de reflexiones .
Cualquier objeto mantendrá la misma forma y tamaño después de una transformación rígida adecuada.
Todas las transformaciones rígidas son ejemplos de transformaciones afines . El conjunto de todas las transformaciones rígidas (propias e impropias) es un grupo matemático llamado grupo euclidiano , denotado E( n ) para espacios euclidianos de n dimensiones. El conjunto de movimientos rígidos se denomina grupo euclidiano especial y se denota SE( n ) .
En cinemática , los movimientos rígidos en un espacio euclidiano tridimensional se utilizan para representar desplazamientos de cuerpos rígidos . Según el teorema de Chasles , toda transformación rígida se puede expresar como un movimiento de tornillo .
Una transformación rígida se define formalmente como una transformación que, al actuar sobre cualquier vector v , produce un vector transformado T ( v ) de la forma
donde R T = R −1 (es decir, R es una transformación ortogonal ) y t es un vector que da la traslación del origen.
Una transformación rígida adecuada tiene, además,
lo que significa que R no produce una reflexión y, por tanto, representa una rotación (una transformación ortogonal que preserva la orientación). De hecho, cuando una matriz de transformación ortogonal produce una reflexión, su determinante es −1.
Se necesita una medida de distancia entre puntos, o métrica , para confirmar que una transformación es rígida. La fórmula de distancia euclidiana para R n es la generalización del teorema de Pitágoras . La fórmula da la distancia al cuadrado entre dos puntos X e Y como la suma de los cuadrados de las distancias a lo largo de los ejes de coordenadas, es decir
Usando esta fórmula de distancia, una transformación rígida g : R n → R n tiene la propiedad,
Una traslación de un espacio vectorial agrega un vector d a cada vector en el espacio, lo que significa que es la transformación
Es fácil demostrar que se trata de una transformación rígida mostrando que la distancia entre los vectores trasladados es igual a la distancia entre los vectores originales:
Una transformación lineal de un espacio vectorial, L : R n → R n , conserva combinaciones lineales ,
donde [ L ] es una matriz n × n .
Una transformación lineal es una transformación rígida si satisface la condición,
Las matrices que satisfacen esta condición forman un grupo matemático bajo la operación de multiplicación de matrices llamado grupo ortogonal de matrices n×n y denotado O ( n ) .
Calcule el determinante de la condición para que una matriz ortogonal obtenga
El conjunto de matrices de rotación se denomina grupo ortogonal especial y se denota SO( n ) . Es un ejemplo de grupo de Lie porque tiene la estructura de una variedad.
![{\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95d5d088ebfd3c1a83d9632aef170d7ce89c7ce)
![{\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ( [L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} - \mathbf {w} )).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1561e0e6f1c153f1b8a660cc137813fb1efa8ff)
![{\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )^{\mathsf {T}}[ L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69df9a7512bc5ed4778c97c08617b2de944d1c75)
![{\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbfef3a9e5057b903d2a200f02f8f1c33677732)
![{\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb98c4e139d1342f866cef17d1ba228a841ac3b)